曲面上不倒翁的力學(xué)穩(wěn)定性分析

（杭州外國語學(xué)校，浙江杭州 310000）

1.背景介紹

1.1 研究背景與意義

不倒翁是生活中常見的傳統(tǒng)玩具，最早關(guān)于不倒翁的歷史文獻(xiàn)記載出現(xiàn)于唐代。當(dāng)時(shí)的不倒翁具有人的形態(tài)，通過把器物底端做的比其頂端更重，從而使該器物在受力以后僅在一定范圍內(nèi)搖動，而不會摔倒，故而取名為“不倒翁”。據(jù)考究，在距今6000～7000年前的半坡遺址，人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了類似于不倒翁的提水工具。當(dāng)該提水工具裝水時(shí)，由于自重改變會發(fā)生一定的傾斜，然而當(dāng)其裝滿水后，人們發(fā)現(xiàn)該提水工具又會慢慢直立起來，與現(xiàn)代的不倒翁別無二致。

由于不倒翁違背了生活中物體在受到水平推力后容易傾倒的直觀經(jīng)驗(yàn)，因而這類“反?！钡耐婢呱钍苋藗兿矚g，在不倒翁“推不倒”的背后隱藏著非常豐富的力學(xué)原理。得益于現(xiàn)代完備的物理力學(xué)分析體系，我們能對不倒翁的力學(xué)原理做出完滿的解釋。如今，不倒翁的力學(xué)原理已不局限于玩具，在建筑領(lǐng)域，應(yīng)用不倒翁的原理可使建筑物更加穩(wěn)定。在生活用品方面，不倒翁原理的應(yīng)用也使易碎的物品不易摔倒，更加持久耐用。

本文借助力矩這一物理學(xué)工具，對不倒翁背后的力學(xué)原理進(jìn)行了簡要分析。同時(shí)，本文將不倒翁應(yīng)用于曲面環(huán)境，探究了其穩(wěn)定極限。通過本文分析，將不倒翁在平面上平衡條件結(jié)論推廣到了曲面，從而為研究曲面上物體的平衡提供了相應(yīng)的理論指導(dǎo)。

1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

對力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析相關(guān)介紹已有多篇文獻(xiàn)述及，黃開志對不倒翁在圓形曲面上的動力學(xué)方程進(jìn)行了分析[1]，對不倒翁在無滑動滾動條件下的“恢復(fù)”條件進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上得出了對應(yīng)的動力學(xué)參數(shù)方程，并在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)果顯示不倒翁在曲面上的擺動周期與其初始擺角近似成線性關(guān)系。張曉華對高維非線性力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分叉以及混沌問題進(jìn)行了研究[2]，

通過數(shù)值模擬與解析求解兩條途徑分析了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，結(jié)果很好地解釋了非線性動力學(xué)系統(tǒng)的行為。許勝才對加固邊坡的力學(xué)穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)探究[3]，通過理論分析、數(shù)值仿真以及實(shí)驗(yàn)的方法對邊坡的抗滑等力學(xué)性能進(jìn)行了檢驗(yàn)，具備一定的工程實(shí)用價(jià)值。姚展環(huán)對結(jié)構(gòu)力學(xué)中的復(fù)雜問題進(jìn)行了近似求解[4]，通過引用分配系數(shù)這一概念，極大簡化了所研究力學(xué)系統(tǒng)的方程個(gè)數(shù)，從而使問題在一定精度范圍內(nèi)得到近似求解。宋建欽利用力矩平衡這一工具[5]，提出了日常生活中對車輛重心以及偏重進(jìn)行理論測量的方法，從而使上述測量簡單易行，具備一定的實(shí)用價(jià)值。

2.力矩平衡與不倒翁的基本原理

2.1 力矩與力矩平衡

本文在研究不倒翁的穩(wěn)定性過程中，將不倒翁視為一個(gè)理想的剛體。所謂剛體即在運(yùn)動和力的作用下，其形狀不發(fā)生改變，并且其內(nèi)部各點(diǎn)相對位置不發(fā)生變化的物體。在現(xiàn)實(shí)生活中，絕對剛體是不存在的。考慮到一般不倒翁在受力時(shí)其形變程度與其自身的幾何尺寸相比十分微小，可忽略不計(jì)，因而本文在研究不倒翁的穩(wěn)定性時(shí)將不倒翁視為理想剛體處理。

剛體轉(zhuǎn)動時(shí)的運(yùn)動狀態(tài)由施加在剛體上的和外力矩決定。力矩是描述力對物體轉(zhuǎn)動作用的物理量，其基本公式可從杠桿原理引出。由杠桿原理可知，對于分別位于杠桿兩端的重物，其自身重力與杠桿轉(zhuǎn)軸到重力作用線距離(力臂)的乘積相等。可見，力與其對應(yīng)力臂的乘積描述了該力對杠桿這一剛體的轉(zhuǎn)動效果，稱之為力矩，表達(dá)式如下：

式(1)中：F表示剛體所受的力，d為該力對轉(zhuǎn)軸的力臂，即轉(zhuǎn)軸到力F作用線垂線段的長度，M表示力F對應(yīng)的力矩。

力矩平衡即合外力矩為零的情況。以杠桿平衡為例，杠桿兩端的重物自身重力與杠桿轉(zhuǎn)軸到重力作用線距離的乘積相等，即兩力矩的大小相等。但兩力矩的作用效果不同，剛好相反，因此兩力矩相互抵消，合外力矩為零，我們說杠桿處于力矩平衡狀態(tài)。本文所研究的不倒翁穩(wěn)定性的臨界狀態(tài)即為不倒翁所受的和外力矩為零，即力矩平衡的情況。

2.2 不倒翁的基本原理

上文對剛體以及力矩的基本概念進(jìn)行了介紹，由于不倒翁受力不會產(chǎn)生明顯的形變，因此可將不倒翁當(dāng)作剛體處理。如圖1所示，給出了一個(gè)不倒翁的簡化示意圖。圖中左邊的不倒翁處于平衡狀態(tài)，其重心位于點(diǎn)o，此時(shí)不倒翁僅受到重力mg和水平面給他的壓力FN，二力大小相等，方向相反，并且位于同一作用線上。因此左邊不倒翁所受的合外力為零，合外力矩也為零，處于平衡狀態(tài)。

圖1 不倒翁基本原理示意圖

當(dāng)不倒翁受到一定的擾動，如圖中右邊不倒翁所示，不倒翁所受重力mg與壓力FN不再位于同一作用線上，其所受合外力不再為0。若以不倒翁與水平面的接觸點(diǎn)o'為轉(zhuǎn)軸，由于水平面對不倒翁的支持力的作用線通過轉(zhuǎn)軸o'，力臂為0，因而其所產(chǎn)生的力矩也為0。此時(shí)不倒翁所受合外力矩僅由不倒翁自身重力產(chǎn)生，大小等于不倒翁自身重力與接觸點(diǎn)o'到重力作用線距離的乘積，在該“扶正”力矩的作用下，不倒翁有向平衡位置轉(zhuǎn)動的趨勢。

在理想條件下，不倒翁可以以固定周期不斷左右擺動下去，但在實(shí)際生活中，因?yàn)榭諝庾枇σ约安坏刮膛c水平面摩擦等因素的影響，不倒翁最終會停在如左邊不倒翁所示的平衡位置，由此達(dá)到不倒的效果。

圖1所示的不倒翁重心位于簡易模型圓心的下方，從而在不倒翁偏離平衡位置時(shí)產(chǎn)生一個(gè)“扶正”力矩，使不倒翁具有回到原平衡位置的趨勢。若不倒翁重心位于簡易模型圓心的上方，不倒翁偏離平衡位置時(shí)重力產(chǎn)生的力矩效果將使不倒翁更加偏離其原平衡位置，從而加速不倒翁的傾倒過程。故不倒翁要想實(shí)現(xiàn)“不倒”效果的必要條件是其自身重力在不倒翁偏離平衡位置時(shí)產(chǎn)生相應(yīng)的“扶正”力矩，對應(yīng)于不倒翁的具體結(jié)構(gòu)來說，要求不倒翁的重心要低。

3.曲面上不倒翁的穩(wěn)定條件

上文對不倒翁在平面上的穩(wěn)定性進(jìn)行了詳盡分析，解釋了不倒翁能夠自動回復(fù)到平衡位置的機(jī)理。日常生活中，不倒翁的放置環(huán)境可能并不平坦，當(dāng)將不倒翁放置在具有一定曲率的曲面上時(shí)，由生活經(jīng)驗(yàn)可知，不倒翁將存在一個(gè)最大穩(wěn)定偏角。當(dāng)不倒翁的軸線偏離豎直方向的角度超過該最大穩(wěn)定偏角時(shí)，不倒翁將產(chǎn)生傾覆。如圖2所示。

圖2 曲面上不倒翁臨界示意圖

假設(shè)不倒翁的下部為一半徑等于r的圓的不倒翁，位于半徑等于R的曲面上，不倒翁重心點(diǎn)o位于半徑的1/2處。初始時(shí)不倒翁處于A狀態(tài)，合外力等于零，所受合外力矩也等于零，不倒翁處于平衡狀態(tài)。當(dāng)不倒翁受到擾動而偏離平衡位置后，由于不倒翁所受曲面的支持力始終通過不倒翁與曲面的接觸點(diǎn)，因而以接觸點(diǎn)o'為轉(zhuǎn)軸，不倒翁所受曲面支持力的力臂始終為零，其產(chǎn)生的力矩也恒為0，不倒翁將在重力作用下繞接觸點(diǎn)o'轉(zhuǎn)動。

當(dāng)不倒翁軸線偏離豎直方向的夾角不大時(shí)，不倒翁自身重力所產(chǎn)生的力矩仍為“扶正”性質(zhì)，因而不倒翁將在該力矩的作用下回復(fù)到原平衡位置。然而，當(dāng)不倒翁軸線偏離豎直方向的夾角較大時(shí)，不倒翁自身重力產(chǎn)生的力矩將加速不倒翁的傾倒，從而使不倒翁在該曲面上失去穩(wěn)定。上圖給出了不倒翁在臨界狀態(tài)時(shí)的位置(狀態(tài)B)，即所受重力的作用線過其與曲面接觸點(diǎn)o'且不倒翁不處于初始狀態(tài)，此時(shí)重力mg與壓力FN的力臂都等于零，即合外力矩等于零，不倒翁處于臨界狀態(tài)，此時(shí)定義重力作用線與軸線的夾角即為不倒翁在該曲面上的最大穩(wěn)定偏角β。由于不倒翁與曲面不打滑，因而不倒翁滾過的弧長與曲面上通過的弧長相等，即圖中角α與偏角β之間滿足下述關(guān)系：

圖中曲面對不倒翁的支持力過不倒翁的圓心，對以不倒翁圓心、重心以及不倒翁與曲面的接觸點(diǎn)構(gòu)成的三角形應(yīng)用正弦定理可得：

將式(1)代入式(2)中，可得下式：

取特例，當(dāng)R/r=2時(shí)，可得如下超越方程，觀察可知該超越方程存在一個(gè)解為β=90°，即不倒翁的軸線可最大偏移至水平位置而不發(fā)生傾倒。

由式(3)可知，當(dāng)曲面越平坦時(shí)，即R越大時(shí)，不倒翁與豎直面的最大偏角也就越大，從而不倒翁的穩(wěn)定性就越好。當(dāng)不倒翁的重心o'點(diǎn)越低時(shí)，可獲得更大的臨界偏角，在該偏角以內(nèi)，不倒翁均能恢復(fù)原先的平衡狀態(tài)(A狀態(tài))，不倒翁的穩(wěn)定性越好。同理，當(dāng)不倒翁底面等效圓的半徑r越小時(shí)，不倒翁越不容易傾倒，穩(wěn)定性越好。

4.結(jié)論

本文對不倒翁這一傳統(tǒng)玩具進(jìn)行了力學(xué)分析，借助力矩這一物理工具，對不倒翁在平面上“不倒”的原理進(jìn)行了理論解釋，指出重力產(chǎn)生的“扶正”力矩是不倒翁能夠做到恢復(fù)原平衡狀態(tài)的關(guān)鍵，且為使重力對不倒翁的力矩為“扶正”性質(zhì)，不倒翁的重心應(yīng)當(dāng)足夠低。在此基礎(chǔ)上，本文對曲面上不倒翁的穩(wěn)定性條件進(jìn)行了探究，找到了不倒翁在曲面上保持穩(wěn)定的臨界條件，并在該臨界條件下求取了不倒翁的最大穩(wěn)定偏角。研究結(jié)果表明，不倒翁在曲面上存在某一最大穩(wěn)定角度，當(dāng)不倒翁軸線偏移超過該角度時(shí)，不倒翁的穩(wěn)定性將遭到破壞。進(jìn)一步分析可知，不倒翁在曲面上的臨界穩(wěn)定角度與其重心位置、放置不倒翁的曲面曲率半徑以及不倒翁地面等效圓的半徑均有關(guān)。本文對平面上不倒翁的平衡條件進(jìn)行了合理外推，從而為分析曲面上物體的平衡提供了相應(yīng)理論指導(dǎo)。