工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)中實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法的改進(jìn)

李雪艷，許俊財(cái)

（暨南大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院 “重大工程災(zāi)害與控制”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510632）

0 引言

《工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)》是中國(guó)高校力學(xué)、土木、機(jī)械類專業(yè)選修課，旨在培養(yǎng)相關(guān)專業(yè)學(xué)生的振動(dòng)測(cè)試和振動(dòng)信號(hào)分析能力[1]。工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)是一門綜合性技術(shù)，集振動(dòng)理論、動(dòng)態(tài)測(cè)試技術(shù)、信號(hào)分析和系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別等多學(xué)科于一體，通過理論分析與試驗(yàn)研究相結(jié)合以達(dá)到工程測(cè)試的目的。目前工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)的地位越來越重要，是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的重要手段，主要包括測(cè)量技術(shù)與試驗(yàn)技術(shù)。在動(dòng)態(tài)測(cè)試過程中，需要借助專門設(shè)備，通過試驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理，得到所研究結(jié)構(gòu)的有關(guān)振動(dòng)信號(hào)[2-5]。

實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是 《工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)》的一個(gè)重要內(nèi)容，它是研究復(fù)雜機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)的重要手段。模態(tài)參數(shù)是結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，每一個(gè)模態(tài)都具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計(jì)算或?qū)嶒?yàn)分析得到，這個(gè)計(jì)算或?qū)嶒?yàn)分析的過程稱為模態(tài)分析。

如果通過實(shí)驗(yàn)設(shè)備將采集的系統(tǒng)輸入與輸出信號(hào)經(jīng)過參數(shù)識(shí)別獲得模態(tài)參數(shù)，就稱為實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析通常是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)激振，由響應(yīng)的信號(hào)求得系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，再采用多種識(shí)別方法，最終得到結(jié)構(gòu)固有的模態(tài)參數(shù)。傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法可以分為頻響函數(shù)法（測(cè)力法）和環(huán)境激勵(lì)法（不測(cè)力法）兩種：①頻響函數(shù)法為在實(shí)驗(yàn)過程中測(cè)量激振力和響應(yīng)的方法，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是通過對(duì)激振力和響應(yīng)的時(shí)程進(jìn)行頻率分析，求得系統(tǒng)的頻響函數(shù) (或傳遞函數(shù))，然后采用參數(shù)識(shí)別法求出結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)和結(jié)構(gòu)參數(shù)；②環(huán)境激勵(lì)法為在實(shí)驗(yàn)過程中不需要測(cè)量激振力的方法，因?yàn)閷?shí)際工程中的大量結(jié)構(gòu)和機(jī)器（如大型建筑、橋梁、大壩等）都是很難人工施加激振力的，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)主要由環(huán)境激勵(lì)引起，其激振力也很難測(cè)出，如車輛行駛時(shí)的振動(dòng)以及地脈動(dòng)等各種環(huán)境激勵(lì)，而這些環(huán)境激勵(lì)既不可控制又難以測(cè)量[6-8]。

頻響函數(shù)法在得到頻響函數(shù)以后，可以繼續(xù)得到幅頻曲線、實(shí)頻曲線和虛頻曲線等，然后由峰值法確定結(jié)構(gòu)的頻率，再進(jìn)一步計(jì)算確定結(jié)構(gòu)的阻尼和振型。峰值法（Peak picking method）是最簡(jiǎn)單的頻域結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，它假定所測(cè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)只由一種模態(tài)確定，因此較適合模態(tài)可以很好地分離且阻尼較小的情形，具有處理簡(jiǎn)單、快速、實(shí)用等特點(diǎn)[9-10]。但是峰值法需要進(jìn)行傅里葉變換，在一定的窗口寬度上進(jìn)行平均處理，這樣的處理會(huì)忽略一些細(xì)節(jié)，因此峰值法不可避免的存在本質(zhì)上的不足：由于該方法要求結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率均勻分布，對(duì)于高聳結(jié)構(gòu)如煙囪、水塔等，結(jié)構(gòu)空間扭轉(zhuǎn)模態(tài)和彎曲模態(tài)的特征頻率會(huì)有比較接近的值，使用峰值法會(huì)出現(xiàn)遺漏或誤差；另外，峰值的選取也具有主觀性。盡管存在以上不足，但是峰值法識(shí)別模態(tài)參數(shù)速度快，容易操作，所以在現(xiàn)有工程振動(dòng)測(cè)試的教材中主要還是使用該方法。

而近年來，隨機(jī)子空間法被廣泛應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)的識(shí)別。隨機(jī)子空間方法（Stochastic Subspace Identification method）是1995年以來國(guó)內(nèi)外模態(tài)分析方面專家和學(xué)者討論的一個(gè)熱點(diǎn)[11-14]。該方法基于離散時(shí)間狀態(tài)空間方程，是直接處理時(shí)間序列的時(shí)域方法，輸入由隨機(jī)白噪聲代替，適用于環(huán)境激勵(lì)條件下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別。隨機(jī)子空間方法適合土木結(jié)構(gòu)尤其是橋梁等實(shí)際工程的系統(tǒng)識(shí)別問題，能夠比較準(zhǔn)確的識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。其理論嚴(yán)密、算法清楚，便于計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)。本文擬把隨機(jī)子空間法拓展到適用于所有激勵(lì)情況下的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，即可以適用于包括沖擊激勵(lì)、簡(jiǎn)諧激勵(lì)和環(huán)境激勵(lì)等多種情況下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，以便可以被學(xué)生掌握該方法和將該方法應(yīng)用到實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中。

1 隨機(jī)子空間法

基于協(xié)方差的隨機(jī)子空間法主要從輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建的Hankel矩陣，去構(gòu)造其數(shù)據(jù)協(xié)方差的Toeplitz矩陣，然后進(jìn)行奇異值分解，由此得到矩陣行和列空間中拓展的可觀測(cè)矩陣和逆向擴(kuò)展的可控制矩陣。利用拓展的可觀測(cè)矩陣的推移不變特殊性質(zhì)得到系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

1.1 構(gòu)建Hankel矩陣

如分析的系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出響應(yīng)為y（t）。設(shè)定i為時(shí)刻點(diǎn)，j為離散的時(shí)間序列，通過輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建如下的Hankel矩陣[15]：

將Hankel矩陣劃分為上下兩個(gè)部分，有兩種分類形式，一部分代表過去輸出（past），一部分表示未來輸出（future），可以表示如下：

1.2 輸出協(xié)方差矩陣

結(jié)合實(shí)際輸出的同一時(shí)間內(nèi)j組輸出向量，假設(shè)輸出有各態(tài)歷經(jīng)性，則系統(tǒng)的輸出協(xié)方差矩陣可以表示為以下形式：

1.3 由協(xié)方差構(gòu)建的Toeplitz矩陣

輸出協(xié)方差構(gòu)建的Toeplitz矩陣表示如下：

可進(jìn)一步表示為：

其中A為離散狀態(tài)矩陣，由其特征值即可求得系統(tǒng)的動(dòng)力特征值，C為離散輸出矩陣，G為狀態(tài)輸出協(xié)方差矩陣，Oi=[C CA…CAi-1]T成為拓展的可觀測(cè)矩陣；為逆向拓展的可控制矩陣。

1.4 Toeplitz矩陣分解

對(duì)Toeplitz矩陣進(jìn)行奇異值分解可得如下表達(dá)：

其中Ud、Ud為正交矩陣，Sd為奇異值所組成的對(duì)角矩陣。進(jìn)而可以得到以下關(guān)系，

1.5 狀態(tài)矩陣A的求解

拓展的可觀測(cè)矩陣包含了狀態(tài)矩陣A，取Oi的i-1行， 得到和，表達(dá)如下：

所以兩者的關(guān)系為：

因此狀態(tài)矩陣A可由下式求得，

其中（·）+為廣義逆的表達(dá)。由于需要進(jìn)行廣義逆計(jì)算，當(dāng)輸入信號(hào)中含有噪聲時(shí)，容易引起該重構(gòu)狀態(tài)矩陣擾動(dòng)，導(dǎo)致最后出現(xiàn)大量虛假模態(tài)。本文通過忽略高階分量以得到更穩(wěn)定的狀態(tài)矩陣，從而有效提高了穩(wěn)態(tài)圖的質(zhì)量和最后的模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度。

1.6 連續(xù)狀態(tài)矩陣Ac和離散狀態(tài)矩陣A的關(guān)系

對(duì)離散狀態(tài)矩陣A進(jìn)行特征值分解可得：

其中Λ=diag[ui]，ui表示離散復(fù)特征值，即Λ表示各階復(fù)特征值組成的對(duì)角陣，Ψ表示特征向量組成的矩陣。

同理，連續(xù)狀態(tài)矩陣進(jìn)行特征值分解之后的表達(dá)式為，

其中 Λc=diag[λi]， λi表示連續(xù)復(fù)特征值。

由于A=eAcΔt，所以有：

由此可知，連續(xù)狀態(tài)矩陣和離散狀態(tài)矩陣分解出來的特征向量是一致的，它們之間特征值的關(guān)系如下:

1.7 系統(tǒng)的復(fù)特征值與固有頻率、阻尼比之間的關(guān)系

系統(tǒng)的復(fù)特征值與固有頻率、阻尼比之間的關(guān)系有如下式子:

其固有頻率ωi、阻尼比ξi和振型Φ為:

2 七層框架模型實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

圖1（a）所示的七層鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬分析，來演示基于隨機(jī)子空間法的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識(shí)別。每層豎向柱子被分成兩個(gè)等長(zhǎng)的梁?jiǎn)卧繉訖M向梁被分成三個(gè)等長(zhǎng)的梁?jiǎn)卧?，結(jié)構(gòu)有限元模型的單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)系統(tǒng)如圖1（b）所示， 總共56個(gè)平面梁?jiǎn)卧?1個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)自由度，共153個(gè)自由度。結(jié)構(gòu)每層柱子高為0.3米，共2.1 m，柱橫截面為長(zhǎng)50 mm、寬8.92 mm的矩形，橫向梁長(zhǎng)為0.5 m，截面為長(zhǎng)50 mm、寬4.85 mm的矩形，材料彈性模量為E=200 GPa，結(jié)構(gòu)中柱的質(zhì)量密度和梁的質(zhì)量密度分別為7850 kg/m3和 7734 kg/m3。

為了模擬樓板的質(zhì)量，每層分別加了兩對(duì)質(zhì)量塊，每一對(duì)質(zhì)量塊重量為3.9 kg?？蚣艿牡撞勘还讨В瑱M向、豎向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的約束由大剛度1.0×1010kN/m， 1.0×1010kN/m 和 1.0×109kNm/rad來代替。采用瑞利阻尼，前兩階阻尼比為ξ1=ξ2=0.01，其它階阻尼比由ΦTCΦ/（2ω）計(jì)算得到，Φ為振型矩陣，C為阻尼矩陣，ω為模態(tài)頻率向量。通過特征值分析，得到結(jié)構(gòu)的前三十階頻率為1.7616， 7.1044，12.3851，14.5004， 17.7541， 22.0517， 249.3672， 253.2250， 257.7560， 259.181 1， 261.7788， 266.3669， 267.9939和 273.7268 Hz，如表1所示。取時(shí)間步長(zhǎng)為0.001 s，在第2節(jié)點(diǎn)處作用水平方向的三角脈沖激勵(lì)，激勵(lì)峰值為320.4 N，持續(xù)0.005 s。采用逐步積分法，計(jì)算該七層框架結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)來模擬測(cè)試得到的加速度響應(yīng)。假定在第3到第8節(jié)點(diǎn) “安裝”加速度計(jì)記錄測(cè)試這些節(jié)點(diǎn)6 s內(nèi)的水平向加速度響應(yīng)；計(jì)算這些節(jié)點(diǎn)的頻響函數(shù)，得到幅頻曲線如圖2所示。

圖1 七層框架結(jié)構(gòu) （單位：m）Fig.1 The seven-floor frame structure （unit： m）

通過該曲線，由峰值法可得到的頻率為：1.465， 7.324， 12.21， 14.65， 17.58， 21.97， 25.8 8，28.32 Hz（如表1所示），而其它的峰值則不明顯，所以更高階的頻率通過峰值法無法識(shí)別得到。

圖2 來自六個(gè)測(cè)點(diǎn)的幅頻曲線Fig.2 The amplitude frequency curves of acceleration responses from six measurement locations

如果把這六個(gè)測(cè)點(diǎn)的加速度響應(yīng)，使用隨機(jī)子空間法進(jìn)行分析，那么可以得到如圖3所示的穩(wěn)態(tài)圖，圖3（a）為整個(gè)頻率范圍的穩(wěn)態(tài)圖，圖3（b） 、（c） 、（d） 分別為 0～60 Hz、 60～120 Hz、 120～240 Hz之間的穩(wěn)態(tài)圖。識(shí)別出來的頻率分別為1.762， 7.103， 12.38，14.49，17.74， 22.02， 25.8 6， 28.43， 40.11， 41.84， 43.61， 45.47， 47.55， 4 8.66， 71.34，102.3， 103.3，105.2， 106.9， 108.9， 109.4， 158.5， 219.2， 224.4 和 230.0 Hz， 如表1所示。

通過跟結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度特征分析得到的頻率進(jìn)行比較，從表1可以看到，峰值法僅能識(shí)別前八階頻率，而隨機(jī)子空間法則可以識(shí)別前二十五階頻率，且前十五階頻率最大誤差低于1.7%，而峰值法的誤差則最大達(dá)到3%?？梢?，無論從識(shí)別的頻率階數(shù)還是從精度上，隨機(jī)子空間法都更有優(yōu)勢(shì)。

表1 通過三種途徑得到的頻率Table 1 The identified frequencies using three methods

3 簡(jiǎn)支鋼梁實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

對(duì)如圖4所示的簡(jiǎn)支鋼梁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室測(cè)試，來進(jìn)一步演示本文提出的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法。采用的鋼梁長(zhǎng)1996 mm，截面為寬50.75 mm、深9.69 mm的矩形，楊氏模量為191.1 GPa，密度為7790.6 kg/m3。鋼梁兩端簡(jiǎn)支，支座間跨度為1920 mm，如圖4所示七個(gè)加速度傳感器被等間距安裝在鋼梁上表面，采樣頻率2000 Hz。在距梁右端638 mm處的上表面，用錘子進(jìn)行敲擊產(chǎn)生振動(dòng)，使用商用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)INV303和數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)DASP2003測(cè)試并記錄加速度，進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)試。通過頻響函數(shù)和局部峰值拾取法，可以得到結(jié)構(gòu)的前十階頻率如表2所示。通過隨機(jī)子空間法得到的0～300 Hz之間的穩(wěn)態(tài)圖如圖5所示，從表2可見，隨機(jī)子空間法能識(shí)別得到結(jié)構(gòu)的前十二階頻率。因此，在本模型實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)子空間法也能識(shí)別到更多的頻率階數(shù)。

圖3 來自六個(gè)測(cè)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)圖Fig.3 The stabilization diagrams of acceleration responses from six measurement locations

表2 基于頻響函數(shù)+峰值拾取法和隨機(jī)子空間法識(shí)別出的頻率Table 2 The identified frequencies using the peak picking method of frequency response function and the stochastic subspace method

4 結(jié)語

鑒于工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)教材中基于頻響函數(shù)的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)具有識(shí)別模態(tài)階數(shù)較少等局限性，本文應(yīng)用隨機(jī)子空間法來對(duì)一般激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別?；驹硎菍?duì)測(cè)試得到的振動(dòng)響應(yīng)，構(gòu)建Hankel矩陣和Toeplitz矩陣，然后進(jìn)行奇異值分解，并構(gòu)建結(jié)構(gòu)的狀態(tài)矩陣進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，形成穩(wěn)態(tài)圖，最后識(shí)別出結(jié)構(gòu)頻率。通過數(shù)值算例和模型實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該方法能識(shí)別得到更多階數(shù)的頻率，并且具有更高的精度。

該方法可作為現(xiàn)有工程振動(dòng)測(cè)試技術(shù)中實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析法中頻響函數(shù)峰值法教學(xué)的有益補(bǔ)充，提高學(xué)生的能力和興趣。該方法也便于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，適合在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析中應(yīng)用。

圖4 實(shí)驗(yàn)室測(cè)試的簡(jiǎn)支鋼梁Fig.4 Schematic diagram of a simply supported steel beam tested in the laboratory

圖5 實(shí)驗(yàn)室測(cè)試簡(jiǎn)支梁在0～300 Hz之間的穩(wěn)態(tài)圖Fig.5 The stabilization diagram of acceleration responses of the simply supported beam with 0-300 Hz