基于逆可靠度法的鋼管混凝土拱肋穩(wěn)定性分析

袁騰文

（山西省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院，太原030012）

0 引 言

近二十多年中，鋼管混凝土拱橋在我國(guó)得到了大量的應(yīng)用［1］。拱肋以受壓為主，穩(wěn)定性驗(yàn)算是拱肋設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵問題。隨著鋼管混凝土拱橋跨徑的不斷增大，拱肋的穩(wěn)定性問題越來(lái)越突出。

一般通過確定性模型計(jì)算的拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)來(lái)確保拱肋不發(fā)生失穩(wěn)破壞［2-5］，但沒有考慮橋梁結(jié)構(gòu)中存在的不確定性因素［6］（如材料特性、偏心距、長(zhǎng)細(xì)比、外荷載等）。因此，實(shí)際的拱肋穩(wěn)定性安全度是未知的。

可靠度分析為鋼管混凝土拱肋穩(wěn)定性分析時(shí)考慮橋梁結(jié)構(gòu)中的不確定性因素提供了有效的方法。許福友等［6］分析了丫髻沙大橋在某荷載工況下拱肋5 個(gè)關(guān)鍵截面的穩(wěn)定性可靠度。滕啟杰等［7］采用JC法分析了一窄鋼管混凝土拱橋拱肋的穩(wěn)定性可靠度。林道錦等［8］采用可靠度隨機(jī)有限元分析了某鋼筋混凝土拱橋面內(nèi)穩(wěn)定性可靠度，并進(jìn)行了靈敏度分析。

目前的橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范通過定義目標(biāo)可靠指標(biāo)來(lái)確保結(jié)構(gòu)安全，因此需要通過校正拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)來(lái)保證事先給定的目標(biāo)可靠度指標(biāo)，從而建立起目標(biāo)可靠指標(biāo)和拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)間的聯(lián)系。逆可靠度分析是給定目標(biāo)可靠指標(biāo)，基于已知的極限狀態(tài)方程反求未知參數(shù)，從而使得未知參數(shù)和目標(biāo)可靠指標(biāo)相對(duì)應(yīng)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)逆可靠度法在工程中的應(yīng)用進(jìn)行了一些研究。Cheng等［9］將逆可靠度法運(yùn)用于評(píng)估大跨度懸索橋主纜安全系數(shù)。Babu 等［10］將逆可靠度法運(yùn)用于鋼板樁墻的設(shè)計(jì)。蘇永華等［11］采用逆可靠度法評(píng)估了邊坡的穩(wěn)定性。方硯兵等［12］采用逆可靠度法計(jì)算了隧道支護(hù)抗力。雖然逆可靠度法已經(jīng)用于解決多種工程問題，但將逆可靠度法用于評(píng)估鋼管混凝土拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)的文獻(xiàn)較少［13］。

本文以鋼管混凝土拱肋為研究對(duì)象，基于一次逆可靠度算法對(duì)鋼管混凝土拱肋的局部穩(wěn)定安全系數(shù)進(jìn)行評(píng)估，從而建立起具有目標(biāo)可靠指標(biāo)和穩(wěn)定安全系數(shù)的拱肋穩(wěn)定性評(píng)估方法。

1 逆可靠度方法

1.1 逆可靠度問題

逆可靠度分析是給定目標(biāo)可靠指標(biāo)，基于已知的極限狀態(tài)方程反求未知參數(shù)。文獻(xiàn)［14］將逆可靠度問題定義為:

式中:u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量；βt為目標(biāo)可靠指標(biāo)；?uG(u'θ)為梯度算子；θ為未知參數(shù)；G(u'θ)為功能函數(shù)。

1.2 一次逆可靠度算法

針對(duì)單一參數(shù)的逆可靠度問題，文獻(xiàn)［15］提出了一次逆可靠度算法（IFORM），基本思路為:給定βt，在滿足的條件下求解未知參數(shù)。

由FORM 基本原理可知，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量u在驗(yàn)算點(diǎn)處滿足式（4）:

目標(biāo)可靠指標(biāo)由式（5）計(jì)算:

聯(lián)立式（4）和式（5），可得:

假定未知參數(shù)θ的迭代初值為θ0，并將極限狀態(tài)方程在θ0處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開:

由式（7）可得:

給定隨機(jī)變量u和未知參數(shù)θ的迭代初值為u0和θ0，計(jì)算?uG值代入式（6）得到更新的u1，繼而根據(jù)式（8）得到更新的θ1，以迭代更新的u1和θ1作為新的迭代初值，如此反復(fù)迭代直至滿足式（9）所示的收斂條件:

式中，ε為收斂誤差，通?？扇?.000 1。

2 基于逆可靠度的拱肋穩(wěn)定性分析法

2.1 極限狀態(tài)方程

基于逆可靠度法的鋼管混凝土拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算實(shí)際上就是給定目標(biāo)可靠指標(biāo)反求穩(wěn)定安全系數(shù)，將穩(wěn)定安全系數(shù)定義為

式中:R為拱肋穩(wěn)定承載力；S為作用效應(yīng)；θ為穩(wěn)定安全系數(shù)。

根據(jù)式（10）建立式（11）所示的極限狀態(tài)方程:

2.2 實(shí)施步驟

基于一次逆可靠度算法的鋼管混凝土拱肋穩(wěn)定性分析的計(jì)算步驟如下:

步驟1:輸入目標(biāo)可靠指標(biāo)βt，收斂誤差ε，假定隨機(jī)變量初值和穩(wěn)定安全系數(shù)初值，隨機(jī)變量初值一般可取均值，初始化迭代次數(shù)j=1。

步驟2:計(jì)算極限狀態(tài)方程在迭代值處的?uG，并按式（6）更新u。

步驟3:計(jì)算G(u0'θ0)和并按式（8）更新穩(wěn)定安全系數(shù)θ。

步驟5:計(jì)算式（9）所示的收斂條件，若滿足，則結(jié)束計(jì)算，輸出結(jié)果；否則令j=j+1，返回步驟2繼續(xù)計(jì)算。

3 實(shí)例分析

鋼管混凝土拱肋在受到彎矩、軸力、剪力共同作用時(shí)，可以簡(jiǎn)化處理成偏心受壓柱，整體承載能力計(jì)算公式為［7］

式中:fci為混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Aci為鋼管內(nèi)混凝土橫截面面積；θi為鋼管混凝土的套箍指標(biāo)，θi的計(jì)算公式為

式中:fai為鋼材強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Aai為鋼管橫截面面積。

依據(jù)式（12）-式（14），拱肋穩(wěn)定承載力R可表示為

式中:X1和μ1為考慮長(zhǎng)細(xì)比、偏心率和計(jì)算模式后的折減系數(shù)隨機(jī)變量和均值；X2和μ2為混凝土強(qiáng)度隨機(jī)變量和均值；X3和μ3為鋼材強(qiáng)度隨機(jī)變量和均值。

以文獻(xiàn)［7］中的鋼管混凝土拱橋?yàn)槔?，文獻(xiàn)［7］中給出了拱肋穩(wěn)定性分析時(shí)在某荷載工況下拱肋5 個(gè)關(guān)鍵截面的極限狀態(tài)方程。按本文的求解思路，將穩(wěn)定安全系數(shù)引入到已有的5 個(gè)極限狀態(tài)方程中，拱腳截面、L/8 截面、L/4 截面、3L/8 截面和跨中截面的極限狀態(tài)方程分別為

式中:X4為作用效應(yīng)隨機(jī)變量；θ為穩(wěn)定安全系數(shù)。

四個(gè)隨機(jī)變量的分布類型及統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表 1［6-7］。

表1 分布類型及統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table 1 Distribution type and statistical parameters

3.1 穩(wěn)定安全系數(shù)求解

參照《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50283—1999）［16］，按結(jié)構(gòu)安全等級(jí)和構(gòu)件破壞類型對(duì)目標(biāo)可靠指標(biāo)進(jìn)行取值，目標(biāo)可靠指標(biāo)分別取3.7、4.2、4.7 和5.2，收斂誤差ε=10-4，拱肋5 個(gè)關(guān)鍵截面在不同目標(biāo)可靠指標(biāo)下穩(wěn)定安全系數(shù)的計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 可靠度水平對(duì)穩(wěn)定安全系數(shù)的影響Fig.1 Impact of reliability level on stability safety factor

由圖1 可知:隨著目標(biāo)可靠指標(biāo)逐漸增加，各截面的穩(wěn)定安全系數(shù)均呈遞減趨勢(shì)，說(shuō)明不同的目標(biāo)可靠指標(biāo)，拱肋穩(wěn)定性所需的安全儲(chǔ)備是不同的，因此穩(wěn)定安全系數(shù)各異；目標(biāo)可靠指標(biāo)取值對(duì)穩(wěn)定安全系數(shù)有較大影響，因此在實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)合理的確定目標(biāo)可靠指標(biāo)；3L/8 截面的穩(wěn)定安全系數(shù)最大，其次是L/4 截面，拱腳截面的穩(wěn)定安全系數(shù)最小。

3.2 驗(yàn)證

將逆可靠度分析求得的穩(wěn)定安全系數(shù)作為已知參數(shù)，采用FORM 方法求得可靠指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 FORM結(jié)果Table 2 Results of FORM

由表2 可知，采用FORM 求得的可靠指標(biāo)與逆可靠度分析時(shí)給定目標(biāo)可靠指標(biāo)相差很小，說(shuō)明一次逆可靠度算法可以滿足工程精度要求。

3.3 參數(shù)分析

3.3.1 隨機(jī)變量均值的影響

為了研究隨機(jī)變量均值對(duì)穩(wěn)定安全系數(shù)的影響，以跨中截面為例，取目標(biāo)可靠指標(biāo)βt=3.7，收斂誤差ε=10-4，分別令各隨機(jī)變量均值變化-10%～10%，隨機(jī)變量變異系數(shù)不變，求得的穩(wěn)定安全系數(shù)如圖2所示。

圖2 隨機(jī)變量均值與穩(wěn)定安全系數(shù)的關(guān)系Fig.2 Relationship between mean value of parameters and stability safety factors

由圖2可知:隨著折減系數(shù)X1、混凝土強(qiáng)度X2和鋼材強(qiáng)度X3均值逐漸增加，穩(wěn)定安全系數(shù)均呈遞增趨勢(shì)；隨著作用效應(yīng)X4均值逐漸增加，穩(wěn)定安全系數(shù)呈遞減趨勢(shì)；折減系數(shù)X1對(duì)穩(wěn)定安全系數(shù)影響顯著，混凝土強(qiáng)度X2和作用效應(yīng)X4對(duì)穩(wěn)定安全系數(shù)的絕對(duì)影響程度相當(dāng)，鋼材強(qiáng)度X3對(duì)穩(wěn)定安全系數(shù)影響相對(duì)較小。

3.3.2 隨機(jī)變量變異系數(shù)的影響

為了研究隨機(jī)變量變異系數(shù)對(duì)穩(wěn)定安全系數(shù)的影響，以跨中截面為例，取目標(biāo)可靠指標(biāo)βt=3.7，收斂誤差ε=10-4，分別令各隨機(jī)變量變異系數(shù)變化-10%～10%，隨機(jī)變量均值不變，求得的穩(wěn)定安全系數(shù)如圖3所示。

圖3 隨機(jī)變量變異系數(shù)與穩(wěn)定安全系數(shù)的關(guān)系Fig.3 Relationship between variability of parameters and stability safety factors

由圖3 可知:隨著隨機(jī)變量變異系數(shù)逐漸增加，穩(wěn)定安全系數(shù)對(duì)著隨機(jī)變量變異系數(shù)的逐漸增大而呈遞減趨勢(shì)；穩(wěn)定安全系數(shù)對(duì)折減系數(shù)X1最敏感，其次是混凝土強(qiáng)度X2，穩(wěn)定安全系數(shù)對(duì)鋼材強(qiáng)度X3最不敏感。

4 結(jié) 論

提出了一種基于逆可靠度分析的鋼管混凝土拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)的評(píng)估方法，通過一次逆可靠度算法將目標(biāo)可靠指標(biāo)和穩(wěn)定安全系數(shù)聯(lián)系起來(lái)，求得的穩(wěn)定安全系數(shù)滿足預(yù)先給定的目標(biāo)可靠指標(biāo)，同時(shí)考慮了結(jié)構(gòu)中存在的不確定性因素。通過實(shí)例分析，得出以下結(jié)論:

（1）隨著目標(biāo)可靠指標(biāo)的逐漸增加，拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)呈遞減趨勢(shì)，不同的目標(biāo)可靠指標(biāo)，拱肋穩(wěn)定性所需的安全儲(chǔ)備不同；

（2）折減系數(shù)對(duì)拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)的影響顯著，鋼材強(qiáng)度對(duì)拱肋穩(wěn)定安全系數(shù)的影響相對(duì)較小。