以數(shù)軸之引，滲透“用字母表示數(shù)”

丁增寶 劉斌 高圣前 胡平

[摘要]從引入的真正目的為出發(fā)點，思考引入在一節(jié)課所處的位置和扮演的角色，悟出“引入觀”，據此想法設計教學案例《用字母表示數(shù)》，以數(shù)軸為媒介，讓引入的作用發(fā)揮到極致，對學生學習新知、后續(xù)學習將產生積極的促進作用，并通過兩次教學實踐。再次印證“引入觀”是值得深思的。

[關鍵詞]引入，數(shù)軸，用字母表示數(shù)，初高中聯(lián)系

1 筆者的“引入觀”

優(yōu)秀文學作品的開頭是全文的精髓，是引線，表達著作者的態(tài)度和思想，全文延續(xù)著開頭的態(tài)勢持續(xù)發(fā)展，如《三國演義》《紅樓夢》均是如此，故筆者之思考，教學中的引入應如文學作品的開頭一般，上引聽者之心，下引內容之魂，教師在教學時。應該讓引入具有“靈魂性”，筆者所指“靈魂性”，蘊含三個觀點：一是引入應該體現(xiàn)教學內容的前后聯(lián)系，起到承上啟下的作用：二是引入應該為理解新知提供一種新的視角和解決問題的路徑，有效促進順向遷移的作用：三是引入與新課相互融合應該為后續(xù)學習做好充分的準備，起到鋪墊作用，本文以滬科版第二章第一節(jié)“用字母表示數(shù)”為案例，具體闡述筆者的“引入觀”。

2 教學設計

本節(jié)“用字母表示數(shù)”是初中生從數(shù)到代數(shù)的第一課，是具體到抽象的飛躍，是知識螺旋式上升的體現(xiàn)，因為在小學已經初步了解“用字母表示數(shù)”，并會字母進行簡單的列式，因此人教版、滬科版和北京教育出版社的教材在引入環(huán)節(jié)均采用小學的列式，然后逐步理解用字母表示數(shù)，利用與小學知識的相互聯(lián)系，的確是一種很好的引入方式。但是從時間和空間上看，這種引入顯得有些遙遠和刻意，能否用“就近”的知識引入本節(jié)課呢？筆者認為“數(shù)軸”就是一個妥當?shù)倪x擇，首先，從宏觀（學習內容編排）上看，用字母表示數(shù)是在有理數(shù)學習之后。因為這遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律：從具體到抽象，從微觀上看，有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，事實上，數(shù)軸上的點不僅可以表示數(shù)，也可以表示一個代數(shù)式，這是數(shù)與代數(shù)式（非數(shù)）的共性，何不利用這種共性呢？這也是筆者提到的“承上啟下”，其次，從學生的角度思考，數(shù)軸是學生今后解決問題的常用工具，甚至到高中仍有著一席之地，后文有說明，因為數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，使得抽象的數(shù)或代數(shù)式用一種直觀的圖象展示，更有助學生理解難點，鑒于此。筆者設計本節(jié)的引入，限于篇幅，本文只展示部分教學內容。

（1）以數(shù)軸之引，引入新知

有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，這是學生在學習數(shù)軸時已經掌握的基本事實，數(shù)軸的出現(xiàn)，讓空洞的有理數(shù)變得可形象，可操作?？芍庇^，其實，在學習數(shù)軸時，學生已經接觸了用字母表示數(shù)，如圖1、圖2、圖3均是用字母表示數(shù)的雛形，這些題目已經在滲透用字母表示數(shù)的思想，因此在本節(jié)知識的引人時，我們何必苦苦思索呢？利用數(shù)軸的即可完成引入，

教師：前面一章已經學習了有理數(shù)，并且知道有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，請看圖1、圖2、圖3.你們知道這些字母都代表什么意思嗎？

學生1：a表示數(shù)6.C表示任意的正數(shù)，b與-b表示互為相反數(shù)，

教師：由此可見，這里的字母都表示什么？

學生（共同）：都表示數(shù)，

教師：這也就是今天所要學習的“用字母表示數(shù)”。

設計意圖 新課的引入是一節(jié)課的伊始，從時間分配上大概是3分鐘，但是新課的引入是為了什么？引入的真正的作用是什么？以筆者之陋見，引人是能啟發(fā)學生想象力、發(fā)散學生思維，激發(fā)學生學習的興趣，激發(fā)學生探索新知的好奇心，這是“為什么要引人”，引入是將學生已經學習的舊知與新知充分聯(lián)系起來，起到承上啟下的作用，更是為新課打開一種視野，為探究新知提供一種方法，助于學生理解掌握新知，并在今后的解決問題時起到積極的促進作用，這是“引入真正的目的”，這是筆者提倡“引入觀”的第一個觀點：引入應該體現(xiàn)教學內容的前后聯(lián)系，起到承上啟下的作用，

（2）以數(shù)軸之引，探究偶數(shù)

因為數(shù)軸和圖l、圖2、圖3的引入，使得數(shù)到字母的“無縫過渡”，從而，學生對抽象的概念“字母表示數(shù)”顯得可觸及，可操作，接下來。繼續(xù)利用數(shù)軸探究新知：偶數(shù)，

教師：請同學們看圖1.我們把數(shù)軸無限拉伸，在非負半軸上顯現(xiàn)出來的數(shù)分別為0.2.4.6.8.……，這些數(shù)在小學中我們稱之為什么數(shù)？（教師把這些數(shù)用黑點標注出來）。

學生2：都是偶數(shù)，

教師：因為負數(shù)的學習，所以偶數(shù)不局限于正數(shù)，偶數(shù)的定義為：能夠被2整除的數(shù)，故偶數(shù)分別為0.±2.±4.±6.…請同學們繼續(xù)觀察圖4.你知道問號處表示多少嗎？請說說你的想法，

學生3：是2k，因為每一個對應的數(shù)均是第幾個的2倍。所以為2k，

教師：此時k是什么數(shù)？

學生3：k是正整數(shù)，

教師：那2k是偶數(shù)嗎？

學生4：是的，因為它滿足偶數(shù)的定義：從數(shù)軸上看，它正好在偶數(shù)點上，

教師：現(xiàn)在我們把上面的提示抹掉，只剩下單純的數(shù)，當k是非正整數(shù)時，2k對應的是哪些數(shù)？你可以在數(shù)軸上表示出來嗎？

學生5：分別是0.-2.-4.-6等等，

教師：請大家觀察我們剛剛標出這些點，它們是什么數(shù)？

學生6：都是偶數(shù)，

教師：請思考，任何一個偶數(shù)，可以用什么形式表示出來呢？需要注意什么？

學生7：2k，其中k為整數(shù)，

教師：請大家繼續(xù)觀察這個數(shù)軸圖5.能否說出點A、點B分別表示什么？

學生8：A表示2K-2.O表示2K+2.

教師：若k是任意的整數(shù)，那么2k-2和2k+2都可以表示任何一個偶數(shù)嗎？請同學們小組討論，

經過小組的討論和辯論，得出一致的結論：若k是任意的整數(shù)，那么2k-2和2k+2都可以表示任何一個偶數(shù)。

教師：既然2k，2k-2和2k+2都可以表示任意的偶數(shù)，從形式的簡潔性看，哪個形式更受歡迎？

學生（共同）：2k，

設計意圖在小學，學生對偶數(shù)的概念僅僅停留在正偶數(shù)，學習有理數(shù)之后，偶數(shù)的范圍擴大到整數(shù)范圍內，那么借助于數(shù)軸認識偶數(shù)更直觀，使得虛無縹緲的的負偶數(shù)變得可觀察，學生理解偶數(shù)之后。可以繼續(xù)利用數(shù)軸自主探究奇數(shù)，并且從數(shù)軸上觀察奇數(shù)與偶數(shù)的排列，更能凸顯奇偶數(shù)的規(guī)律和內涵，本環(huán)節(jié)，僅僅用一條數(shù)軸，就能引導學生認識偶數(shù)的一般形式，和初步理解字母表示數(shù)，這條數(shù)軸在后面將繼續(xù)發(fā)揮作用。

（3）以數(shù)軸之引，拓展新知

學生在數(shù)軸的引導下。繼續(xù)探究新知并由此應用新知，教師展示下面的例題。

例1：觀察圖6中正方形四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律，可知，數(shù)2016應標在（）。

A，第504個正方形的左上角

B，第504個正方形的右上角

C，第505個正方形的左上角

D，第505個正方形的右下角

教師：根據觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

學生9：每個正方形右下角的數(shù)分別為0.4.8.12.…都是4的倍數(shù)，2016也能被4整除，

教師：你能否把這些數(shù)標在數(shù)軸上？第n個如何表示？

學生展示圖7.

教師：通過以上的分析。你能得出本題的選項？

學生（共同）：選D。

設計意圖 若是把數(shù)標在數(shù)軸上，本題就轉化為數(shù)軸上的數(shù)，從形式上化簡，從難度上降低，如此觀察，讓規(guī)律更加顯現(xiàn)，讓字母表示數(shù)的內涵更加深入，表示4的倍數(shù)可以表示諸如4n，4n+4.4n-4（n為整數(shù)）的形式，這既是對偶數(shù)概念的鞏固，也是對知識的應用和深化，在此特別說明。例1學生的生成的知識很多，與本文相關的只展示學生9的回答。

將例題的數(shù)標在數(shù)軸上，也就是現(xiàn)在所學與已經學習的數(shù)軸建立相互聯(lián)系，拓展了解題的思路，使得問題簡單化，為本題提供一種解決問題的方法，這即是前文提到的第二觀點：引人為理解新知提供一種新的視角和解決問題的路徑，有效促進順向遷移的作用，這樣的教學讓學生從心里上產生簡單易學，對新知產生親近感、無陌生感，在學習中，學生會發(fā)現(xiàn)，字母不僅可以表示數(shù)，亦可表示代數(shù)式，如一6.2k，4n-4等等，中考常?？疾斓奶剿饕?guī)律的題目，讓學生通過規(guī)律總結歸納出數(shù)列的通項公式，這何嘗不是一種用字母表示數(shù)呢？形如a_n=4n-4（n為正整數(shù)），高中學生會明白這是一個以O為首項，以4為公差的等差數(shù)列，4n-4可以看成是等差數(shù)列的通項公式，只不過，在初中生的眼中，4n-4是4的整數(shù)倍，這既是與字母表示數(shù)的相互聯(lián)系，也是初高中的相互聯(lián)系，從理論上講，等差數(shù)列的每一項都是數(shù)軸上一些等距離排列的點，從這個角度，數(shù)軸是連接數(shù)與代數(shù)式的紐帶，借助數(shù)軸可以深化理解用字母表示數(shù)，

3 為什么選擇數(shù)軸作為引入

其一，“用字母表示數(shù)”引入的方式有很多，如尋物啟事、由小學所學知識、有理數(shù)的運算律等等，這都是常見的引入，這種引入都是從學生身邊作為出發(fā)點，學生也非常認可這種引入，但是筆者看來，該引入的目的過于“單純”，因為這種引入，在后面的新知探究所用甚少，此種引入僅僅是“因為新知的引用而引用”，引入的真正的作用是貫穿始終，如衛(wèi)德彬在文中《數(shù)學開放型問題及其教學實踐與思考》提供一種想法，引人的例題是開放型的問題，使得探究的問題有路徑可循，在一定程度上，這種想法體現(xiàn)了積累數(shù)學活動經驗的思想，使得后續(xù)的學習更為流暢和順利，本文亦贊同這種思想，讓引入的作用更寬廣，更具有“延續(xù)性”，其二，數(shù)軸是學生前面已經學習的舊知，當教師把數(shù)和表示數(shù)的字母標在數(shù)軸上，使得本節(jié)知識豐富飽滿、立體可見，從學生的理解角度上看，學生更樂于接受這種可見、可觸摸的引入，讓難點轉化，其三，大部分的學生會接受

4 實際情況與實踐反饋

筆者秉承本文中的思想，于2019年9月19日在合肥市第五十中學東校區(qū)（非筆者學校）把本節(jié)課完整地呈現(xiàn)給學生，由于開學只有短短的20天，事實上，學生并沒有完整地學習完第一章節(jié)的內容，只學習了1.1正數(shù)和負數(shù)、1.2數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值、1.3有理數(shù)的大小、1.4有理數(shù)的加減，學生在此期間，接觸最多就是數(shù)軸，如借助數(shù)軸學習相反數(shù)、絕對值、及有理數(shù)的加減，所以，數(shù)軸在分析問題方面，起著重要的作用，從前文的闡述中，數(shù)軸除了幫助學生學習新知，在后面的繼續(xù)學習中繼續(xù)扮演中重要的角色，對學習起著積極的作用，因此萌發(fā)借助數(shù)軸認識“用字母表示數(shù)”，在學習有理數(shù)的大小時，學生已經接觸過如“-b，a+b”等等在數(shù)軸上表示，這就是代數(shù)思想的萌芽，也是筆者選擇數(shù)軸的初衷，評課教師用“耳目一新”來形容，評價本節(jié)課用一種全新的視角學習本節(jié)課，令抽象的、陌生的代數(shù)變得直觀形象，現(xiàn)場的學生反饋就是更好的證明，筆者曾經疑慮：是否合肥市第五十中學的學生太“懂事”了，有意配合授課教師作出如此好的教學效果？于是，2019年9月23日，筆者整理本次課件，結合學生的情況。只對其中的練習題目作出適當?shù)男薷?，并請本校教師一同聽課，結果教學效果如19日當天一樣，并收到聽課教師的一致好評，兩次實踐，更令筆者堅信：實踐出真知，以數(shù)軸之引，滲透“用字母表示數(shù)”是值得一試的教學嘗試，也間接對筆者的引入觀又一次肯定。