具有雙疾病的隨機(jī)SIRS傳染病模型的滅絕性與持久性分析

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(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林541006)

長(zhǎng)期以來(lái), 傳染病的流行給人類健康造成巨大傷害, 人們一直很重視傳染病的預(yù)防和控制, 因?yàn)樗坏┦Э? 輕則危及人的生命, 重則影響種族延續(xù)和國(guó)家的存亡。傳染病的防控不僅是公共衛(wèi)生問(wèn)題, 更是公共安全問(wèn)題, 因此，傳染病的研究吸引了大量學(xué)者，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模建立了很多傳染病模型[1-5], 研究其傳播規(guī)律, 通過(guò)人為干預(yù)來(lái)切斷疾病的傳播途徑, 從而達(dá)到控制疾病傳播的目的。但是大多數(shù)學(xué)者在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)只考慮了一種疾病的影響, 而在實(shí)際生活中, 同一個(gè)群體中可能同時(shí)存在2種疾病, 因此也有部分學(xué)者研究了雙疾病傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為[6-8]， 例如Meng等[7]研究了一類具有雙疾病的非線性隨機(jī)SIS傳染病模型:

(1)

(2)

該文獻(xiàn)主要考慮的是第一種疾病是關(guān)于染病者的飽和發(fā)生率, 第二種疾病是關(guān)于易感者的飽和發(fā)生率, 應(yīng)用相應(yīng)的隨機(jī)微分方程的知識(shí)得到了環(huán)境干預(yù)下疾病滅絕與持久的條件以及白噪聲強(qiáng)度對(duì)疾病所產(chǎn)生的影響。

由于在實(shí)際生活中, 當(dāng)染病者數(shù)量增加時(shí), 傳染率趨于飽和狀態(tài), 疾病的流行在一定程度上會(huì)受到心理因素的影響[12], 當(dāng)染病者的數(shù)量增加, 人們開(kāi)始重視, 從而通過(guò)采取一些措施(如隔離、媒體宣傳等)來(lái)控制接觸率, 進(jìn)而降低傳染率。因此, 為了更好地描述心理因素對(duì)疾病的影響, 對(duì)第一種疾病和第二種疾病都采用關(guān)于染病者的飽和發(fā)生率, 根據(jù)相關(guān)的染病機(jī)制, 建立如下的SIRS傳染病模型：

(3)

(4)

1 全局正解的存在唯一性

定義正不變集為

對(duì)于模型(4), 首先考慮其正解的全局存在唯一性。

τη=inf{t∈[0,τe):S(t)≤η或I1(t)≤η或I2(t)≤η或R(t)≤η}。

其中

因此

(5)

對(duì)式(5)兩邊同時(shí)從0到τη∧T積分, 并取期望, 則有

EV(S(t),I1(t),I2(t),R(t))≤V(S(0),I1(0),I2(0),R(0))+KT。

因此

其中χΩ是Ωη的示性函數(shù)。令η→0, 則有

∞>V(S(0),I1(0),I2(0),R(0))+KT=∞,

矛盾, 所以τ0=∞ a.s., 即模型(4)存在唯一的全局正解。證畢。

2 疾病的滅絕與持久

2.1 疾病的滅絕

本節(jié)主要討論在白噪聲干預(yù)下模型(4)中兩種疾病都滅絕的條件, 定義隨機(jī)基本再生數(shù)為

(6)

或

(7)

則SDE模型(4)中的兩種疾病都滅絕。

證明根據(jù)It公式, 有：

(8)

對(duì)式(8)兩邊積分, 有：

(9)

其中

(10)

此時(shí)

(11)

對(duì)式(11)兩邊同時(shí)除以t,得：

(12)

因?yàn)镸i(t)(i=1,2)是一個(gè)局部鞅, 根據(jù)鞅的強(qiáng)大數(shù)定理[14], 有：

對(duì)式(12)兩邊取上確界再取極限得：

(13)

根據(jù)式(9), 有

(14)

因此

注此定理說(shuō)明白噪聲在一定強(qiáng)度下, 兩種疾病都滅絕, 并且由條件(6)知, 大的白噪聲強(qiáng)度會(huì)抑制疾病的爆發(fā)。

2.2 疾病的持久性

研究流行病動(dòng)力學(xué)行為, 除了關(guān)心疾病在什么情況下滅絕, 也關(guān)心疾病在什么情況下流行, 并長(zhǎng)期存在。因此, 本節(jié)將討論兩種疾病在時(shí)間均值意義下的持久性。

定理3令(S(t),I1(t),I2(t),R(t))是模型(4)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))∈Γ的解, 則有：

其中

(15)

因此,

(16)

對(duì)a1lnI1(t)+I1(t)運(yùn)用It公式, 有：

(17)

對(duì)式(17)從0到t積分, 并且兩邊同時(shí)除以t, 再根據(jù)式(16)有：

(18)

所以

(19)

根據(jù)式(18)、(19)有：

(20)

根據(jù)式(20)有：

當(dāng)0≤I1(t)≤1時(shí), 有：

(21)

當(dāng)I1(t)≥1時(shí), 有：

(22)

(23)

對(duì)a2lnI2(t)+I2(t)運(yùn)用It公式, 有：

(24)

對(duì)式(24)從0到t積分, 并且兩邊同時(shí)除以t, 再根據(jù)式(19)、(23)有：

(25)

根據(jù)式(25), 當(dāng)0≤I2(t)≤1時(shí), 有：

(26)

當(dāng)I2(t)≥1時(shí), 有：

(27)

③根據(jù)式(15)、(19)知：

(28)

定義如下Lyapunov函數(shù)

對(duì)上式兩邊積分, 根據(jù)式(28), 則有：

所以

(29)

對(duì)式(29)取下確界再取極限, 令t→∞, 則

定理得證。證畢。

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)中, 為了驗(yàn)證所得結(jié)論的正確性, 利用Milstein方法[16-17]和Matlab 軟件數(shù)值模擬不同白噪聲強(qiáng)度對(duì)疾病持久性和滅絕性的影響。將模型(4)離散化可得到如下形式

選擇初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))=(10,7,5,5), 參數(shù)取值如下:Λ=4,μ=0.25,β1=0.7,β2=0.8,a1=10,a2=10,α1=0.4,α2=0.3,δ1=0.1,δ2=0.2,γ=0.3。

圖1 隨機(jī)系統(tǒng)(4)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))=(10,7,5,5)的路徑Fig.1 The path of S(t),I1(t),I2(t) and R(t) for the stochastic model (4) with initial values (S(0),I1(0),I2(0),R(0))=(10,7,5,5)

4 結(jié)論