基于APDL語言的拱軸系數(shù)m優(yōu)化分析

田振生，崔文杰，楊柄楠，袁良東

(鄭州市交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院 鄭州市 450000)

常見的拱軸線形有圓弧線、拋物線和懸鏈線三種。拱軸線選取的原則，就是盡可能減小由壓力線與拱軸線偏離產(chǎn)生的彎矩值[1]。最理想的拱軸線是與拱上各種荷載作用下的壓力線相吻合，此時(shí)主拱截面只有軸向壓力而無彎矩及剪力，截面應(yīng)力分布均勻[2]，能充分發(fā)揮材料的抗壓性能，此時(shí)的拱軸線即為合理拱軸線[3]。

由于主拱同時(shí)受到恒載、活載等作用，當(dāng)恒載壓力線與拱軸線相吻合時(shí)，在活載作用下其壓力線與拱軸線便不再吻合；此外相應(yīng)于活載的不同布置，壓力線亦是不同的[4]。在大跨度拱橋中，恒載往往在總荷載中所占比例較大[5]，此時(shí)采用恒載壓力線作為拱軸線，顯得較為合理。此外，溫度變化、材料收縮、基礎(chǔ)變位等影響也會引起一定的主拱截面彎矩，故選擇拱軸線只能盡量減小主拱截面的彎矩[6]。

通過某一工程實(shí)例，首先基于APDL參數(shù)化語言進(jìn)行懸鏈線拱軸系數(shù)優(yōu)化，然后分別將圓弧線、拋物線及優(yōu)化后的懸鏈線作為拱軸線進(jìn)行對比分析，獲取適用于本工程的最優(yōu)拱軸線形。

1 拱軸系數(shù)計(jì)算原理

為使拱軸線與恒載壓力線盡可能地接近，通常采用“五點(diǎn)重合法”確定懸鏈線拱的拱軸系數(shù)m，即要求拱軸線在拱圈的拱頂、兩個(gè)1/4跨及兩個(gè)拱腳位置與三鉸拱恒載壓力線重合，此時(shí)五個(gè)截面中僅有軸向力，彎矩和剪力為零。利用上述五點(diǎn)彎矩為零的條件，就可迭代確定m值。

由拱頂彎矩為零及恒載對稱條件可知，拱頂只有通過截面重心的恒載推力Hg，彎矩及剪力為零時(shí)，拱腳彎矩為零，得：

(1)

同理，由1/4跨截面彎矩為零，得

(2)

由式(1)、式(2)，得

(3)

式中：∑Mj—半拱恒載對拱腳截面的力矩；

∑M1/4—自拱頂至拱跨1/4點(diǎn)的恒載對1/4截面的力矩。

(4)

由于拱軸系數(shù)m本身就是一個(gè)未知值，因此需要通過若干次迭代試算后方可確定。先假定一個(gè)m值，根據(jù)拱軸線坐標(biāo)布置拱上建筑，計(jì)算拱圈和拱上建筑恒載對L/4截面和拱腳截面的力矩∑M1/4和∑Mj，由式(4)得到新的拱軸系數(shù)m1，若m1和假定的m不符，以m1值作為新假定值重新計(jì)算，直至兩者接近為止。

2 拱軸系數(shù)優(yōu)化算法

根據(jù)拱橋的受力特點(diǎn)和拱軸線的選取原則，應(yīng)盡可能降低由荷載產(chǎn)生的彎矩值，因此可考慮采用最小彎曲能量法和壓力線與拱軸線偏離最小法來優(yōu)化拱軸線[7]。

2.1 最小彎曲能量法

最小彎曲能量法是用來確定斜拉橋成橋狀態(tài)下最優(yōu)索力的一種方法，當(dāng)彎曲能量最小時(shí)，主梁所受的彎矩較小且趨于均勻。由于拱與斜拉橋的主梁受力狀態(tài)類似，均為壓彎構(gòu)件，因此可將最小彎曲能量法應(yīng)用于拱軸系數(shù)的優(yōu)化中。當(dāng)拱軸系數(shù)達(dá)到最優(yōu)時(shí)，拱軸線能最大限度地接近壓力線。而衡量逼近程度的好壞就是以拱圈的彎曲應(yīng)變能是否最小為準(zhǔn)則，即

(5)

式(5)即為目標(biāo)函數(shù)來優(yōu)化拱軸系數(shù)。由于ANSYS后處理中沒有提供現(xiàn)成的彎曲應(yīng)變能，因此需在后處理中先提取各個(gè)梁單元彎矩值，然后通過式(6)計(jì)算式(5)中的彎曲應(yīng)變能。

(6)

為保證積分有較高的精度，需將單元劃分足夠細(xì)。一般情況下，單元長度取1m即可。

2.2 壓力線與拱軸線偏離最小法

壓力線是指拱圈各截面合力點(diǎn)的連線，而拱軸線是指拱圈各截面形心的連線，如圖 1所示。拱圈是以受壓為主的結(jié)構(gòu)，截面中有軸向力、彎矩和剪力等內(nèi)力。除了拱腳截面外，其余截面剪力較小，可忽略不計(jì)。圖1中的i-i截面，在截面形心處有彎矩M和軸力N，這兩個(gè)內(nèi)力可用一個(gè)偏心合力來表示，合力點(diǎn)距離截面形心為：

(7)

從式(7)可看出，在N值不變的情況下，彎矩M越小，相應(yīng)的偏心距e也越小，當(dāng)M=0時(shí)，偏心距e=0，此時(shí)合力點(diǎn)便與截面形心點(diǎn)重合，也就是壓力線與拱軸線重合。實(shí)際工程中不存在合理拱軸線，因而選擇拱軸線也只能盡量使壓力線與拱軸線偏離最小，即偏心距e最小，其可用主拱截面彎矩和軸力的比值M/N的絕對值來表示。

采用壓力線與拱軸線偏離最小法，只需提取拱圈各個(gè)截面彎矩和軸力，就可得到各截面的偏心距和優(yōu)化目標(biāo)，而采用最小彎矩應(yīng)變能法，需將結(jié)果中提取的彎矩值通過積分的方法才能得到優(yōu)化目標(biāo)值。因此，采用壓力線與拱軸線偏離最小法更容易在ANSYS程序中實(shí)現(xiàn)，本文即采取該方法進(jìn)行拱軸系數(shù)優(yōu)化的。

3 基于APDL語言的拱軸系數(shù)優(yōu)化

優(yōu)化分析采用大型通用有限元軟件ANSYS。在ANSYS優(yōu)化模塊中，有三大優(yōu)化變量，即設(shè)計(jì)變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)[8]。拱軸系數(shù)優(yōu)化的策略是以需要優(yōu)化的拱軸系數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)指定其上、下限，鋼管混凝土拱橋采用范圍多為1.2～2.8；以拱腳截面的最大、最小應(yīng)力及主拱截面的最大偏心距為狀態(tài)變量；以壓力線與拱軸線偏離最小為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。利用軟件的優(yōu)化技術(shù)來確定最優(yōu)拱軸系數(shù)的關(guān)鍵在于計(jì)算結(jié)果中如何提取目標(biāo)函數(shù)，而采用壓力線與拱軸線偏離最小法，只需提取拱圈各個(gè)截面彎矩和軸力，就可得到各截面的偏心距和優(yōu)化目標(biāo)。

以下為優(yōu)化策略的控制流程

第一步：建立模型分析文件。該文件必須包含整個(gè)分析過程，且須滿足以下條件：以拱軸系數(shù)m為設(shè)計(jì)變量建立參數(shù)化模型(PREP7)；求解(SOLUTION)；提取并指定狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)(POST1)。

第二步：構(gòu)建優(yōu)化控制文件。該文件包含：進(jìn)入OPT處理器，指定分析文件(OPANL)；聲明優(yōu)化變量；選擇優(yōu)化方法；指定優(yōu)化循環(huán)控制方式；優(yōu)化迭代分析；查看優(yōu)化的設(shè)計(jì)序列結(jié)果。其中選取的優(yōu)化變量如下所示。

4 工程實(shí)例

以某下承式鋼管混凝土梁拱組合市政橋梁為依托，開展拱軸系數(shù)優(yōu)化研究。

該橋拱肋計(jì)算跨徑90m，計(jì)算矢跨比1/5。全橋共設(shè)兩榀鋼管混凝土拱肋，每榀拱肋由2根Φ1000mm×16mm鋼管和16mm厚的鋼腹板組成高為2.4m的啞鈴型斷面，兩榀鋼管混凝土拱肋橫向間距21.06m，橋面結(jié)構(gòu)采用縱橫梁體系、整體橋面板，以提高結(jié)構(gòu)的整體剛度。大橋總體布置及有限元模型如圖2、圖3所示。

選取m=1.500作為初始拱軸系數(shù)，以壓力線與拱軸線偏離最小為優(yōu)化目標(biāo)，由圖4可看出，經(jīng)過6次優(yōu)化迭代后收斂于最優(yōu)解；目標(biāo)函數(shù)反應(yīng)的是拱肋壓力線與拱軸線逼近的程度，也間接反映出拱肋的整體彎矩水平。迭代步驟如圖4所示。

優(yōu)化后的拱軸系數(shù)m=1.054，優(yōu)化前后的拱肋彎矩圖如圖5～圖6所示。

由圖5～圖6可知，優(yōu)化前拱肋最大正彎矩為3350kN·m，最大負(fù)彎矩為3600kN·m，優(yōu)化后拱肋最大正彎矩為2550kN·m，最大負(fù)彎矩為2610MPa，優(yōu)化后拱肋整體正彎矩水平相比優(yōu)化前減小23.9%；優(yōu)化后拱肋整體負(fù)彎矩水平相比優(yōu)化前減小27.5%，優(yōu)化效果顯著。

分別選取圓弧線、拋物線及優(yōu)化后拱軸系數(shù)m=1.054的懸鏈線三種線形作為拱軸線，開展主拱各截面(由于拱肋左右對稱，僅取一半拱肋)偏心距對比分析，三者偏心距結(jié)果如圖7所示。

圓弧線拱肋和拋物線拱肋彎矩圖如圖8～圖9所示。

由圖7～圖9可知：

(1)鋼管拱計(jì)算跨徑不大時(shí)，拋物線與懸鏈線拱肋偏心距基本一致，兩者拱肋彎矩?cái)?shù)值也基本相等，這主要是由于懸鏈線拱軸系數(shù)(m=1.054)基本接近拋物線拱軸系數(shù)(m=1)，導(dǎo)致力學(xué)性能也基本接近。

(2)拱腳區(qū)域，圓弧線拱肋偏心距為8.6cm，在拱腳產(chǎn)生的彎矩值為949kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較小，分別為0.4cm和1.2cm，兩者在拱腳處均產(chǎn)生相對較小的彎矩，彎矩值分別為330kN·m和577kN·m。拱頂區(qū)域，圓弧線拱肋偏心距為11.4cm，拱頂處彎矩值為1728 kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較大，分別為16.1cm和17.0cm，導(dǎo)致兩者在拱頂處均產(chǎn)生相對較大的彎矩，彎矩值分別為2372kN·m和2483kN·m。綜上所述，小跨徑拱橋拱軸線采用圓弧線時(shí)，較采用拋物線與懸鏈線，可改善拱肋拱頂區(qū)域受力，但卻是以犧牲拱腳處受力為代價(jià)。

(3)為簡化設(shè)計(jì)，針對小跨徑鋼管混凝土拱橋，建議選擇拋物線作為其拱軸線形。

5 結(jié)論

以拱軸系數(shù)計(jì)算原理為基礎(chǔ)，在對比分析最小彎曲能量法“壓力線與拱軸線偏離最小法”兩種拱軸系數(shù)優(yōu)化算法優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合APDL參數(shù)化語言，采用“壓力線與拱軸線偏離最小法”對某下承式鋼管混凝土梁拱組合市政橋梁進(jìn)行懸鏈線拱軸系數(shù)優(yōu)化分析；并將圓弧線、拋物線及優(yōu)化后的懸鏈線分別作為拱軸線進(jìn)行拱肋計(jì)算分析，對比分析各狀態(tài)下主拱各截面偏心距以獲取適用于本工程的最優(yōu)拱軸線形。最終結(jié)論總結(jié)如下：

(1)“壓力線與拱軸線偏離最小法”避開了最小彎曲能量法的復(fù)雜積分運(yùn)算，基于該方法對拱軸系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，經(jīng)過6次迭代可得到合理拱軸系數(shù)，降低了主拱肋正、負(fù)彎矩達(dá)25%左右，顯著改善了拱圈的受力狀態(tài)。

(2)分別選取圓弧線、拋物線及優(yōu)化后拱軸系數(shù)m=1.054的懸鏈線三種線形作為拱軸線，開展主拱各截面偏心距對比分析，拋物線與懸鏈線拱肋偏心距基本一致，兩者拱肋彎矩?cái)?shù)值也基本相等。

(3)拱腳區(qū)域，圓弧線拱肋偏心距為8.6cm，在拱腳產(chǎn)生的彎矩值為949kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較小，分別為0.4cm和1.2cm，兩者在拱腳處均產(chǎn)生相對較小彎矩值，分別為330kN·m和577kN·m。拱頂區(qū)域，圓弧線拱肋偏心距為11.4cm，拱頂處彎矩值為1728 kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較大，分別為16.1cm和17.0cm，導(dǎo)致兩者均在拱頂處產(chǎn)生相對較大的彎矩，數(shù)值分別為2372kN·m和2483kN·m。綜上所述，小跨徑拱橋拱軸線采用圓弧線時(shí)，較采用拋物線與懸鏈線，可改善拱肋拱頂區(qū)域受力，但卻是以犧牲拱腳處受力為代價(jià)。

(4)綜合考慮施工的方便性及拱肋的受力性能后，本橋拱肋最終采用拋物線作為拱肋線形。為計(jì)算方便，在設(shè)計(jì)時(shí)，建議選擇拋物線作為小跨徑鋼管混凝土拱橋拱軸線形。