操作中體驗(yàn) 思考中提升
——數(shù)學(xué)拓展課“智取數(shù)棒”案例分析

王雪晴 吳玉蘭

【課前思考】

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有一些開放性習(xí)題設(shè)計(jì)得非常巧妙，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)方法和思想。如果以拓展課的形式開展學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，既可以避免單一沉悶的做題模式，又可以開闊學(xué)生的眼界，發(fā)展學(xué)生的思維。

例如，浙教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)下冊(cè)中有這樣一道題：

再如，浙教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)中有這樣一道能力題：

兩道題雖然內(nèi)容和難度上有所區(qū)別，但也有諸多相似之處：第一，難度上兩道題均屬于提高題，對(duì)學(xué)生思維有一定的挑戰(zhàn)性；第二，內(nèi)容上都是通過不同數(shù)碼間的組合來得到更多的數(shù)，滲透了位值思想和組合思想。

基于這兩道題的啟發(fā)，筆者設(shè)計(jì)和開發(fā)了“智取數(shù)棒”數(shù)學(xué)拓展課。根據(jù)二、三年級(jí)學(xué)生特點(diǎn)，內(nèi)容設(shè)計(jì)為：用1～10 號(hào)數(shù)棒擺數(shù)，探究“如何用盡可能少的數(shù)表示更多連續(xù)的數(shù)”這一問題。整節(jié)課力圖讓學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想—操作驗(yàn)證—總結(jié)策略—發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力，發(fā)展抽象思維和審辨思維。同時(shí)，在生活實(shí)例中，完成數(shù)學(xué)知識(shí)的生活回歸，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

【教學(xué)過程】

一、認(rèn)識(shí)數(shù)棒，感知方法

1．游戲熱身，明確數(shù)棒可以表示數(shù)。

（1）認(rèn)識(shí)數(shù)棒。

師：今天老師為大家準(zhǔn)備了數(shù)棒。這是* 號(hào)數(shù)棒，表示*。（PPT 逐一呈現(xiàn)1～10 號(hào)數(shù)棒）

師：接下來我們比一比眼力。待會(huì)兒屏幕出現(xiàn)一些數(shù)棒，請(qǐng)大家快速報(bào)數(shù)。

（學(xué)生看數(shù)棒報(bào)數(shù)）

師：最后一幅圖怎么那么快就知道了？

（2）揭示課題。

師：看來，一根數(shù)棒能表示一個(gè)數(shù)，幾根數(shù)棒組合也能表示一個(gè)數(shù)。（板書：組合）這節(jié)課我們就一起用數(shù)棒來擺數(shù)。

2．初次操作，熟悉數(shù)棒的作用。

師：如果用數(shù)棒表示“6”，你有幾種不同的方法？試一試。

（結(jié)合學(xué)生的回答，PPT 依次呈現(xiàn)4 種不同表示方法）

師：為什么2＋2＋2 不可以？

生：每種數(shù)棒只有一根。

師：看來同樣表示6，我們既可以用一根數(shù)棒來表示，也可以用幾根數(shù)棒組合起來表示。

【評(píng)析：數(shù)棒是本節(jié)實(shí)驗(yàn)課的主要學(xué)具。本環(huán)節(jié)采用報(bào)數(shù)游戲和活動(dòng)操作兩種形式，在充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)棒的認(rèn)識(shí)，明確數(shù)棒在這節(jié)課中的作用，感受“一個(gè)數(shù)既能用一根數(shù)棒來表示，也可以用幾根數(shù)棒組合起來表示”，為后面用數(shù)棒組合起來表示數(shù)做鋪墊。】

二、初次活動(dòng)，探索策略

1．提出問題，進(jìn)行猜想。

師：如果現(xiàn)在要把1～7 都表示出來，你覺得需要選幾根數(shù)棒？

生：7 根。

師：把1～7 號(hào)全選出來，很方便的方法。有不同的想法嗎？

生：6 根。（追問：哪6 根？）

生：1～6 號(hào)全選出來，“7”就用1 號(hào)加6 號(hào)表示。

師：“7”就用1＋6 組合來表示，好方法。

2．自主探究，分享交流。

（1）獨(dú)立研究：最少需要幾根數(shù)棒，就能把1～7 都表示出來。

活動(dòng)建議：

①想：1～7 分別怎么表示。

②選：選你覺得必選的數(shù)棒。

③寫：用數(shù)或算式記錄取法。

④調(diào)：如果有更少的情況，在“嘗試二”中調(diào)整。

（2）小組交流：①說：你的方

法（根數(shù)最多的先說）。②想：怎樣讓數(shù)棒盡可能少。

（3）全班交流：用手勢(shì)表示你們小組最少用了幾根（有4 根、3根）。先請(qǐng)多的小組來分享，誰(shuí)愿意把你們的想法和大家分享？

學(xué)生方法一：

生：我們一開始選了5 根，后來調(diào)整成了4 根。

師：你們?yōu)槭裁匆M(jìn)行這樣的調(diào)整？

生：因?yàn)? 可以用1＋4 代替。

師：哦，看來能用其他組合來代替的數(shù)可以不選。

學(xué)生方法二：

生：我們也是選4 根的，但是選法和前面的組不一樣。

學(xué)生方法三：

生：我們一開始選了4 根，后來發(fā)現(xiàn)選1、2、4 三根就可以。

師：選3 根真的可以嗎？我們一起來看一下。（帶領(lǐng)全體學(xué)生一起查一遍）看來3 根數(shù)棒真的可以表示7 個(gè)數(shù)。還有更少的嗎？

生：不可能更少了，因?yàn)? 是一定要選的，其他再選一根，兩根小棒最多也只能表示3 個(gè)數(shù)。

3．提煉方法。

（1）對(duì)比觀察：同時(shí)投影以上三幅作品，并請(qǐng)學(xué)生對(duì)比觀察，說說有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有一些數(shù)可以加起來表示的，就不用再選了。比如3 能用1＋2 表示的，就不用再選3 了。

（2）逐一驗(yàn)證。

師：看來你們覺得要讓數(shù)棒最少，能組合表示的就不用選，不能組合表示了再去選。那么哪些數(shù)可以通過組合來表示，哪些不可以？我們一起來看看。

師：1 怎么表示？

生：只能用1 表示，所以1 號(hào)數(shù)棒必須選。

生：2 等于1＋1，但是數(shù)棒不能重復(fù)使用，所以只能用2 號(hào)數(shù)棒來表示，2 號(hào)數(shù)棒也必須選。

生：3 可以用1＋2 表示，3 號(hào)數(shù)棒就不用選了。

師：3 能用組合表示了，可以不選。4 呢？

生：要選，因?yàn)?＋2 最多只能表示到3，4 表示不出。

師：哦，不能用組合表示了，就要選了。剩下的數(shù)棒該怎么選？用剛才的方法說給同桌聽一聽。（學(xué)生交流基礎(chǔ)上板書5～7 的選擇情況）

（3）提煉方法。

師：怎樣選用的數(shù)棒最少？誰(shuí)能用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言來說一說。

生：能組合表示的就不選，不能組合起來表示了，再選數(shù)棒。

（根據(jù)學(xué)生的回答板書：能組合表示，不選；不能組合表示，要選）

小結(jié)：看來，能組合時(shí)不選，不能組合時(shí)再選，用這樣的方法選數(shù)棒，所用數(shù)棒是最少的。

【評(píng)析：新課程改革下的數(shù)學(xué)課程，重視學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。本環(huán)節(jié)以“表示1～7 最少需要幾根數(shù)棒”做為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，學(xué)生在自由猜想、自主探究、分享交流、觀察對(duì)比的過程中，總結(jié)出取數(shù)策略；在操作、調(diào)整、審辨的過程中一步步接近問題的“真相”，體會(huì)有序思考，獲取解決問題的策略，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

三、再次探究，運(yùn)用策略

1．獨(dú)立探究。

（1）提出問題：只用1、2、4 三根數(shù)棒就能表示1～7，如果要表示出1～15，最少要幾根呢？

（2）獨(dú)立探究。

活動(dòng)建議：

①想：1～15 分別怎么表示。

②試：能動(dòng)腦的動(dòng)腦想；有困難的用數(shù)棒試一試。

③寫：用數(shù)和算式表示你的取法。

（巡視發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生能用剛才的方法逐一表示1～15，小部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)1～7 不用重復(fù)思考了，直接思考8～15 怎樣表示）

2．交流整理。

生：我用剛才的方法，從1 開始想，1 和2 都要選，3＝1＋2，4＝1＋3……

生：不用這么麻煩的。剛才我們已經(jīng)用1、2、4 表示了1～7，所以我們不用再去管這7 個(gè)數(shù)了，直接去想8～15 怎么表示就好。用1、2、4 不能表示8，所以8 要選。選了8 以后，就和剛才的同學(xué)一樣，直接能組合表示到15。

師：你們真能干，知道利用已有的成果去研究新問題。兩位同學(xué)都想到了選8 號(hào)數(shù)棒，你們的想法也是這樣嗎？你們是怎樣想到的呢？

生：因?yàn)? 不能由1、2、4 組合表示了，所以必須得選8。選了8 以后，發(fā)現(xiàn)9、10、11、12、13、14、15 都能組合表示出來了，所以不用選。

師：哦，看來也是用了剛才的方法，不能組合表示的必選，能組合表示的不選，這樣就能選到最少的數(shù)棒了。

【評(píng)析：本環(huán)節(jié)是已有方法與經(jīng)驗(yàn)的再應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生用第一次活動(dòng)中得到的經(jīng)驗(yàn)解決新問題?；顒?dòng)的開展考慮到了學(xué)生的差異，有困難的可以用小棒擺一擺，幫助思考。這樣的設(shè)計(jì)，既使能力強(qiáng)的學(xué)生從操作走向理性的思考，又使有困難的學(xué)生有學(xué)具可依，滿足了不同學(xué)生的個(gè)性化需求。同時(shí)，反饋時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行策略的優(yōu)化，梳理最佳解決方案，使學(xué)生的思維進(jìn)一步深入?！?/p>

四、觀察思考，拓展延伸

1．提出問題：再選一個(gè)數(shù)，繼續(xù)表示盡可能多且連續(xù)的數(shù)，你會(huì)選哪個(gè)數(shù)？能表示哪些數(shù)？

2．獨(dú)立思考（完成《學(xué)習(xí)單》第三部分）。

3．發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：從表格中能發(fā)現(xiàn)什么？

生：選擇的數(shù)中，后面一個(gè)數(shù)＝前面一個(gè)數(shù)×2。

生：能表示的最大的數(shù)就是所有數(shù)加起來。

生：最大的數(shù)×2-1 就等于能表示的最大的數(shù)。

師：你們真會(huì)思考。原來所選的數(shù)之間有兩倍的關(guān)系，選擇的數(shù)和能表示的數(shù)也有聯(lián)系。選數(shù)棒游戲里，竟藏著這么多奧秘。

4．課堂小結(jié)。

（1）今天這堂課學(xué)了什么？

（2）我們是怎樣選數(shù)棒的？

師：能組合的不選，不能組合再選，這樣，就能用最少的數(shù)表示出盡可能多的數(shù)。像這樣的例子，生活中也有很多。比如：人民幣、羅馬數(shù)、計(jì)算機(jī)編碼、天平砝碼……

【如果前面環(huán)節(jié)“先給定要表示的數(shù)再去選數(shù)”是一種逆向思維，那么本環(huán)節(jié)“用給定的數(shù)去表示更多的數(shù)”就是一種順向思維。思維的轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生高階思維的培養(yǎng)。同時(shí)本環(huán)節(jié)結(jié)合生活實(shí)例感受“用盡可能少的數(shù)碼能表示能多的數(shù)”的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的生活回歸?！?/p>