關(guān)于類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與探索

劉志娟

[摘? 要] 文章介紹了類比思想的意義，并以多個(gè)例題呈現(xiàn)了類比思想的應(yīng)用方式，以及滲透類比思想的教學(xué)建議，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的類比意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);類比思想;滲透

素質(zhì)教育要求教師不僅需要傳授給學(xué)生知識(shí)技能，更需要培養(yǎng)他們的思維能力. 類比是合理推理的一種，它也是創(chuàng)新的一種重要手段. 類比的出現(xiàn)為學(xué)生研究問題建構(gòu)了一定的思維框架，找尋到具有創(chuàng)新性的解題方法，架起了知識(shí)與方法之間的橋梁，激活了學(xué)生的思維. 因此，類比思想的滲透是數(shù)學(xué)教育的核心內(nèi)容之一. 事實(shí)上，教材中也多處涉及類比思想的教學(xué). 現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，不少教師也有意識(shí)地進(jìn)行了類比思想的滲透，卻無法有序系統(tǒng)地進(jìn)行. 本文將簡(jiǎn)述類比思想的意義，并結(jié)合案例闡述其應(yīng)用方法，以及滲透類比思想的教學(xué)建議，與同仁分享.

類比思想的意義

1. 促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的過程，每一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)都離不開數(shù)學(xué)思想的推動(dòng)與創(chuàng)新，而類比思想在數(shù)學(xué)發(fā)展史中起到了十分重要的作用，如波利亞通過類比法的合理運(yùn)用從而在學(xué)科研究中發(fā)揮了其能力;著名科學(xué)家牛頓正是類比天體運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)而發(fā)現(xiàn)了萬有引力;又如著名生物學(xué)家達(dá)爾文類比植物的自花受精和人類的近親結(jié)合進(jìn)而得出自己子女病態(tài)的根源. 因此，正是在這個(gè)意義上，盡管在數(shù)學(xué)研究方法和手段繁多的今日，類比思想仍然是數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的一種有效手段.

2. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力

隨著新課改的推進(jìn)，教學(xué)已經(jīng)不再局限于數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)已成為教師追求的綜合教學(xué)目標(biāo). 這就要求教師在教學(xué)的過程中樹立全新的教學(xué)理念，有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生的求知欲望，充分挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思想的滲透，致力于學(xué)生創(chuàng)造性的培養(yǎng). 類比思想是孕育學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“孵化器”，學(xué)生的一個(gè)又一個(gè)“微創(chuàng)”都源于類比思想. 在類比過程中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)進(jìn)行觀察、猜想、思維、推理，不斷促進(jìn)新思路的形成，從這個(gè)意義上來說，類比思想是一種創(chuàng)新的思想. 在教學(xué)的過程中，類比的重要性體現(xiàn)在思維的啟迪，從類比中找尋到解決問題的突破口，完善解題路徑. 相較于歸納與演繹，類比更有助于創(chuàng)新，當(dāng)歸納法和演繹法無法突破時(shí)，它往往能另辟蹊徑，達(dá)到“柳暗花明”的境界.

類比思想的應(yīng)用方式

1. 低維與高維的類比

例1? ?（1）如圖1，已知C，D，E，F(xiàn)為線段AB上的點(diǎn)，試求出圖中線段的條數(shù).

（2）如圖2，已知OA，OB，OC，OD，OE，OF為過同一點(diǎn)O的射線，試求出圖中角的個(gè)數(shù).

分析? 一般情況下求線段的條數(shù)，我們是通過確定一個(gè)端點(diǎn)，再確定另一個(gè)端點(diǎn)的方法來完成的. 觀察圖1可以看出一共有6個(gè)點(diǎn)，可以確定的線段條數(shù)為5條，且每條線段都重復(fù)一次，列式為：5+4+3+2+1=15，故共有線段15條. 類比直線中的線段來求平面內(nèi)的角，也就是每個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)線段兩個(gè)端點(diǎn)，從而建構(gòu)了共同之處，則列式為：5+4+3+2+1=15，故共有角15個(gè). 在給出平面內(nèi)角的問題時(shí)，回憶直線上的線段問題，讓類比物呈現(xiàn)得更清晰，更大程度上讓類比發(fā)生.

因此，在教學(xué)過程中宜采用類似問題情境，激活學(xué)生的聯(lián)想，促進(jìn)類比的發(fā)生，從而化難為簡(jiǎn)，啟迪學(xué)生的思維，找尋到解決問題的有效途徑.

2. 數(shù)與形的類比

初等數(shù)學(xué)可以分為代數(shù)與幾何，常見的類比有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與圖像等. 眾所周知，數(shù)與形之間的關(guān)系是相互依存的，我們?cè)诮虒W(xué)中既要啟發(fā)學(xué)生通過“形”來探究“數(shù)”，又需引導(dǎo)學(xué)生利用“數(shù)”來研究“形”.

例2？搖 已知■=■=■=k，試求出k的值.

分析? 不少學(xué)生在解決本題時(shí)習(xí)慣性運(yùn)用等比定理進(jìn)行求解，而事實(shí)上，若從聯(lián)想兩條直線重合這一條件出發(fā)進(jìn)行數(shù)與形的類比，則可以使問題得到更好的解決.

據(jù)題意，已知條件可以類比為直線ax+by=c①和直線（b+c）x+（c+a）y=a+b②，直線①與直線②重合，①+②可得（a+b+c）（x+y）=a+b+c. 當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，可得x+y=1. 它與①為同一條直線，則a=b=c，所以k=■=■，則k=-1或k=■.

3. 有限與無限的類比

數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)涉及有關(guān)無限問題的解決，而大部分無限的性質(zhì)都可由有限問題進(jìn)行類比而得. 因此，在探究無限情況下的問題時(shí)，首先可以想方設(shè)法找尋到與之相關(guān)的有限問題，然后再將有限情形下的解決方法和結(jié)論類比解決無限問題.

例3？搖 證明：正多邊形的面積為周長(zhǎng)與邊心距乘積的一半.

分析? 本題可以類比有限情形下，如“三角形的面積為底與高的乘積的一半”這一結(jié)論進(jìn)行求證，從而證實(shí)這一結(jié)論的正確性. 當(dāng)然，在解決有限與無限的類比中，由于二者之間存在著本質(zhì)上的區(qū)別，常常會(huì)暗藏較多的“陷阱”，如若類比得不夠準(zhǔn)確，常常會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生. 因此，類比可以為數(shù)學(xué)探究指明方向，但并不是完全的可靠，在進(jìn)行類比時(shí)還需進(jìn)一步思考類比的合理性問題.

滲透類比思想的教學(xué)建議

1. 創(chuàng)設(shè)情境，熏陶類比思維

興趣是學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，而有效教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)是充分激趣的最佳方式. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師往往直接設(shè)問，其結(jié)果是無法激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性. 其實(shí)，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，更多的應(yīng)該站在問題的源泉處，通過介紹類比的重大作用，如伽利略的拋物實(shí)驗(yàn)、計(jì)算機(jī)的誕生等等，從而激發(fā)和鼓勵(lì)學(xué)生大膽類比，使之創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)問題. 只有這樣，數(shù)學(xué)課堂才是有效的.

例如，教學(xué)“反證法”，可以引入推理故事“路邊苦李”這個(gè)人人熟知的感性素材進(jìn)行類比，為反證法步驟的及時(shí)性總結(jié)和合理性理解奠定了良好的基礎(chǔ)，同時(shí)也在一定程度上闡釋了反證法的實(shí)用價(jià)值，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)倍增親切感，從而讓學(xué)生形成創(chuàng)新思路.

2. 創(chuàng)新教學(xué)方式，強(qiáng)化類比意識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)的過程也就是經(jīng)驗(yàn)改造的過程，在類比思想滲透的過程中，教師需通過教學(xué)方式的創(chuàng)新，給予學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行思考，讓學(xué)生積極尋找類比物，在類比的過程中充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，使學(xué)生受到強(qiáng)烈的感染，進(jìn)一步增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂趣，從而強(qiáng)化類比意識(shí). 學(xué)生在不斷地經(jīng)歷大大小小的類比的過程中逐步積淀類比經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維.

綜上所述，類比思想在解決數(shù)學(xué)問題當(dāng)中起到了十分重要的作用，較強(qiáng)的類比能力成就了偉大的科學(xué)發(fā)明，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比思想去發(fā)現(xiàn)和解決問題的例子比比皆是，因此，我們數(shù)學(xué)教師需及時(shí)捕捉各種類比念頭，牢牢把握二者之間的相似之處，在不斷地過渡信息和不斷地證明中，使其科學(xué)化，從而使學(xué)生的創(chuàng)造能力在一個(gè)又一個(gè)的類比實(shí)踐中得以升華.