在完善數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)中獲得深度理解

任衛(wèi)兵

摘? ? 要? 數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)清楚地認(rèn)識到“知識的良好組織”的重要地位。在教學(xué)中，應(yīng)重視比較，及時引導(dǎo)學(xué)生尋找知識之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的整體理解;通過題組，進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)，拓展延伸形成知識的組塊，實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)部的雙向循環(huán);拓展學(xué)生對重要概念、核心知識的深度理解，提升學(xué)生的思維水平和認(rèn)知水平。

關(guān)鍵詞 結(jié)構(gòu) 理解 整體 聯(lián)系

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成與理解過程是一個雙向互動的過程。理解是一個動態(tài)的有層次性的學(xué)習(xí)過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生能夠用聯(lián)系的思維，把握知識之間的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)理解層次向高級發(fā)展，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力與認(rèn)知水平。促進(jìn)深度理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，除了在新授內(nèi)容時須要聚焦核心、進(jìn)行有效的線性串聯(lián)外，在各種知識整理學(xué)習(xí)中，更要積極構(gòu)建知識圖譜。即使如此，在知識建構(gòu)過程中必定還存在著一些斷點(diǎn)、斷層，對作為知識結(jié)構(gòu)關(guān)鍵的核心概念，還存在深入理解的空間，基本的數(shù)學(xué)思想方法還有進(jìn)行序列延伸拓展的必要。因此，在教學(xué)中，要積極組織教學(xué)內(nèi)容，整體設(shè)計(jì)，及時填補(bǔ)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的空白，打通知識之間的有效聯(lián)系，在完善數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)的過程中，促進(jìn)理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、完善內(nèi)容結(jié)構(gòu)，促進(jìn)整體理解

新知識的理解是指新知識能被成功地納入到主體已有的“概念網(wǎng)絡(luò)”中，也即與主體已有的知識和經(jīng)驗(yàn)建立起廣泛的聯(lián)系。教材中的編排呈現(xiàn)出螺旋遞進(jìn)上升的特點(diǎn)，而分課時的教學(xué)會讓知識的整體性與聯(lián)系性變得脆弱而隱蔽，有些例題之間在意義上有重大關(guān)聯(lián)，但教學(xué)時要分課時進(jìn)行教學(xué)。如果在單元教學(xué)之后進(jìn)行整理，就失去了形成結(jié)構(gòu)的最佳時機(jī)，對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響。因此在教學(xué)中，要及時主動構(gòu)建知識之間的聯(lián)系，在比較關(guān)聯(lián)中強(qiáng)化新舊知識之間的聯(lián)系，完善學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)對知識的整體理解。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘法”中，簡單的分?jǐn)?shù)乘法的實(shí)際問題，分兩課時教學(xué)，教材編排如下。

不難看出，第二、三課時教學(xué)的都是簡單的分?jǐn)?shù)乘法的實(shí)際問題。第一課時是整數(shù)乘法意義“求幾個相同加數(shù)和的簡便運(yùn)算”的遷移，而“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”則是整數(shù)乘法中“求一個數(shù)的幾倍是多少”的拓展。如果學(xué)生沒有自行將知識連接，缺少反思的意識與能力，新知識便容易形成知識的“孤島”，阻斷了知識之間的聯(lián)系，也就意味著理解的淺嘗輒止。而這兩課的教學(xué)各自都有著教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，如第三課時的教學(xué)，重點(diǎn)放在理解關(guān)鍵句“紅花比黃花多”的意義上，新授時無暇顧及溝通與聯(lián)系。因此，教學(xué)中須要利用機(jī)動課時，進(jìn)行溝通。

通過學(xué)生自創(chuàng)題目，畫出相應(yīng)的線段圖（圖1）。教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生比較相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩題都是求“桃樹棵數(shù)的是多少”，而“為什么桃樹棵數(shù)的求出的量不一樣呢？”是因?yàn)椤暗谝粋€表示的是梨樹的棵數(shù)，所以求得的是梨樹的棵數(shù)，而第二個表示的是梨樹比桃樹多的棵數(shù)，所以求得的是梨樹比桃樹多的棵數(shù)?！睂W(xué)生的這種“發(fā)現(xiàn)”，實(shí)際是分?jǐn)?shù)實(shí)際問題中的“量率對應(yīng)思想”。深刻的數(shù)學(xué)思想，通過圖形的直觀，讓學(xué)生在比較中有了深刻的感悟。

教學(xué)中這些知識點(diǎn)之間局部的聯(lián)系，不同于整個單元、整冊知識的整體框架，如果不及時溝通與聯(lián)系，局部組織不循環(huán)，容易形成對理解的阻礙。通過對知識的多元表征，尋找共同之處，是形成知識結(jié)構(gòu)的常用方法。溝通新舊知識之間的聯(lián)系，利用舊知進(jìn)行有效遷移，促進(jìn)對新知識的理解，則是教學(xué)結(jié)構(gòu)內(nèi)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的常規(guī)路徑。

二、擴(kuò)張知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)結(jié)構(gòu)理解

數(shù)學(xué)中一些重要知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法，具有生長性，但在進(jìn)行單元整理時，由于無法與整個知識網(wǎng)構(gòu)成一體，往往處于孤立狀態(tài)。教學(xué)中，可將這些知識點(diǎn)或某種數(shù)學(xué)思想方法，通過題組進(jìn)行線性的或是發(fā)散性的拓展，擴(kuò)張知識的版圖，將散點(diǎn)串線織網(wǎng)，向縱深發(fā)展，形成“知識包”或“方法鏈”。在此形成知識的組織結(jié)構(gòu)中，強(qiáng)化學(xué)生的聯(lián)系思維、發(fā)散思維、創(chuàng)造思維等，提升知識的可遷移性。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊“圓的面積”教學(xué)之后，經(jīng)常有“圓的外切正方形與圓”“圓的內(nèi)接正方形與圓”之類的實(shí)際問題。教學(xué)這種類型的實(shí)際問題，通過切割轉(zhuǎn)換，學(xué)生當(dāng)時是能理解的，但過后的遺忘率相當(dāng)高，這是因?yàn)橹R、方法沒有形成相應(yīng)的結(jié)構(gòu)。如果在教學(xué)時通過主動關(guān)聯(lián)，進(jìn)行聯(lián)想，將相關(guān)知識聯(lián)系起來，綜合運(yùn)用商不變規(guī)律、比的基本性質(zhì)，獲取知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷擴(kuò)展知識的版圖。此時整體及部分互為理解的背景經(jīng)驗(yàn)，不僅可以幫助學(xué)生知道相關(guān)知識是一個有聯(lián)系的整體，而且知道整體是如何形成的，內(nèi)部是如何關(guān)聯(lián)的，這樣才能產(chǎn)生超越知識的力量，最終擴(kuò)展成如下知識鏈（圖2）。

由一到多，不僅僅是這一題到多題，而是讓學(xué)生進(jìn)一步體會用聯(lián)系的觀點(diǎn)去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，主動構(gòu)建數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的一種意識與能力?！耙獙χR形成深刻的、真正的理解，這意味著學(xué)習(xí)者所獲得的知識是結(jié)構(gòu)化的、整合的?！敝壅w進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，著力關(guān)系構(gòu)建知識體系，著重體驗(yàn)形成結(jié)構(gòu)化的思維方式與知識網(wǎng)絡(luò)，發(fā)揮知識之間聯(lián)系的力量、整體的系統(tǒng)教學(xué)的力量。

深度挖掘知識、題目之間的淵源，能使相對獨(dú)立的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得更為豐富、立體。在這方面，現(xiàn)行教材中的素材“俯拾皆是”。如在教學(xué)圓柱、圓錐之后，教材中分別編排了旋轉(zhuǎn)長方形與直角三角形的習(xí)題。這些相關(guān)聯(lián)的習(xí)題，可以以主題研究的形式，進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。例如可以組織以“旋轉(zhuǎn)”為主題的拓展：直角三角形以斜邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，能夠形成什么樣的圖形？如何求這個圖形的體積？通過探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于旋轉(zhuǎn)半徑與旋轉(zhuǎn)軸這兩個要素，它們會影響旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形的體積。由于旋轉(zhuǎn)半徑與旋轉(zhuǎn)軸互相垂直，因而以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形體積就是兩個底面相同（因?yàn)樾D(zhuǎn)半徑相同），高之和為斜邊的兩個圓錐的體積之和。接著以平行四邊形的任意一邊為軸，旋轉(zhuǎn)平行四邊形，如圖3。通過畫圖，找出旋轉(zhuǎn)半徑——平行四邊形的高，將旋轉(zhuǎn)之后形成的圖形畫出來，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個長方形旋轉(zhuǎn)之后形成的圖形。還可引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)拓展至其他的圖形旋轉(zhuǎn)，將課堂學(xué)習(xí)引向課外的自主探索。這樣，以一個主題串聯(lián)，以相同的方法，深入研究。在此過程中，學(xué)生的空間觀念及其他的數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)都得到了發(fā)展。

三、豐富核心概念，促進(jìn)深入理解

數(shù)學(xué)概念有層次性、多維度的特點(diǎn)。對核心概念的深入理解，可以加強(qiáng)知識結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性，將思維、認(rèn)知水平上升至一個新的臺階，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)化水平。如2、3、5的倍數(shù)的認(rèn)識，有必要讓學(xué)生突破以末位數(shù)去判斷的“表層結(jié)構(gòu)”，去尋找知識內(nèi)在統(tǒng)一的“深層結(jié)構(gòu)”，從而加深理解，形成統(tǒng)一的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

如分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，經(jīng)歷了意義、解決實(shí)際問題、比等相互影響、互相促進(jìn)的一個循環(huán)過程，已有了較為完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但部分學(xué)生對分?jǐn)?shù)，還一直處于過程的、操作的層面，并未凝聚至對象的、抽象的高級思維水平。如解決“工程問題”，學(xué)生都是用具體數(shù)量去解答的，而不能將工作總量看作“單位1”。固然，教材并沒有編排這一內(nèi)容的教學(xué)。但我們不應(yīng)否認(rèn)，工程問題教學(xué)不僅可以加深對分?jǐn)?shù)意義的理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、建模能力。以下是工程問題教學(xué)的幾個教學(xué)環(huán)節(jié)：

1.通過具體數(shù)量計(jì)算：有18噸石灰，如果大車獨(dú)運(yùn)，要4次運(yùn)完;如果小車獨(dú)運(yùn)，要12次運(yùn)完。兩車合運(yùn)，幾次可以運(yùn)完？

2.改變工作總量，引發(fā)猜想，并運(yùn)用直觀圖聯(lián)系商不變規(guī)律解釋。初步發(fā)現(xiàn)總量的變化與工作效率之和變化之間的關(guān)系。通過直觀圖（圖4），激活已有知識體系中的商不變規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等知識，引發(fā)學(xué)生繼續(xù)向深處探究。

3.驗(yàn)證猜想，概括抽象。與總量無關(guān)，就把總量這個條件去掉，如何解決？

4.借助字母，構(gòu)建算法。引導(dǎo)學(xué)生用字母表示：總數(shù)為a噸的話，a÷（a÷4+a÷12），結(jié)合圖與算式的直觀，把a(bǔ)提取出來，得1÷（+）=3次。

根據(jù)算式結(jié)合直觀圖，理解“單位1”，脫離具體量，運(yùn)用分率列出算式。

5.變換情境，建立模型。解答購物、行程等情境中的問題，并比較：這些問題在解答過程中有什么共同之處？再根據(jù)算式“1÷（+）”編一個故事。

在以上教學(xué)中，著力去抽象理解“單位1”，建立工程問題的模型，提高解決實(shí)際問題的能力。一是在不同情境下把總數(shù)看作單位“1”，由多種情境，建立模型;二是由一到多，由模型到情境的回歸?！爸挥薪?jīng)常變換課題的具體情境，在不同的情境中展現(xiàn)同一結(jié)構(gòu)關(guān)系，學(xué)生才不會被具體情境所迷惑?！睂πW(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科來說，不僅要學(xué)習(xí)如何數(shù)學(xué)化、抽象化，也要讓學(xué)生有大量的機(jī)會去體會如何解釋、如何猜測、如何變式、如何拓展，而這才是真實(shí)、完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活。

作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要注意對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行再整合、再建設(shè)，設(shè)計(jì)、生成更具張力的數(shù)學(xué)大問題;要注意把學(xué)生真正置于課堂中央，讓他們自行組織信息，自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題;要注意將深化教學(xué)結(jié)構(gòu)與促進(jìn)學(xué)生理解有機(jī)結(jié)合起來，將自下而上的學(xué)習(xí)過程（搭建組塊）與自上而下的學(xué)習(xí)過程（縱覽全局）綜合起來，使培養(yǎng)高階思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)能夠在課堂上真正得以落實(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 黃玉香.著眼素養(yǎng)培育的結(jié)構(gòu)化教學(xué)[J].福建教育，2019（06）.

[2] 波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].劉景麟.曹之江.鄒清蓮，譯.呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1981.

[責(zé)任編輯：陳國慶]