無(wú)界域上非自治隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程一致隨機(jī)吸引子的存在性

,

(河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京210098)

本文研究定義在全空間Rn上具可加噪聲的反應(yīng)擴(kuò)散方程解的漸近行為:

du=(γΔu-λu-f1(u)-a(x)f2(u))+g(x,t)dt+h(x)dω,

(1)

初值為

u(x,0)=u0(x)，x∈Rn，

(2)

f1(s)s≥α1|s|p-β1|s|2,f′1(s)≥-c,

(3)

f2(s)s≥α2|s|p-β2,f′2(s)≥-c,

(4)

|f1(s)|≤α3|s|p-1+c1,|f2(s)|≤α4|s|p-1+c2，

(5)

其中αi>0,i=1,2,3,4,βi>0,i=1,2,c>0,c1>0,c2>0;α1>β1,λ>2β1。假設(shè)a(x)∈L1(Rn)∩L∞(Rn)，a(x)>0。

系統(tǒng)(1)～(2)是一非自治系統(tǒng)，含有確定的非自治項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)。隨機(jī)項(xiàng)的存在，對(duì)于未來(lái)信息具有不可知性，在研究隨機(jī)偏微分方程時(shí)，傳統(tǒng)吸引子的概念(見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3])已無(wú)法應(yīng)用。Flandoli等人在文獻(xiàn)[4-6]中將傳統(tǒng)吸引子的概念加以推廣，提出了拉回吸引子的概念，并給出了相應(yīng)的存在性刻畫(huà)定理；之后，Wang在文獻(xiàn)[7-8]中對(duì)含有確定非自治項(xiàng)的隨機(jī)偏微分方程吸引子的存在性加以研究，通過(guò)引入2個(gè)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)，給出了隨機(jī)吸引子存在的充分必要條件，且對(duì)吸引子的結(jié)構(gòu)加以刻畫(huà)；對(duì)確定非自治系統(tǒng)一致吸引子的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[9]；近期，源于文獻(xiàn)[9]中的思想，Cui等人在文獻(xiàn)[10]中研究含有確定非自治項(xiàng)隨機(jī)偏微分方程關(guān)于確定非自治符號(hào)一致拉回意義下吸引子的存在性，并給出相應(yīng)的判定定理； 關(guān)于隨機(jī)偏微分方程的其他研究見(jiàn)文獻(xiàn)[11-15]。

本文應(yīng)用文獻(xiàn)[6，13]中的方法，研究式(1)～(2)關(guān)于確定非自治符號(hào)隨機(jī)一致吸引子的存在性。由于式(1)～(2)是定義在全空間上，Sobolev嵌入缺乏緊性，本文采用空間分割的方法，通過(guò)在余空間中估計(jì)解一致性來(lái)得到緊性結(jié)果。

令‖·‖和(·,·)分別表示L2(Rn)上的范數(shù)和內(nèi)積，‖·‖p表示LP空間上的范數(shù)，字母C表示一般的正常數(shù)，其值可以在不同行或同一行有所變化。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的一些概念和理論，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[8,10,13,16]。

令(X,d)為可分的Banach空間，X上的非空集間的Hausdorff半距離定義為

對(duì)于任意度量空間M,定義B(M)為其上的σ-代數(shù)。令(Σ,dΣ)為緊的Polish度量空間，且在下面意義下是不變的：

θtΣ=Σ,?t∈R，

其中θ為光滑的平移算子，滿足：

①θ0是Σ上的恒等算子; ②θs°θt=θt+s,?t,s∈R; ③(t,g)θtg是連續(xù)的。

同時(shí)，定義(Ω,F,P)為概率空間，定義在其上的動(dòng)力系統(tǒng){?t}t∈R滿足：

①?0是Ω上的恒等算子; ②?tΩ=Ω, ?t∈R;

③?s°?t=?t+s, ?t,s∈R; ④(t,ω)?tω是(B(R)×F,F)-可測(cè);

⑤P-保測(cè)：P(?tF)=P(F)，?t≤0,F∈F。

分別作用在Σ和Ω上的2個(gè)群{θt}t∈R和{?t}t∈R稱為基流。

定義1稱φ(t,ω,g,x):R+×Ω×Σ×XX為定義在X,(Σ, {θt}t∈R)和(Ω,F,P, {?t}t∈R)上的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，如果

①φ是(B(R+)×F×B(Σ)×B(X),B(X))-可測(cè)的;

②φ(0,ω,g,·)是X上的恒等映射，?g∈Σ,ω∈Ω;

③對(duì)每個(gè)固定的g∈Σ,x∈X,ω∈Ω，有如下余圈性質(zhì)成立:

φ(t+s,ω,g,x)=φ(t,?sω,θsg)°φ(s,ω,g,x), ?t,s∈R+。

令D是X中的隨機(jī)集族組成的集合。

定義2稱K=K{K(ω)}ω∈Ω為φ的一致D-吸收集，若對(duì)任意ω∈Ω和B∈D，都存在T=T(ω,B)>0，使得

φ(t,?-tω,Σ,B(?-tω))?K(ω)，?t≥T，

其中

稱K=K{K(ω)}ω∈Ω為φ的一致D-吸引集，若對(duì)任意ω∈Ω，有

定義3稱定義在Banach空間X上的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ是一致D-漸近緊的，若對(duì)任意B∈D，ω∈Ω，{tn}，0

定義4稱隨機(jī)集A={A(ω)}ω∈Ω為φ的D-(隨機(jī))一致吸引子，如果A屬于D，且是最小的緊一致D-吸引集。

定義5稱隨機(jī)有界集{B(ω)}ω∈Ω關(guān)于{?t}t∈R是緩增的，若對(duì)所有的β>0,ω∈Ω,滿足

定義6[10]假設(shè)φ是關(guān)于符號(hào)空間Σ和X連續(xù)的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。若φ有閉的一致D-吸收集B∈D，且φ在X上是一致D-(拉回)漸近緊的,則φ有唯一的一致D-吸引子A={A(ω)}ω∈Ω∈DX,其中

(6)

②g的殼是平移不變的，即H(g)=θtH(g)，?t∈R；

⑤對(duì)任意σ∈H(g)，成立η(σ)≤η(g)。

(7)

2 式(1)～(2) 對(duì)應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

為了定義式(1)～(2)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程, 考慮概率空間(Ω,F,P)，其中，

Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0}，

F為Ω的緊開(kāi)拓?fù)渌T導(dǎo)的Borelσ-代數(shù)，P為(Ω，F(xiàn))下的雙邊Wiener測(cè)度。定義變換:

?tω=ω(·+t)-ω(t)，?t∈R,ω∈Ω，

則P是遍歷的且在?作用下具有不變性，見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。定義

(8)

則z(ω)是一維Ornstein-Uhlenbeck方程

dz(?tω)+λz(?tω)dt=dω

(9)

的一個(gè)穩(wěn)態(tài)解。此外對(duì)每個(gè)ω∈Ω，z(?tω)關(guān)于t連續(xù)，隨機(jī)變量|z(·)|是緩增的，即對(duì)每個(gè)ε>0，滿足

(10)

令v(t)=u(t)-hz(?tω), 其中u是問(wèn)題(1)～(2)的解, 那么v滿足

(11)

初值為

v(x,0)=v0(x)=u0(x)-hz(ω)。

(12)

對(duì)每個(gè)t≥0,ω∈Ω,g∈H(g0)和u0∈H,令

φ(t,ω,g,u0)=v(t,ω,g,u0-hz(ω))+hz(?tω),

(13)

則φ(t,ω,g,u0)是問(wèn)題(11)～(12)對(duì)應(yīng)的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。

令DH是H中的緩增集組成的集合,即

易知，DH是包含封閉的吸引域。

3 解的一致估計(jì)

為了證明對(duì)應(yīng)于式(1)～(2)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ一致DH-吸引子的存在性，需要對(duì)式(1)～(2)的解建立一致估計(jì)。首先證明φ存在一致DH-拉回吸收集B。

φ(t,?-tω,H(g0),D(?-tω))?B(ω),

其中B(ω)定義為

(14)

C和η(g)為正常數(shù),z(ω)為式(8)給出的緩增隨機(jī)變量。

證明在L2(Rn)中用v和式(11)作內(nèi)積, 得

(15)

對(duì)上式進(jìn)行逐項(xiàng)估計(jì)，應(yīng)用式(3)、(5)和Young不等式，并由p>2，得

(16)

同理，應(yīng)用式(4)、(5)可得

(17)

注意到

(18)

令λ1=λ-2β1，由式(15)～(18)可得

(19)

由h(x)∈H2(Rn)∩W2,p(Rn)∩L1(Rn)，得

(20)

對(duì)式(20)兩邊同乘eλ1t，將ω和g分別替換成?-tω和θ-tg，并在(0,t)上積分，得

(21)

因?yàn)関0∈D(?-tω)，由D的緩增性，存在T=T(ω,D)>1，使得

(22)

由式(13)知結(jié)論成立。證畢。

(23)

證明令vgn和v分別為方程(11)對(duì)應(yīng)于gn和g的解，令ξ=vgn-v，則

(24)

由式(3)和Young不等式，式(24)右邊第1項(xiàng)可估計(jì)為

(25)

其中0<θ<1。由式(4)和Young不等式，式(24)右邊第2項(xiàng)可估計(jì)為

(26)

其中0<θ<1。式(24)右邊第3項(xiàng)可估計(jì)為

(27)

由式(24)～(27)，可得

(28)

用Gronwall不等式，可得

(29)

證畢。

(30)

證明令ρ為R上的光滑函數(shù)，且對(duì)任意s∈R+，有0≤ρ(s)≤1，

(31)

(32)

下面對(duì)式(32)逐項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。首先有

(33)

注意到

(34)

由式(33)～(34)，可得

(35)

對(duì)于非線性項(xiàng)部分有

(36)

如同式(16)～(17)的推導(dǎo)，并應(yīng)用式(3)～(5)可得

(37)

考慮式(32)右邊最后部分，有

(38)

由式(32)～(38)可得

(39)

對(duì)式(39)在(T1,t)上用Gronwall不等式(T1>T)，得

(40)

用?-tω和θ-tg代替ω和g，對(duì)所有的t≥T1，有

(41)

下面對(duì)式(41)中右邊各項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。首先對(duì)右邊第1項(xiàng)，由引理1，存在T2>T1，使得對(duì)t≥T2，有

(42)

對(duì)于第2項(xiàng)，由式(22)可得，存在R1>0，當(dāng)k≥R1，t≥T2時(shí)，

(43)

同樣，對(duì)于第3項(xiàng)，存在R2>0，使得對(duì)k≥R2，k充分大，t≥T2時(shí)，有

(44)

(45)

由h(x)∈H2(Rn)∩W2,p(Rn)∩L1(Rn)，存在R4>0，當(dāng)k≥R4時(shí)，有

(46)

同樣，對(duì)式(41)右邊第5項(xiàng)，有

(47)

令R*=max{R1,R2,R3,R4}，T*=max{T1,T2}，對(duì)k≥R*，t≥T*，有

(48)

即

(49)

故

(50)

證畢。

4 一致隨機(jī)吸引子的存在性

證明由引理2知，式(1)～(2)的解關(guān)于初值Lipschitz連續(xù)，應(yīng)用引理1～3及Aubin-Lions定理，如同文獻(xiàn)[18]中引理2.4的證明即得。

證明由引理1及引理3，并應(yīng)用定義6即得結(jié)論成立。