基于數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計與反思

王慧蓉 王聰

【摘 要】本文以人教B版高中數(shù)學(xué)必修四為起點，結(jié)合課標，通過對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)者、教學(xué)目標的分析，采用引導(dǎo)探究法、小組討論法，按照復(fù)習(xí)回顧、講授新知、例題講解、鞏固練習(xí)、課堂小結(jié)、教學(xué)反思六個環(huán)節(jié)，基于數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)就《正、余弦定理應(yīng)用》第一課時做了全面的教學(xué)設(shè)計與反思。

【關(guān)鍵詞】正余弦定理;距離測量;數(shù)學(xué)模型

正、余弦定理是求解生產(chǎn)生活中實際問題的重要工具。通過學(xué)習(xí)正、余弦定理的應(yīng)用，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)以及提出問題、分析問題、解決問題和實踐操作的能力[1]。筆者在教育碩士專業(yè)課《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計》上開展模擬授課，在合作中完成實踐教學(xué)，收到了預(yù)期的教學(xué)效果。

1? ?課程標準要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》對本課時的要求是能用正、余弦定理解決實際的距離測量問題。

2? ?教學(xué)內(nèi)容分析

2.1? 教學(xué)內(nèi)容的地位與作用

“解三角形”這一章的內(nèi)容，是初中“解三角形”內(nèi)容的延續(xù)與拓展。本章主要揭示三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系，并綜合利用正、余弦定理解決實際問題。

本課是人教B版必修4第九章9.2第一課時的內(nèi)容，主要涉及測量距離的問題。本課時是在教學(xué)正、余弦定理之后的實際應(yīng)用，因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容具有理論聯(lián)系實際的作用。

2.2? 教材編寫意圖

以故宮角樓的高度測量為背景提出實際問題，引入本小節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師引導(dǎo)學(xué)生探究此問題，并讓學(xué)生給出方案、解決問題的方法。設(shè)置1道例題和1道練習(xí)題。例題講解采用交流研討的方式，有利于展現(xiàn)學(xué)生的思維，讓學(xué)生得出最優(yōu)的解決方法，強化建立數(shù)學(xué)模型的意識，突破本節(jié)課的難點。在講解例題后，學(xué)生已掌握解三角形實際問題的思路。接著讓學(xué)生獨立思考并完成練習(xí)題，鞏固新知，從而使學(xué)生突破本節(jié)課的重點。最后，從解題思路進行小結(jié)，并結(jié)合思維導(dǎo)圖加深學(xué)生的理解。

3? ?學(xué)習(xí)者分析

3.1? 知識基礎(chǔ)

學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識和正、余弦定理，能夠運用定理解決簡單的問題。

3.2? 數(shù)學(xué)思維

高一學(xué)生處于形式運算思維向抽象思維過渡的階段，思維水平正逐漸提高，但空間想象能力尚有待提高。

3.3? 情感態(tài)度

學(xué)生積極參與探討測量方案（測量不可達兩點的距離），合作交流，并提出質(zhì)疑，進行反思。

3.4? 學(xué)習(xí)困難

在求解不可達兩點之間的距離問題時，學(xué)生暫時不能獨立想到將不可達兩點轉(zhuǎn)化為可達到兩點的模型，即不能獨立地將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。

4? ?教學(xué)目標與重難點分析

4.1? 教學(xué)目標

根據(jù)上述課程標準、教學(xué)內(nèi)容分析，結(jié)合學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)和心理特征，制定以下教學(xué)目標。

4.1.1? 情境與問題

從測量故宮角樓的高度問題出發(fā)，建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)正、余弦定理的實際應(yīng)用背景，并探討其應(yīng)用價值。

4.1.2? 知識與技能

讓學(xué)生能夠運用正、余弦定理等解有關(guān)三角形的問題，將不可達兩點間的距離測量問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題。

4.1.3? 思維與表達

通過解三角形的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力。

4.1.4? 交流與反思

讓學(xué)生積極主動地進行交流研討，應(yīng)用正、余弦定理解決實際問題，并從中歸納出解決此類問題的步驟。

4.2? 教學(xué)重難點

4.2.1? 重點

分析測量問題的實際背景，找到測量距離的方法，運用正、余弦定理解決實際問題。

4.2.2? 難點

根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型，將實際問題抽象成一個或幾個三角形，逐個解三角形，得到實際問題的解。

5? ?教學(xué)方法

根據(jù)教學(xué)重難點分析，教師需要在探究過程中多次引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，因此將第一種教學(xué)法設(shè)置為引導(dǎo)探究法[2]。

6? ?教學(xué)過程

6.1? 復(fù)習(xí)回顧

教學(xué)內(nèi)容：由鄭和七次下西洋、徐霞客游歷名山大川對我國航海和地理測量做出的突出貢獻引出“解三角形”的理論在實際生活的應(yīng)用，并復(fù)習(xí)正、余弦定理。

教師活動：教師拓展與實際相關(guān)的知識，回顧正、余弦定理，考查學(xué)生的掌握情況。

學(xué)生活動：回憶正、余弦定理以及公式的變形。

設(shè)計意圖：通過拓展歷史知識，讓學(xué)生體會解三角形在生活中的廣泛應(yīng)用。通過復(fù)習(xí)正、余弦定理并舉出生活實例，順理成章地引出新課題。

教學(xué)反思：可以通過觀看幾個歷史名人圖片激起學(xué)生上課的積極性。

6.2? 講授新知

教學(xué)內(nèi)容：在護城河對面測量故宮角樓的高度。因頂端和底部都不便到達，所以不能直接測量。引導(dǎo)學(xué)生思考用米尺和測量角度的工具。

Q1：你能在故宮角樓對面的岸邊得出角樓的高度嗎？如果能，寫出你的方案，并給出有關(guān)的計算方法;如果不能，說明理由。

Q2：角樓的高度可不可以轉(zhuǎn)化為不可達兩點之間的距離？

教師活動：教師要多次引導(dǎo)，一是引導(dǎo)學(xué)生理解題意，把實際圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，分清已知與未知，畫出示意圖;二是引導(dǎo)學(xué)生將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形再求解;三是引導(dǎo)學(xué)生將已知條件與求解目標集中在一個三角形上，最后利用正、余弦定理求解。

學(xué)生活動：設(shè)計測量方案，提出解決實際問題的方法。

設(shè)計意圖：由于學(xué)生的抽象能力有限，針對不可達兩點問題，學(xué)生獨自解題有一定的困難，所以教師要多次強調(diào)求解問題，突出教學(xué)重點，從而培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解題的素養(yǎng)。

教學(xué)反思：這道題屬于中等難度，學(xué)生能想到利用正、余弦定理解決問題，但是在將此問題抽象成數(shù)學(xué)模型時，學(xué)生會遇到困難。因為學(xué)生掌握知識都是循序漸進的，所以可先拋出情境問題，將其放在例題后解決，更有助于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

6.3? 例題講解

教學(xué)內(nèi)容：A、B是某沼澤地上不便到達的兩點，C、D是可到達的兩點。已知A、B、C、D4點都在水面上，而且已經(jīng)測得∠ACB=45°，∠BCD=30°，∠CDA=45°，∠BDA=15°，CD=100m，求AB的長。

教師活動：組織學(xué)生交流研討，歸納學(xué)生的解題方法。

學(xué)生活動：小組討論并提出解決此問題的方法。

設(shè)計意圖：教師啟發(fā)學(xué)生在解三角形時，靈活選擇兩個定理，尋找多種解決問題的方法。組織學(xué)生展現(xiàn)思維，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識，同時突破教學(xué)難點。

教學(xué)反思：這是道典型的求解不可到達兩點之間的距離的問題，因是線上授課，沒有黑板，所以效果不是很好。面授時要是能在黑板上清晰地寫出解題過程，效果肯定會更好。

6.4? 鞏固練習(xí)

教學(xué)內(nèi)容：公路AB一側(cè)有塊空地OAB，其中OA=3km，OB=km，∠AOB=90°。當?shù)卣當M在中間挖一個人工湖OMN，M、N都在邊AB上（M、N不與A、B重合，M在A、N之間），且∠MON=30°，若M在距離A點2km處，求點M、N之間的距離。

教師活動：組織學(xué)生練習(xí)。

學(xué)生活動：獨立思考，構(gòu)建模型，解決問題。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生能夠完成與例題相關(guān)的練習(xí)，起過渡作用。

教學(xué)反思：練習(xí)題有點難度，部分學(xué)生無法獨立解決。

6.5? 課堂小結(jié)、布置作業(yè)

教學(xué)內(nèi)容：

（1）解三角形的步驟，如下圖。

（2）給學(xué)生預(yù)留作業(yè)，必做題為習(xí)題9-2A的第3、4題，復(fù)習(xí)題B組的第7題 ;選做題為復(fù)習(xí)題C組的第1題。

教師活動：對解題思路進行小結(jié)，由教師隨機提問，并對學(xué)生的闡述歸納總結(jié)。

學(xué)生活動：依據(jù)所學(xué)新知進行總結(jié)匯報。

設(shè)計意圖：緊扣教學(xué)目標，師生共同梳理解題思路，呈現(xiàn)出解三角形的步驟，使學(xué)生解題時得心應(yīng)手。

教學(xué)反思：教師總結(jié)迅速，沒有給學(xué)生回顧例題和練習(xí)題解題思路的時間。若給學(xué)生幾分鐘的時間理清解題思路和過程，效果會更佳。

7? ?教學(xué)反思總結(jié)

此教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新點是結(jié)合生活實際問題，引入情境以及利用思維導(dǎo)圖進行總結(jié)，清晰明了，利于學(xué)生掌握。優(yōu)點是教學(xué)目標定位恰當，結(jié)合了課程標準，對教材進行了深入鉆研，圍繞知識與技能等，制定了核心目標。同時，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)解三角形的實際應(yīng)用中認識到數(shù)形結(jié)合的作用。

【參考文獻】

[1]董強.《正余弦定理的應(yīng)用（一）——距離測量問題》教學(xué)設(shè)計[J].中小學(xué)教學(xué)研究，2015（12）.

[2]管軍.“解三角形的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（2）.

【作者簡介】

王慧蓉（1995～），女，漢族，安徽安慶人，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2019級在讀研究生。研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

王聰（1997～），女，漢族，遼寧瓦房店人，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2019級在讀研究生。研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。