滲透核心素養(yǎng)，巧解中考數(shù)學(xué)壓軸題

摘 要：良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)在學(xué)生能綜合運用推理、抽象、分析等各種思維能力，活學(xué)活用數(shù)學(xué)知識，化解各類題型。而作為中考數(shù)學(xué)高分關(guān)鍵的“壓軸題”，對學(xué)生核心素養(yǎng)提出了更高的要求。筆者以2019年福建中考壓軸題為例，淺析其對核心素養(yǎng)的考察。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);中考;壓軸題

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的深層次概括，不僅意味著學(xué)生能“活學(xué)”課堂知識，還能對其“活用”，通過綜合運用推理、抽象、分析等各種思維能力，快速化解各類題型。而作為中考數(shù)學(xué)高分關(guān)鍵的“壓軸題”，更是考驗學(xué)生核心素養(yǎng)的一道“大菜”。筆者以2019年福建省數(shù)學(xué)中考試題第24題的幾何壓軸題為例，談?wù)勂鋵W(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求。

（2019年福建中考）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點F在BD的延長線上，且DF=DC，連接AF、CF。

（1）求證：∠BAC=2∠DAC;

（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值。

分析：

1. 考查內(nèi)容：圓的有關(guān)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，解直角三角形、相似三角形判定與性質(zhì)，三角形的等面積等初中幾何的許多方面，等腰三角形性質(zhì)，特別是角的關(guān)系，在本題中發(fā)揮了相當(dāng)關(guān)鍵的作用，所以我們老師在教學(xué)中復(fù)習(xí)等腰三角形的過程中一定要注意，不能讓學(xué)生對等腰三角形的認(rèn)識就是看到等腰只能想到等邊對等角這樣的程度，應(yīng)該從勾股定理，全等，相似，面積等各個層面充分發(fā)掘其性質(zhì)，并且配合好的題目進(jìn)行訓(xùn)練，才能有效提高學(xué)生的幾何解題能力。

2. 解題思路：問題（1）在考查兩個角度的關(guān)系，但這兩個角不在同一個三角形，所以我們需要去尋找過渡的角，把這兩個角串起來。首先∠DAC根據(jù)同弧所對的圓周角相等轉(zhuǎn)化成∠CBF，然后不難發(fā)現(xiàn)：是直角三角形，是等腰三角形，而且這兩個三角形都包含∠ACB，假設(shè)∠ACB=，∠BAC=180°-2∠DAC=∠CBF=90°-，所以∠BAC=2∠DAC。

問題（2）求一個銳角三角形函數(shù)，那要在直角三角形中，沒有直角三角形，可以構(gòu)造垂線段等手段構(gòu)造直角三角形，或者通過等角轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化到能夠方便求三角函數(shù)的其他三角形當(dāng)中去。本題是直接構(gòu)造直角三角形，如圖2，作⊥AB交AB于點H，則tan∠BAD=DHAH，接下來只要把DH和AH的長度算出來就可以解決問題了，但我們無法找到這兩個線段和已知長度的線段之間的聯(lián)系，主要原因我們對這個圖形中的線段之間關(guān)系了解得太少。一般多數(shù)情況下，一道好的中考幾何壓軸題，第一問做出的結(jié)論或者方法應(yīng)該能夠給第二問的解決提供幫助，于是我們就把目光放到題目中還沒用到的條件DF=DC，并結(jié)合問題（1）解題的過程，爭取對整個圖形的信息多了解一些，假設(shè)∠DAC，則∠CDA=∠BAC=2β。又因為DF=DC，所以∠CFD=∠CDF，所以CF=CB。題目又告訴我們BD⊥AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一和垂直平行線的性質(zhì)，可得AC=AB=AF=10。我們把線已知線段標(biāo)上去，發(fā)現(xiàn)在RT和RT中，利用設(shè)元和勾股定理，可求得AE，CE，BE的長度。

設(shè)AE=a，則CE=10-a，102-a2=（45）2-（10-a）2，所以a=6，所以AE=6，CE=4，BE=8。再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形典型反X相似模型，三角形相似的比例性質(zhì)，可得DE=AE·CEBE=3。最后求DH長度，給出兩種方法，方法一利用等面積法，求出DH=BD·AEAB=335，再用勾股定理求出BH=445，AH=65，tan∠BAD=DHAH=112;方法二利用三角形函數(shù)，DH=BD·sin∠ABD=11×35=335，BH=BD·cos∠ABD=11×45=445，也可解得。

3. 考查思想方法：問題（1）通過直觀想象，設(shè)元，數(shù)學(xué)推理來解決;問題（2）這一難題通過直觀想象，數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)推理，化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想，設(shè)元法等數(shù)學(xué)思想方法得到了解決。

該題以圓的知識考察為基礎(chǔ)，融入了對等腰三角形、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)、垂直平分線、等面積等多個考點的測試;想要順利地拿到該題得分，要求考生擁有較為完備的數(shù)學(xué)核心能力，能巧用建模、轉(zhuǎn)化、方程、數(shù)形結(jié)合等思維概念。如果把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比作一把利刃，那這類“燒腦題”就好比是磨刀石。因此初中教師必須充分利用數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生真正消化和吸收數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)技能，形成良好的核心素養(yǎng)，使他們在未來的學(xué)業(yè)里“披荊斬棘”，一往無前。

作者簡介：

黃小萍，中學(xué)一級，福建省泉州市，泉州市第一中學(xué)。