多點思維，巧妙拓展

袁文娟

美國著名的數學教育家G·波利亞曾經說過：“觀察可能導致發(fā)現，觀察將提示某種規(guī)則、模式或定律?！痹诮鉀Q一些典型的高考數學真題時，我們要深入觀察，多思維，巧變條件，妙拓展，往往會有意想不到的收獲。下面圍繞一道函數問題中的參數代數式的值的求解展開分析，以深刻體會一下深入觀察的魅力。

【問題】（2018屆江蘇省天一中學高三適應模擬·14）若實數a，b滿足，則a+b的值為? ? ? ? ? ? 。

分析：本題以分段函數的形式給出兩個相應參數a，b所滿足的不同函數關系式，結合指數函數與對數函數的關系式巧妙轉化。如何建立起兩參數a、b之間的關系，是破解問題的關鍵所在。通過對本題的深入觀察與研究，發(fā)現可以從多個角度切入，采用多種方法來分析與求解。

思維角度1：（函數性質法）通過構造函數f（x）=4x+x，結合指數式與對數式的運算轉化，得到f（-b）=f（a）=2，利用函數f（x）=4x+x是R上的單調遞增函數，得到a=-b，進而確定a+b的值。

解法1：設函數f（x）=4x+x，則有f（a）=2，f（-b）=+-b=+-b=·42-b+-b=·+-b=·2log2（2b+1）+-b=（2b+1）+-b=2，

可得f（a）=f（-b）=2，

而函數f（x）=4x+x是R上的單調遞增函數，可知a=-b，整理可得a+b=。

思維角度2：（參數轉化法）結合對數關系式b+=2的轉化，得到b++log4（b+）=2，引入參數c=log4（b+），得到4c+c=2，利用函數f（x）=4x+x是R上的單調遞增函數得到2-a=b+，進而確定a+b的值。

解法2：由b+log2=2，可得b+log4（2b+1）=2，即b++log4（b+）=2，

令c=log4（b+），可得b+=4c，則有4c+c=2，

而函數f（x）=4x+x是R上的單調遞增函數，可知a=c，即a=log4（b+），

可得4a=b+，即2-a=b+，整理可得a+b=2-=。

點評與拓展：其實，通過對以上典型數學問題的解決并深入觀察，根據條件加以進一步拓展，可以進行深化與變式，從中發(fā)現問題、提出問題、分析問題并解決問題，真正達到“解一題拓一類，拓一類通一片”的效果，避免“題海戰(zhàn)術”，從而真正培養(yǎng)學生思維品質，提升解題思維與解題能力，以不變應萬變。

變式方向1：（變換常數）改變兩個相應關系式中的常數為1，通過不同常數來進行變式

【變式1】若實數a，b滿足，則a+b的值為

。

解析：由b+=1，可得b+log4（2b+1）=1，即b++log4（b+）=1，

令c=log4（b+），可得b+=4c，則有4c+c=1，

而函數f（x）=4x+x是R上的單調遞增函數，可知a=c，即a=log4（b+），

可得4a=b+，即1-a=b+，整理可得a+b=1-=。

變式方向2：（變換函數）改變兩個相應關系式中的函數關系，通過不同函數數來進行變式

【變式2】若實數a，b滿足，則a+b的值為? ? ? ? ? ? ?。

解析：由b+log3=1，可得b+log9（3b+1.5）=1，即b++log9（b+）=1，

令c=log9（b+），可得b+=9c，則有9c+c=1，

而函數f（x）=9x+x是R上的單調遞增函數，可知a=c，即a=log9（b+），

可得9a=b+，即1-a=b+，整理可得a+b=1-=。

變式方向3：（變換一般性結論）改變兩個相應關系式中的常數為一般參數，通過常數變參數來進行變式

【變式3】若實數a，b滿足，則a+b的值

為? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：由b+=m，可得b+log4（2b+1）=m，即b++log4（b+）=m，

令c=log4（b+），可得b+=4c，則有4c+c=m，

而函數f（x）=4x+x是R上的單調遞增函數，可知a=c，即a=log4（b+），

可得4a=b+，即m-a=b+，整理可得a+b=m-。

以上只是從兩個特殊角度——改變函數的基本性質以及改變函數的關系式系數來進行拓展變形，其實，還可以從其他方面入手來進一步拓展與應用。美國著名數學家哈爾莫斯曾說過：問題是數學的心臟。對學生來說，如何確定解題思維，把問題歸結到同一個熟悉的“問題”來處理是關鍵，也就是解題方法與技巧，以不變應萬變，熟練解決問題。