大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中聯(lián)合范數(shù)去噪與矩陣重構的DOA估計

朱翠濤，張正鵬

(中南民族大學 電子信息工程學院，武漢 430074)

大規(guī)模MIMO技術是第五代移動通信技術(5G)的核心部分之一，通過在基站部署大規(guī)模天線陣列即可生成增益高、寬度窄、可調節(jié)的賦型波束，可以大大減少對周邊的干擾以及提高對目標用戶定向傳輸?shù)男阅躘1].在頻分雙工(FDD)模式下，進行波束賦型的前提條件就是精確估計用戶的方位，而無線通信環(huán)境中存在著大量的多徑干擾、復雜的衰落還伴隨著用戶設備的功率限制、較高的時延要求，這給DOA估計帶來了難度，所以近年來的研究熱點集中在低復雜度的DOA估計算法[2-4]以及少快拍甚至單快拍下的陣列信號處理方法[5,6].

移動通信環(huán)境下的DOA估計特點是接收數(shù)據(jù)有限、信號衰落嚴重、時延要求高，因此經(jīng)典子空間類算法如：MUSIC算法[7]、ESPRIT算法[8]由于計算復雜度過高不適用于通信系統(tǒng)，而低復雜度的PM[9]算法和EPM(旋轉不變傳播算子)算法需要大量的快拍數(shù)來保證樣本協(xié)方差矩陣的精度，同時基于傳播算子的子空間構造也降低了DOA估計性能；非參數(shù)估計類方法如文獻[4]中基于離散傅立葉變換的DOA估計算法，在覆蓋用戶數(shù)多的場景下DOA估計精度不夠理想；文獻[10]中提出了基于湮滅濾波器技術的低復雜度算法，該算法可以在僅數(shù)個快拍下工作，但信噪比要求較高；還有基于某些智能算法的DOA估計算法如文獻[11]，通過分步估計的形式，有效降低算法的復雜度.

針對上述問題，本文提出一種聯(lián)合范數(shù)去噪與Toeplitz矩陣重構的DOA估計算法，該算法首先根據(jù)陣列協(xié)方差矩陣的Hermitian特性借助矩陣范數(shù)估計其最大特征值進而估計噪聲功率，然后對陣列協(xié)方差矩陣對角元素進行去噪，最后進行Toeplitz重排，使重構矩陣更加逼近理想陣列協(xié)方差矩陣.重構后的矩陣可以運用在子空間類算法中，在保留了原始算法高分辨率特性的同時，提高了在低信噪比、少快拍數(shù)條件下的估計性能.

圖1 均勻線陣示意圖Fig.1 Picture ofuniform linear array

1 系統(tǒng)和信號模型

考慮一個mmWave頻段的大規(guī)模MIMO基站，采用FDD模式.如上圖1所示，基站處配置M根天線并采用均勻線陣.同時基站下覆蓋K個單天線用戶，各用戶發(fā)送信號互不相關，每個用戶發(fā)送信號經(jīng)由L條多徑傳播后到達基站天線陣列，陣元實際接收信號為各衰落信號疊加后的信號，每條多徑的衰落系數(shù)為γ.信號入射角度為θk(k=1,2,3,…,K).

某時刻，基站天線陣列第i個陣元接收信號采樣表示如下：

(1)

其中，γl,k表示第k個用戶的第l路多徑信號相比原始信號的衰落系數(shù)；θk表示第k個用戶的方向，α(θk)表示該用戶的方向矢量,為α(θk)=「1,ejπsinθk,ejπ2sinθk,…，ejπ(M-1)sinθk?T，sk(t)為該用戶發(fā)送數(shù)據(jù)；ni(t)為第i個陣元上的加性高斯白噪聲.矩陣形式為：

R(t)=GS(t)+N(t),

(2)

上式中,R(t)為陣列接收信號，S(t)為發(fā)送信號，N(t)為噪聲干擾，G為衰落信道下的陣列流型，且有：

R(t)=[r1(t),r2(t),…,rM(t)]T,

(3)

S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T,

(4)

N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T,

(5)

(6)

2 聯(lián)合范數(shù)去噪與Toeplitz矩陣重構的DEN算法

理論陣列協(xié)方差矩陣如下式：

Y=E{R(t)R(t)H}=GRsGH+σ2IM,

(7)

其中Rs=E{S(t)S(t)H}表示信號協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率，IM為M維單位陣.

式(7)可以看出理論上噪聲污染僅存在于陣列協(xié)方差矩陣對角元素中，且協(xié)方差矩陣Y是一個Hermitian對稱矩陣，而由于均勻線陣陣列流型的Vandermonde特性，協(xié)方差矩陣Y還具有Toeplitz特征[12].在實際情況下，一般用下式計算樣本協(xié)方差矩陣：

(8)

式(8)中，N表示快拍數(shù).

根據(jù)子空間理論，協(xié)方差矩陣Y應有K個不等的大特征值對應信源功率，有M-K相等的小特征值對應噪聲功率.為了提高傳統(tǒng)DOA估計算法性能，可以對樣本協(xié)方差矩陣進行優(yōu)化，常用方法可通過對樣本協(xié)方差矩陣特征分解得到M-K個小特征值后求平均來估計噪聲功率以此對樣本協(xié)方差矩陣進行去噪，此方法不僅需要對高維矩陣進行特征分解，往往還因為樣本協(xié)方差存在負特征值導致去噪效果較差；另外還可以通過理論協(xié)方差矩陣的Toeplitz特征來對樣本協(xié)方差進行重排以優(yōu)化樣本協(xié)方差矩陣的結構.

下面將聯(lián)合基于矩陣范數(shù)的低復雜度去噪方法與Toeplitz重構來實現(xiàn)對樣本協(xié)方差矩陣的優(yōu)化.

2.1 算法描述

若矩陣A為Hermitian矩陣，則其最大特征值滿足[13]：

λmax≤‖A+αI‖m-α，

(9)

為了減小計算量，我們取m=1即矩陣的1范數(shù)，同時取α=‖·‖，對陣列協(xié)方差矩陣Y的最大特征值進行估計，計得到協(xié)方差矩陣最大特征值后，定義其平方根值為噪聲功率的估計值.因此有

(10)

其中，α=‖Y‖1, 得到噪聲功率估計值后，根據(jù)式(7)對Y的主對角線元素進行優(yōu)化，得到理論上無噪的陣列協(xié)方差矩陣Yx：

(11)

根據(jù)前文的結論，理論協(xié)方差矩陣是一個Toeplitz對稱矩陣.下面對Yx進行重排，使其結構逼近理想?yún)f(xié)方差矩陣.由于Yx仍是一個Hermitian矩陣，將其下三角部分每條斜對角線上的元素求和取平均，得到一組M×1維的數(shù)據(jù)向量v：

v=[v1,v2,…,vM]T,

(12)

(13)

以V為基礎列向量進行Toeplitz重排，得到M維方陣YT.

至此完成對陣列協(xié)方差矩陣Y的重構，下面將YT代替原始協(xié)方差矩陣，使用子空間類算法進行DOA估計.

2.2 DOA估計流程

綜上，以ESPRIT算法為例簡述本文DOA估計算法流程，此處僅引用ESPRIT算法的結論而不推導其原理.

步驟1 由式(8)計算原始陣列協(xié)方差矩陣

步驟2 由式(10)估計噪聲功率并由式(11)得到理想無噪陣列協(xié)方差矩陣Yx

步驟3 由式(12)、(13)計算列向量v，并以其為基礎向量進行Toeplitz拓展得到矩陣YT

步驟4 將矩陣YT進行特征分解，根據(jù)ESPRIT算法估計旋轉算子Φ，對Φ繼續(xù)特征分解求得其特征值，由DOA計算式(14)得到用戶DOA估計值：

(14)

其中，ωk表示旋轉算子Φ的特征值，angle()表示求復數(shù)相角.

3 復雜度分析

本節(jié)按2.2節(jié)中的重構步驟1-3，對重構算法的復雜度進行分析，計算時以復乘運算次數(shù)為標準.

步驟1：計算原始陣列協(xié)方差矩陣復雜度為O(N2M)

步驟2：估計噪聲功率復雜度約為O(M)

步驟3：Toeplitz重排涉及復數(shù)求平均運算，復雜度約為O(M)

因此DEN算法總復雜度為O(N2M+2M)，重構額外增加量為O(2M).雖然DEN算法帶來了部分計算量，但是考慮到傳統(tǒng)子空間算法的快拍要求往往是數(shù)百甚至數(shù)千，而經(jīng)過本文重構后子空間算法可以在僅數(shù)十個快拍下以較高精度工作，并且對信噪比的要求也有降低.整體來說，DEN算法理論復雜度有所增加但是低信噪比、少快拍數(shù)條件下，經(jīng)過重構的DOA估計算法精度優(yōu)于未重構時，且在達到相同精度的時，DEN算法實際需要的復乘運算更少.

4 仿真分析

為了驗證本重構方法理論分析的正確性以及算法的性能，本實驗仿真了傳統(tǒng)MUSIC、ESPRIT、PM算法及部分改進算法：TLS-ESPRIT(整體最小二乘旋轉不變子空間算法)、EPM、PM，并比較了這些算法在重構協(xié)方差矩陣前后DOA估計性能的變化情況.

(15)

圖2為EPM算法與TLS-ESPRIT算法兩種算法改進前后的估計RMSE性能圖曲線對比.從圖2中可以看出在前述仿真條件下， 低信噪比時TLS-ESPRIT算法性能強于EPM算法，在高信噪比條件下性能相近.這表明EPM算法雖然復雜度降低，但卻是以犧牲精度為代價的.兩種算法在結合了DEN重構算法后，曲線趨勢不變，TLS-ESPRIT算法改進后依然強于EPM算法，信噪比為8dB時二者達到相同精度.

圖2 RMSE-SNR性能比較Fig.2 Comparison of RMSE-SNR performance

對EPM算法來說，由于算法本身較差的魯棒性，導致性能較弱.TLS-ESPRIT算法性能在-10 dB至5 dB區(qū)間內快速上升，在5 dB左右?guī)缀踹_到該算法的下界.兩種算法改進前后對比表明DEN重構算法可以提高原始算法在較低信噪比情況下的性能.

圖3仿真了算法改進前后，在信噪比固定為5 dB的情況下，算法性能隨著快拍數(shù)增加的變化情況.從圖3中可以看出，改進后的算法在100個快拍左右就幾乎可以達到該算法的下界.在快拍數(shù)小于100的情況下，改進算法的RMSE要比原始算法RMSE低一到兩個數(shù)量級.這表明DEN算法可以增強原始子空間算法在少快拍條件下的性能，且在大快拍條件下改進算法性能依然強于原始算法.

圖3 RMSE-N性能比較Fig.3 Comparison of RMSE-N performance

圖4仿真了EPM、TLS-ESPRIT兩種算法改進前后的估計成功概率.從圖4中可看出，當估計成功概率為1時，所需SNR由大到小排序為EPM>TLS-ESPRIT>DEN-EPM>DEN-ESPRIT，可以看出TLS-ESPRIT與EPM兩種算法改進后的分辨門限有一定降低，大約降低了10 dB.

圖4 估計成功概率比較Fig.4 Comparison of success probability

圖5兩圖對比了DEN-EPM算法與EPM算法在500次蒙特卡洛實驗下的估計結果分布散點圖.仿真時SNR=0 db，用戶數(shù)K=21，快拍數(shù)N=50.橫坐標值為用戶實際方位，縱坐標值為用戶方位估計值.從圖5.a可以看出，重構后的算法500次估計結果分布相對較為集中，說明性能較為優(yōu)良且魯棒.

對于均勻線陣，理論上用戶DOA越偏離陣列法線方向，其估計結果的誤差越大，反之越靠近法線方向，DOA估計算法性能就越優(yōu)良，圖5.a的仿真結果驗證了這一客觀事實.而圖5.b反應了EPM算法在此仿真條件下的性能，可以看出此時EPM算法幾乎無法正常工作，圖中無法反映出用戶DOA的數(shù)值.

圖6仿真了MUSIC、PM和DEN-MUSIC、DEN-PM的歸一化空間譜峰圖情況，仿真時設置信噪比SNR=0 db，快拍數(shù)N=10.

從圖6中可以看出在陣列協(xié)方差矩陣未重構前， MUSIC、PM算法的譜峰不尖銳、幅度不一、真實譜峰和偽封難以分辨，因此無法獲知用戶真實DOA方向，說明在信噪比較低、快拍數(shù)較少的情況下兩種算法均無法實現(xiàn)DOA的有效估計；在應用DEN算法重構陣列協(xié)方差矩陣后，空間搜索譜峰正對用戶DOA方向，偽峰幾乎完全被消除，真實譜峰尖銳且易分辨.說明了DEN重構算法對提高陣列協(xié)方差矩陣在少快拍數(shù)情況下的性能具有明顯正影響.

a) DEN-EPM b) EPM圖5 估計結果分布散點Fig.5 Comparison of distribution scatter of estimation results

圖6 歸一化空間譜峰比較圖Fig.6 Comparison of normalized spatial peak

5 結語

綜上所述，針對移動通信環(huán)境中低信噪比、少快拍條件下DOA估計精度差問題，提出一種聯(lián)合范數(shù)去噪與矩陣重構的算法.算法首先計算陣列協(xié)方差矩陣并通過其范數(shù)估計其最大特征值，用最大特征值的平方根值作為噪聲功率估計值，來對陣列協(xié)方差矩陣進行去噪，再對去噪后的矩陣進行Toeplitz重排，實現(xiàn)對陣列協(xié)方差矩陣結構的二次修正.

仿真實驗證明，本重構算法有效利用了陣列協(xié)方差矩陣中所包含的信息，在低信噪比、少快拍數(shù)的情況下提高了陣列協(xié)方差矩陣的精確度，與傳統(tǒng)的子空間類算法結合后，可以相應提高傳統(tǒng)算法的性能如：降低分辨信噪比門限、抑制偽峰等.復雜度分析表明雖然重構算法雖然引入了額外計算量，但增加的復雜度在可接受范圍內.