一題一課：將探究引向深入

孫慧

摘 要：一題一課是通過對一道題探究，層層深入，剖析其內(nèi)在關(guān)聯(lián)和數(shù)理本質(zhì)。本文以二次函數(shù)為例，鋪設(shè)臺階，一題多變，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)有序的數(shù)學(xué)活動探究，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的內(nèi)化，促進(jìn)學(xué)生反思、發(fā)散思維的完善。

關(guān)鍵詞：一題一課;二次函數(shù);數(shù)學(xué)思維

中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)是教師追求的教學(xué)目標(biāo)。而“勇于探究”和“勤于反思”如何才能內(nèi)化為學(xué)生的能力？教學(xué)方式萬變，不變的是教師的引導(dǎo)地位，學(xué)生能力的錘煉離不開教師的勤思考，勤探究。鋪設(shè)學(xué)生夠得著的臺階、引導(dǎo)學(xué)生搭建臺階、帶領(lǐng)所有學(xué)生一起登臺階，是教學(xué)活動的難點(diǎn)所在。一題一課以二次函數(shù)為主線，通過探索二次函數(shù)圖像中的幾何問題，鞏固二次函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合、以形輔數(shù)、以數(shù)推形的巧妙關(guān)聯(lián)。

1 情境引入

問題：

（1）請說出最簡單的二次函數(shù)。

（2）試尋找與上述二次函數(shù)形狀相同的其他二次函數(shù)，并寫出其解析式。

（3）將（1）中的函數(shù)向下平移4個單位長度，向左平移1個單位長度，得到新的拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)D，與縱軸交于點(diǎn)C，與橫軸交于A、B點(diǎn)（A左B右）。試解釋各點(diǎn)的幾何意義。

教學(xué)預(yù)設(shè)：最簡單的二次函數(shù)為y=x2，教師補(bǔ)充說明為何最簡。第二題，學(xué)生對“形狀相同”理解不充分，是脫離了對函數(shù)式中系數(shù)的認(rèn)識，缺乏數(shù)形結(jié)合的思維鍛煉。第三題，可能會有兩點(diǎn)模糊點(diǎn)：為何要利用頂點(diǎn)式進(jìn)行圖像的平移？為何左加右減？以上問題回顧了二次函數(shù)圖像基本性質(zhì)，為后續(xù)拓展準(zhǔn)備。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧二次函數(shù)解析式不同表示方法中的系數(shù)意義何在，體會數(shù)、形的相互依存。繪制如圖1，供后續(xù)拓展準(zhǔn)備。

2 拓展探究

活動1：在問題（3）的二次函數(shù)中，結(jié)合三角形的形狀，你能在上述二次函數(shù)中提出什么問題？

教學(xué)預(yù)設(shè)：Rt三角形、等腰三角形，等腰直角三角形較為常見。以判斷△ACD是否是直角三角形為例，可用勾股定理或斜率相乘為-1來處理。前者先用兩點(diǎn)間距離公式表示線段長度，再用勾股逆定理判定其為直角三角形;后者利用一次函數(shù)斜率公式，K1·K2=-1，得到結(jié)論。對比兩種計算方法，都離不開分類討論，但計算量有差別。教師可總結(jié)提煉：倘若是探究等腰三角形，則一般是以線段長度公式和勾股逆定理為載體;倘若是等腰直角三角形，三垂圖可為分析載體。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)為自己出題，并在解題時對比不同方法的優(yōu)劣，以及分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的價值。

活動2：結(jié)合三角形的面積，你能在上述二次函數(shù)中提出什么問題？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生多會提面積最值問題，或點(diǎn)的坐標(biāo)。以下題為例：在AC下方的拋物線上，是否存在一個點(diǎn)N使△CAN的面積最大？求此時N點(diǎn)坐標(biāo)。展示兩種方法。

方法一：過點(diǎn)N作NM//y軸交AC于點(diǎn)M，S△CAN=1/2·MN·|XC-XA|=2/3·MN，面積最值轉(zhuǎn)換為線段最值問題。

方法二：當(dāng)△CAN面積最大時，過點(diǎn)N作直線l//AC，直線l與拋物線有且只有一個交點(diǎn)。聯(lián)立l與拋物線y=-x+by=x2+2x-3，僅有一個交點(diǎn)，即△=0。

設(shè)計意圖：動點(diǎn)問題，從設(shè)未知點(diǎn)著手。方法一將面積最值轉(zhuǎn)化為線段最值問題，注意如何利用點(diǎn)的坐標(biāo)正確表達(dá)線段長度。方法二從極限狀態(tài)分析，即兩個函數(shù)只有一個公共點(diǎn)，充分體現(xiàn)以形助數(shù)的優(yōu)勢。延續(xù)方法二，可追問點(diǎn)N到直線AC的距離是多少？

活動3：在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得Q點(diǎn)所在的三角形的面積等于△ABC的面積？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生在選取Q點(diǎn)所在的三角形時，較易想到去找另外兩點(diǎn)為已知定點(diǎn)的三角形。以S△CAQ=S△ABC為例，點(diǎn)Q與點(diǎn)C到直線AC的距離相等，過點(diǎn)B作直線l//AC，交拋物線與點(diǎn)Q。聯(lián)立直線和拋物線y=-x+1y=x2+2x-3，得到P1（-4，5）。

到此結(jié)束分析結(jié)束了嗎？直線l在AC的上方，那么在AC的下方必然也會有一條直線m//AC，且到AC的距離與直線l到AC的距離相同，即m與l關(guān)于直線AC對稱。那么直線m與拋物線是否存在交點(diǎn)呢？如圖2所示。聯(lián)立直線m與拋物線y=-x-7y=x2+2x-3，解得無實(shí)數(shù)根，即無交點(diǎn)。

設(shè)計意圖：利用兩平行線間的距離處處相等，將點(diǎn)的求解問題轉(zhuǎn)換為一次函數(shù)與拋物線的位置關(guān)系問題，實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)，同時考察如何分類如何討論。

3 結(jié)語

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)重要思想之一，然而對于很多學(xué)生而言更像一個口號，何時使用、如何使用卻很模糊。在活動一對三角形形狀的討論，首先明確從哪些角度分類討論，進(jìn)而類比不同方法的優(yōu)劣;活動二面積最值問題，可利用轉(zhuǎn)化思想變?yōu)榫€段最值問題，或轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)與二次函數(shù)交于一點(diǎn)的幾何問題;活動三繼續(xù)精進(jìn)，分類討論兩類函數(shù)在不同方向上的交點(diǎn)情況。通過本堂課半開放式的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生從生硬數(shù)字向溫婉圖形過渡，面對紛繁的數(shù)學(xué)圖形如何化繁為簡、明確類型。數(shù)學(xué)思想的滲透還需錘煉。

參考文獻(xiàn)

[1]吳立建.八年磨一課的思索與歷程[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2015，（03）.

[2]夏乾冬.一題一課中滲透核心素養(yǎng)三步曲[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019，（12）.