切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的設計及實現*

陳紹榮，劉郁林，朱行濤，徐 舜

（1.陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035；2.重慶市經信委，重慶 400015）

0 引 言

在國內外《數字信號處理》著作[1-3]中，介紹了歸一化巴特沃斯模擬低通濾波器的設計方法及歸一化切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器的設計方法。巴特沃斯模擬低通濾波器的幅頻特性，無論在通帶和阻帶都是隨頻率單調遞減，若在通帶邊緣滿足指標要求，則在通帶內肯定會有富裕量，也就是會超過指標的要求，因而并不經濟，故更有效的辦法是將指標的精度要求均勻地分布在通帶內，或均勻地分布在阻帶內，或同時均勻地分布在通帶、阻帶內。這時就可以設計出階數較低的濾波器。這種精度均勻地分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數來完成。切比雪夫模擬低通濾波器的幅度特性就是在一個頻帶（通帶或阻帶）范圍內具有這種等波紋特性。一種是通帶范圍內為等波紋，阻帶范圍內為單調遞減函數，稱為切比雪夫Ⅰ型，一種是阻帶范圍內為等波紋，通帶范圍內為單調遞減函數，稱為切比雪夫Ⅱ型。在應用中，應根據要求來確定采用哪種類型的切比雪夫模擬低通濾波器。在《數字信號處理》著作[4]中，雖然介紹了歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的設計方法，但是推導過略，不便于理解，而且給出的確定歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數公式有誤，本文在《數字信號處理》著作[5]基礎上，詳細介紹歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的設計方法，基于歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器來設計切比雪夫Ⅱ型模擬高帶通濾波器的原理、步驟及方法。

1 切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的設計

1.1 歸一化切比雪夫多項式

歸一化切比雪夫多項式定義為：

（1）當|λ|≤1 時，由式（1）可知：

①當n=0 時，由式（2）可得：

②當n=1 時，由式（2）可得：

③當n ≥1 時，在式（2）中，令λ=cosθ，可得：

由于：

考慮到式（5），由式（6）可得：

由式（7）可得遞推公式：

（2）當|λ|≥1 時，由式（1）可知：

①當n=0 時，由式（9）可得：

②當n=1 時，由式（9）可得：

③當n ≥1 時，在式（9）中，令λ=coshθ，可得：

由于：

考慮到式（12），由式（13）可得：

由式（14）可得與式（8）相同的遞推公式，即：

當n ≥1 時，由遞推式（8）或遞推式（15），并考慮到式（3）及式（4）或（10）及式（11），可以得到：

現將計算的結果制成表格，如表1 所示。

表1 歸一化切比雪夫多項式表

由表1 可知，歸一化切比雪夫多項式Cn(λ)是λ的n 次多項式，并且，首項為2n-1λn。當|λ|≤1 時，Cn(λ)在-1 至-1 之間波動變化，當|λ|>1 時，Cn(λ)按雙曲余弦單調遞增。

1.2 歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器極點分布的特點

切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻特性平方函數定義為：

式中，Ωp為通帶上截止角頻率，Ωst為阻帶下截止角頻率；n 為切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的階數；ε 為常數，并且0<ε<1。

當Ω=Ωp時，由式（20）可得：

令

考慮到式（23），則式（20）可寫成：

由式（24）可得：

若對切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的角頻率作歸一化處理，由式（20）可知，則歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻特性平方函數可寫成：

式中，λ=Ω/Ωp為歸一化角頻率，λs=Ωst/Ωp。

考慮到式（26），則有：

由式（27）可知，HL(p)HL(-p)除了有2n個極點外，還有2n 個零點。

令：

即：

亦即：

由式（30）可得HL(p)HL(-p)的零點，即：

式中，r=0,1,2,…,2n-1。

式（31）表明，HL(p)HL(-p)的零點分布在在p平面的虛軸上，若n 為奇數，當2r+1=n 時，則有pr=j∞，即HL(p)HL(-p)在p 平面虛軸上無窮遠處有一個零點。

令：

由式（32）可得：

定義φ=arccos(jλs/p)，則有：

顯然，φ 應是復數。為此，令φ=φ1+jφ2，則有：

考慮到式（36），則有：

由式（37）可知cos(nφ1)=0，于是：

將式（39）代入式（38），則有：

由式（39）及式（41）分別可以得到φ1及φ2，將φ1及φ2代入式（35），得到HL(p)HL(-p)的極點，即：

式中，l=1,2,3,…,2n。

如果令pl=σl+jλl，考慮到式（42），則有：

顯然cosh φ2>sinh φ2，因此橢圓的焦點在p 平面的虛軸上。

式（43）表明，歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器極點pl的實部和虛部滿足橢圓方程，即極點pl落在橢圓上。

由式（42）求出2n 個極點pl，一半屬于HL(p)，一半屬于HL(-p)，為保證所設計的歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器是穩(wěn)定系統(tǒng)，應將p 平面左半面的極點賦于HL(p)。

若規(guī)定φ2>0，l=1,2,…,n，則由式（42）可以得 到HL(p)的n 個 極 點pl(l=1,2,…,n)。由式（27）可知，HL(p)HL(-p)的分子和分母分別為和由 于是 常 數，因 此，由表1 的歸一化切比雪夫多項式可知，HL(p)HL(-p)的分子和分母均是jλs/p 的2n 次多項式，并且最高冪次項均為[2n-1(jλs/p)n]2。換言之，由于描述HL(p)HL(-p)的分子和分母的2n 次多項式的變量為jλs/p，而且最高冪次(jλs/p)2n的系數相同，因此，歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數可表示成：

式中，pr(r=0,1,2,…,n-1)及pl(l=1,2,…,n)分別為歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數的零點和極點。

1.3 切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的設計步驟

（1）將角頻率作歸一化處理，得到歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器幅頻特性平方函數。

（2）確定歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器涉及的常數ε 及階數n。

考慮到式（26），則衰減函數α(λ)可表示成：

設Ω=Ωp，即λ=λp=Ωp/Ωp=1 時，通帶允許的最大衰減為αp，考慮到式（45），則有：

設Ω=Ωst，即λ=λs時，阻帶應達到的最小衰減為αs，考慮到式（45），則有：

考慮到式（46），由式（48）可得：

由式（49）可得：

這樣，首先利用式（46）求出常數ε，再利用式（49）計算出a2值，最后利用式（50）就可求出歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的階數n。

（3）利用式（31）、式（42）及式（44），可求出歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數HL(p)。

（4）作逆歸一化處理，即令p=s/Ωp，可從歸一化的切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數HL(p)得到切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數H(s)，即：

2 切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的設計及實現

可以通過頻率變換的方法，基于歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器來完成切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的設計，其設計過程，如圖1 所示。

圖1 切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的設計過程

2.1 歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器到模擬低通濾波器的頻率變換公式

歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器及模擬低通濾波器的幅頻特性，分別如圖2 及圖3 所示。

圖2 歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的幅頻特性

圖3 歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻特性

為了保證頻率變換后，兩個歸一化的幅頻特性|HG(jη)|和|HL(jλ)|，在通帶內和阻帶內的衰減dB 數相同，各頻率點的對應關系，如表2 所示。

表2 歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬高通與低通濾波器幅頻特性各頻率點的對應關系

由表2可知，歸一化角頻率λ 與η 滿足下述關系：

考慮到式（52），則|HL(jλ)|中對應的復變量p=jλ 與|HG(jη)|中對應的復變量q=jη 滿足下述關系：

于是，作逆復頻率變換，可得歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的轉移函數，即：

由于：

基于式（55），作逆歸一化處理，并注意到式（54），可得切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的轉移函數，即：

式（56）表明，可將逆復頻率變換和逆歸一化處理兩個步驟，合為一步完成便可。

2.2 利用歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器設計切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的步驟

（1）將待設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的通帶下截止角頻率和阻帶上截止角頻率作歸一化處理，可得：

（2）利用式（52）作頻率變換，并考慮到頻率點的對應關系，則有：

因此，λp=1 可直接給出，而αp、αs保持不變；其中，αp、αs分別為待設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器通帶允許的最大衰減及阻帶應達到的最小衰減。

（3）按要求設計歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器，得到HL(p)。

（4）利用式（54）作逆復頻率變換，得到歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的轉移函數HG(q)。

（5）利用式（56）作逆歸一化處理，得到切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的轉移函數H(s)。

2.3 切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的設計舉例

例：切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的技術指標為：通帶下截止角頻率Ωp=5×106rad/s，通帶最大衰減αp=101g(8 194/4 225)dB，阻帶上截止角頻率Ωst=4×106rad/s，阻帶最小衰減αs=12 dB。

試按下述要求，完成該模擬高通濾波器的設計。

（1）設計歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器。

（2）若取Ωp=4×106rad/s，對（1）的結果作逆歸一化處理，即令p=s/Ωp，寫出相應的切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數，并畫出實現電路。

（3）基于（1）的結果，寫出所設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的轉移函數，并畫出實現電路。

解：（1）設計歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器

①將待設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的通帶下截止角頻率和阻帶上截止角頻率作歸一化處理

因為Ωp=5×106rad/s，Ωst=4×106rad/s，所以ηp=1，ηs=Ωst/Ωp=0.8。

②作頻率變換，考慮到式（57）及式（58），則有：λp=1/ηp=1，λs=1/ηs=5/4

并且，αp=101g(8 194/4 225)dB；αs=12 dB。

③確定歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器涉及的常數ε 及階數n

由式（46）可得：

由式（61）可得：

將αs=12 dB 及式（61）代入式（49），可得：

由式（63）可得：

設：

由式（65）可得：

由式（66）可得一元二次方程，即：

解得：

考慮到式（68），則有：

將式（64）代入式（69）可得：

同理，當λs=5/4 時，由式（69）可得：

將式（70）及式（71）代入式（50），可得：

由式（72）可知，?。?/p>

④確定歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數HL(p)

將λs=5/4，式（62）及式（73）代入到式（41），可得：

考慮到：

將式（74）代入式（75）可得：

考慮到式（69），由式（76）可得：

考慮到式（77），則?。?/p>

考慮到式（78），則有：

將λs=5/4，式（73）、式（79）、式（80）及式（81）代入式（42），則有：

由式（82）可得極點：

將λs=5/4，式（73）代入式（31），則有：

由式（86）可得零點：

將式（83）、式（84）、式（85）、式（87）、式（88）及式（89）代入式（44），可得歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數HL(p)，即：

（2）考慮到式（90），由式（51）可得切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的轉移函數，即：

考慮到式（91），則描述切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的信號流圖，如圖4 所示。

圖4 切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的信號流圖

依據圖4 所示的信號流圖，則利用電阻、電容及運算放大器來實現切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的電路圖，如圖5 所示，其中，R1=100 kΩ，R2=R4=200 kΩ，R3=80 kΩ，R5=R6=R7=100 kΩ，R8=50 kΩ，Rp2=2.1 kΩ，Rp3=2 kΩ，Rp4=1.5 kΩ。

圖5 實現切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的電路圖

（3）考慮到式（56），可得所設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的轉移函數，即：

下面檢驗所設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減是否滿足技術指標要求。

考慮到式（92），則切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的頻率特性為：

由式（93）可得：

由式（94）可得：

由式（93）可得：

由式（96）可得：

因此，所設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減滿足技術指標要求。

其實，式（92）可寫成：

考慮到式（98），則所設計的切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的信號流圖，如圖6 所示。

依據圖6 所示的信號流圖，則利用電阻、電容及運算放大器來實現切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的電路圖，如圖7 所示，其中，R1=30 kΩ，R2=150 kΩ，R3=100 kΩ，R4=50 kΩ，R5=300 kΩ，R6=R8=50 kΩ，R7=100 kΩ，Rp2=5 kΩ，Rp3=Rp4=10 kΩ。

圖6 切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的信號流圖

圖7 實現切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的電路圖

3 結 語

本文介紹了歸一化切比雪夫多項式及其遞推公式，歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的極點分布的特點，確定歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的零極點和轉移函數的公式，設計歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的步驟；再介紹了利用頻率變換來設計切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的方法；最后給出了基于歸一化切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器來設計切比雪夫Ⅱ型模擬高通濾波器的實例。