解析法在研究解析幾何問題中的運(yùn)用

梁旭

摘 要：我們現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)幾何教材采用的是歐幾里得《幾何原本》的內(nèi)容。長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐表明：初等幾何構(gòu)思艱深，眾多師生往往為一道題冥思苦想而不得其解，因此，開辟新的途徑，尋求思路清晰、過程簡(jiǎn)潔的解題方法已是勢(shì)在必行。

關(guān)鍵詞：解析法，幾何問題，數(shù)形結(jié)合，坐標(biāo)系

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1992-7711（2020）03-064-2

解析法又稱坐標(biāo)法，是解析幾何中最基本的研究方法，它是在平面直角的基礎(chǔ)上，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法。

應(yīng)用解析法研究問題，必須建立坐標(biāo)系，使數(shù)和形結(jié)合起來。常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等，教師應(yīng)根據(jù)討論問題的特點(diǎn)和要求，合理選擇坐標(biāo)系。坐標(biāo)系選擇是否恰當(dāng)，直接關(guān)系到以后的論證是否簡(jiǎn)捷。所以，教師在選擇坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇那些問題所涉及的坐標(biāo)中盡可能多地出現(xiàn)零的坐標(biāo)系，為此常用以下方法：

①將圖形一邊所在的直線或定直線作x軸，若有直角，則取直角邊為坐標(biāo)軸。

例1 求證：三角形的三條高交于一點(diǎn)。

證明時(shí)可以以三角形的一邊為x軸，該邊上的高為y軸建立直角坐標(biāo)系，分設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出三邊所在直線方程，再聯(lián)立成方程組證得有唯一解即可。

②對(duì)稱圖形，則取對(duì)稱軸為x軸或y軸。

例2 在△ABC中，BC=8，∠A=45°，固定BC，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。

由平面幾何知識(shí)可知，到已知線段的視角為定角（非零角及平角）的點(diǎn)的軌跡，是以已知線段為弦的兩個(gè)弓形弧，它們的內(nèi)接角都等于給定的已知角（弓形弧的兩端點(diǎn)即線段的兩端點(diǎn)除外）。

此題坐標(biāo)系可以以BC為x軸，線段BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立，則B、C點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-4，0），C（4，0），則可根據(jù)平面幾何知識(shí)，很快求出點(diǎn)A的軌跡方程為x2+（y-4）2=32（y>0），x2+（y+4）2=32（y<0）。

此題若不如此建立坐標(biāo)系，則計(jì)算量大，不易得解。

③可將圖形的一個(gè)頂點(diǎn)或定點(diǎn)連線的中點(diǎn)作為原點(diǎn)。

例3 已知圓M和圓N，半徑分別為R和r，|MN|=2d>R+r，若動(dòng)點(diǎn)P到兩圓的切線長(zhǎng)相等，求P點(diǎn)的軌跡方程。

分析：可知題設(shè)已知兩圓圓心距為2d，啟示我們以連心線段中心為原點(diǎn)，故可以直線MN為x軸，線段MN的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則M，N的坐標(biāo)為（-d，0）和（d，0），根據(jù)切線長(zhǎng)相等列方程化簡(jiǎn)為4dx=R2-r2即x=R2-r24d。

在研究解析幾何問題時(shí)，我們知道，曲線的形狀、性質(zhì)不會(huì)因坐標(biāo)系改變而改變，但它的方程卻是因坐標(biāo)系的不同而不同（形式上繁簡(jiǎn)有別），因此化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算過程也就有復(fù)雜簡(jiǎn)單之分。本例中這種取定點(diǎn)連線中點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)的設(shè)置方法是經(jīng)常被采用的。

選定坐標(biāo)系后，還可以在點(diǎn)的坐標(biāo)之外，引入新變數(shù)——參變數(shù)。運(yùn)用參數(shù)思想，對(duì)討論的問題先進(jìn)行分解分析，從一個(gè)個(gè)有影響的側(cè)面建立等量關(guān)系，再綜合起來建立參數(shù)方程。

分析：此題是道平面幾何題，按習(xí)慣思維，用平面幾何知識(shí)去解決確實(shí)是一道較難的問題。若用解析法來解決，恰當(dāng)建立極坐標(biāo)系，把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，則證明就顯得簡(jiǎn)潔多了。

求一元二次方程的兩根之和求解。

需要說明的是，當(dāng)給出的問題中諸線段共點(diǎn)時(shí)，可以選擇公共點(diǎn)為極點(diǎn)，以某一條關(guān)鍵的定向線為極軸，建立極坐標(biāo)系。本題若取AT中點(diǎn)為原點(diǎn)，有向直線TA作為x軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出A、B所在圓與M、N所在拋物線方程，聯(lián)立求出A、B、M、N的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式求各線段的長(zhǎng)，則計(jì)算繁瑣，易出差錯(cuò)。

在掌握了解析法研究問題的一般原則技巧之后，不妨歸納一下解析法研究問題的一般步驟：

（1）選擇引入恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使數(shù)和形初步結(jié)合，把曲線與方程有條件地統(tǒng)一起來，

（2）考慮是否需要引入新的變量——參變量，以便更容易地建立曲線的方程或求解其他問題，

（3）考慮是否需要進(jìn)行坐標(biāo)變換，使曲線方程化簡(jiǎn)，或使研究的問題便于歸納，討論及解決，

（4）運(yùn)用各種代數(shù)方法，解決提出的幾何問題，并給出適合要求的答案。

綜上所述，在用解析法研究問題時(shí)，坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系）的選擇是可變化的，選擇的坐標(biāo)系是可以運(yùn)動(dòng)的——平移、旋轉(zhuǎn)或其它類型的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的坐標(biāo)及曲線的方程依坐標(biāo)系的不同是可以變化的，根據(jù)研究問題的需要，變量的個(gè)數(shù)是可以增減的引入?yún)?shù)或消去參數(shù)：唯一保持不變的是研究對(duì)象本身具有的幾何性質(zhì)，解析法的確使運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)。無論是從思想上還是從方法上，解析法都在以常量研究為主的初等數(shù)學(xué)和以變量研究為主的高等數(shù)學(xué)之間，架起了一座橋梁。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)行知分校，江蘇 南京210000）