基于基本解方法的正交各向異性鋼筋混凝土板彎曲問題計算與分析

陳潤波，王 勇，蔣 泉

（南通大學(xué)交通與土木工程學(xué)院，江蘇 南通 226019）

目前對混凝土板彎曲問題的大多研究都是依靠有限元軟件和進行相關(guān)實驗進行分析。黃麗華等人[1]對加固前后及不同CFRP 加固層數(shù)的動力性能進行了分析和計算。文章運用基本解方法對正交各向異性鋼筋混凝土板在均布荷載條件下?lián)隙群蛷澗剡M行計算，并結(jié)合計算結(jié)果進行進一步分析，驗證了計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 基本方程

1.1 正交各向異性鋼筋混凝土板基本方程

正交各向異性鋼筋混凝土板撓度彎曲方程可以寫成如下形式。

式中：取D1，D2和D3分別為不同方向的剛度。

為了簡化求解的過程，對公式（1）進行坐標(biāo)變換，將其變成非齊次雙調(diào)和方程的形式，取線性坐標(biāo)變換：

式中：m、n、a、b 為待定常數(shù)，滿足如下方程組：

經(jīng)過坐標(biāo)變換后為雙調(diào)和方程，表示為如下：

1.2 基本解方法基本方程

考慮齊次雙調(diào)和方程問題：

邊界條件：

則φ 的基本解可取：

式中：P 為區(qū)域內(nèi)的點；Ri為區(qū)域外的點；Bi和Fi為待定系數(shù)，可通過邊界條件定出；G1和G2為相應(yīng)的Laplace 方程和雙調(diào)和方程的基本解，在二維情況下可寫成：

式中：r 為P 和Bi之間的距離。待定系數(shù)Bi和Fi可由下列方程組求解：

式中：i=1-n1在邊界B1上，i=n1+1-n 在邊界B2上。

對于非齊次雙調(diào)和方程：

邊界條件與公式（6）一樣。其基本解為在齊次解上加上特解φ*，即：

當(dāng)為常數(shù)時，特解：

公式：x 和y 為p 點的坐標(biāo)。公式（11）的待定系數(shù)由下列方程組確定：

2 數(shù)值計算結(jié)果

如圖1 所示，設(shè)正交各向異性鋼筋混凝土板為邊長為4m 的正方形，左、右兩邊界固支，上下兩邊界簡支，板受均布荷載1kN/m2，混凝土為C30，鋼筋為Q235 材料。簡單起見，未給出過程，直接給D1=10×106kg·cm，D2=40×106kg·cm，D3=20×106kg·cm。

圖1 y=0 處撓度分布

在基本解方法中，格林函數(shù)取公式（3），特解取為式（12）。根據(jù)方程組（8）及邊界條件，可以求出格林函數(shù)中的待定系數(shù)Bi和Fi。計算結(jié)果如圖2 ～5所示。

圖2 x=0 處撓度分布

圖3 Y=0 處彎矩圖

圖4 X=0 處彎矩圖

圖2 和圖3 分別y=0 和x=0 處板中撓度分布，可以看出均在中點撓度達(dá)到最大值，在邊界上撓度為0 滿足邊界條件，符合實際情況。

圖4 和圖5 分別為y=0 和x=0 處板中正則化的彎矩分布。在簡支方向，板中間彎矩達(dá)到最大值，在兩段彎矩值為0 滿足邊界條件。

3 結(jié)束語

文章對存在均布荷載條件下的正交各向異性鋼筋混凝土板計算得到板撓度及彎矩數(shù)值解。通過文章的研究，可進一步拓展基本解方法在工程問題中的應(yīng)用，為鋼筋混凝土板彎曲問題的位移、彎矩的數(shù)值計算提供參考。