魯棒模糊聚類圖像分割理論進(jìn)展

吳成茂

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710121)

圖像分割[1]是指遵循一定的相似度準(zhǔn)則，利用圖像中的某些特征信息如亮度、梯度、顏色和紋理等，將圖像劃分為若干內(nèi)部一致而彼此特征各異的同質(zhì)連通區(qū)域，以便滿足后續(xù)目標(biāo)提取、識別與跟蹤等需要。圖像分割不僅是圖像理解和前期視覺的基礎(chǔ)，而且也是成功進(jìn)行圖像分析、理解與描述圖像的關(guān)鍵步驟，長期以來備受相關(guān)研究者高度重視問題，是機器視覺領(lǐng)域中最具挑戰(zhàn)的前沿課題之一。迄今為止，已提出許多圖像分割方法，如閾值分割法、邊緣檢測法、區(qū)域生長法、水平集法、聚類分析法以及其他特定方法等。但是，大多數(shù)方法主要適用于特定的場景和應(yīng)用，仍缺乏通用有效的圖像分割理論及方法。從理論上看，圖像分割的本質(zhì)是像素聚類問題，利用聚類技術(shù)[2]進(jìn)行圖像分割已成為圖像分割理論研究中重要課題之一。

物體成像是三維空間向二維平面的投影過程，必然存在信息損失，另外，由于人眼視覺對圖像信息感知存在模糊性，從而使得圖像信息本身具有一定的不確定性，將模糊集理論和聚類技術(shù)相結(jié)合的模糊聚類方法[3-4]已成為當(dāng)前醫(yī)學(xué)和遙感等復(fù)雜影像解譯的重要工具并取得重大進(jìn)展[5-6]。然而，圖像成像機理和環(huán)境的多樣性和復(fù)雜性，導(dǎo)致不同場合獲取的圖像信息千差萬別，探索具有一定魯棒性的模糊聚類分割理論和算法仍然是該領(lǐng)域非常活躍的研究課題之一。

在眾多模糊聚類技術(shù)中，由Bezdek提出的非監(jiān)督模糊C-均值聚類[7](fuzzy C-means clustering,FCM)因其采用迭代實現(xiàn)，具有存儲開銷小且執(zhí)行效率高等優(yōu)點而得到廣泛應(yīng)用，特別是將其用于解決圖像分割問題已得到眾多研究者高度關(guān)注[8]。傳統(tǒng)FCM是利用歐氏距離度量樣本與聚類中心之間差異性的軟聚類方法，主要適合呈團狀且不同類樣本數(shù)相差不懸殊數(shù)據(jù)集的結(jié)構(gòu)分析，將其直接用于圖像分割難以取得滿意分割結(jié)果，于是，出現(xiàn)了許多改進(jìn)的屬性加權(quán)、樣本加權(quán)和屬性與樣本聯(lián)合加權(quán)等模糊聚類[7-15]，不同正則化模糊聚類等分割算法增強模糊聚類分割算法的適應(yīng)性[16-22]，以及基于信息幾何距離的模糊聚類算法引起了相關(guān)研究者重視和關(guān)注[23-27]。雖然這些改進(jìn)模糊聚類分割算法對無噪聲圖像能獲得滿意的分割結(jié)果，但是，這些改進(jìn)算法未考慮到像素與其鄰域像素之間的內(nèi)在相關(guān)性，導(dǎo)致直接利用改進(jìn)算法對噪聲干擾圖像的分割缺乏抑制噪聲能力，難以滿足醫(yī)學(xué)和遙感等影像解譯的需要。

為了解決灰度不均勻MRI影像的分割問題，Pham等[28-29]提出二階差分正則約束的FCM分割法,保持乘性項變化緩慢且光滑，解決了核磁共振成像(nuclear magnetic resonanceimaging，MRI)的合理分割，但是，這種方法非常耗時，不適合實時性要求較高場合的應(yīng)用需要?？紤]到像素與其鄰域像素緊密相關(guān)，Tolias和Panas[30]率先提出基于鄰域像素隸屬度定義模糊規(guī)則并調(diào)整當(dāng)前像素聚類隸屬度，依此修正聚類中心的模糊聚類分割法。但是，這種方法仍然不能解決光照不均勻圖像的分割問題。后來Tolias和Panas[31]又提出基于塔型結(jié)構(gòu)的空間鄰域隸屬度約束的FCM分割法，該方法增強了光照不均勻圖像的自適應(yīng)分割能力，但是，采用塔型結(jié)構(gòu)導(dǎo)致算法非常耗時，仍不適合大幅面圖像分割需要。直到2000年，Liew和 Leung等[32]利用鄰域灰度信息對當(dāng)前像素與聚類中心之間的距離測度進(jìn)行加權(quán)修正，從而提出了一種抑制高斯噪聲干擾的魯棒模糊聚類分割算法，同時，也給出當(dāng)前像素與鄰域像素的灰度偏差構(gòu)造加權(quán)因子的方法，該方法對不同強弱噪聲具有較好的適應(yīng)性。Ahmed 和Yamany等[33]也提出了鄰域像素與聚類中心之間的距離測度平均值修正當(dāng)前像素與聚類中心之間的距離測度，增強了FCM對高斯噪聲和灰度不均勻MRI圖像分割的有效性，相比Pham提出的二階差分正則約束FCM具有更高的執(zhí)行效率。另外，Pham[34]也給出了鄰域像素隸屬度約束的魯棒FCM算法，改善了高斯噪聲干擾圖像的分割問題。這些算法對噪聲干擾圖像的有效分割引起眾多研究者廣泛關(guān)注，于是許多魯棒模糊聚類分割算法[35]相繼被提出，推動魯棒圖像分割理論[36]的快速發(fā)展，為復(fù)雜的醫(yī)學(xué)和遙感等影像的合理解譯提供新的手段。

為系統(tǒng)了解魯棒模糊聚類分割理論的發(fā)展，對近20年來其相關(guān)方面的研究工作及進(jìn)展進(jìn)行梳理和總結(jié)，分類介紹魯棒模糊聚類不同方向的研究進(jìn)展、存在問題和發(fā)展趨勢。

1 模糊聚類理論基礎(chǔ)

FCM是一種重要的非監(jiān)督聚類方法，其最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可描述為

(1)

s.t.uij∈[0,1],1≤i≤n,1≤j≤c，

其中：m是模糊權(quán)因子且為常數(shù)，其取值為[1.5,2.5]；uij表示第i樣本xi屬于第j類的隸屬度；vj表示數(shù)據(jù)集第j類的聚類中心;，d2(xi,vj)表示第i樣本xi與第j個聚類中心vj之間的平方歐氏距離。

針對最優(yōu)化模型式(1)，采用拉格朗日乘子法獲得迭代求解該最優(yōu)化問題所對應(yīng)的隸屬度和聚類中心的表達(dá)式分別為

(2)

(3)

利用上述表達(dá)式構(gòu)造FCM算法，其算法步驟描述如下。

步驟3計算聚類中心的表達(dá)式為

上述FCM算法因計算簡單、存儲開銷小和性能穩(wěn)定等優(yōu)點在模式識別、圖像處理和數(shù)據(jù)挖掘等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，已成為現(xiàn)代智能信息處理的重要工具之一。另外，考慮FCM的目標(biāo)函數(shù)具有良好的可擴散性，因此，對其目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適度改進(jìn)，可以滿足不同應(yīng)用場合的需要。

2 基于模糊聚類的圖像分割法

假設(shè)圖像G是大小為M×N的灰度圖像，任意位置(x,y)處像素值為g(x,y)且0≤g(x,y)≤255。采用FCM將灰度圖像G分割為c個不同區(qū)域，則相應(yīng)的最優(yōu)化模型可描述為

(4)

s.t.u(x,y),j∈[0,1],(x,y)∈G,1≤j≤c，

該圖像進(jìn)行模糊聚類分割所對應(yīng)的像素值g(x,y)屬于第j區(qū)域的隸屬度和第j區(qū)域類中心的表達(dá)式分別為

(5)

(6)

利用式(5)和式(6)，對不同位置像素值進(jìn)行聚類，可實現(xiàn)對圖像中不同屬性區(qū)域的有效分割。這種像素聚類分割僅是通過對當(dāng)前像素直接聚類實現(xiàn)圖像分割，考慮到圖像相同灰度值的像素眾多，于是丁震等[37-38]提出了一維直方圖的快速模糊聚類分割算法，該方法與不同位置像素直接模糊聚類分割法等價，其相應(yīng)的一維直方圖模糊聚類模型可以描述為

(7)

s.t.ul,j∈[0,1],0≤l

利用式(7)，可獲得灰度圖像快速分割所對應(yīng)的迭代表達(dá)式為

(8)

(9)

利用式(8)和式(9)可實現(xiàn)大幅面遙感等影像的快速分割，將FCM分割灰度圖像的時間復(fù)雜度從O(cMN)降為O(cL)，對于利用遙感資源進(jìn)行環(huán)境監(jiān)測等應(yīng)用具有一定價值。但是，這種模糊聚類分割法存在的不足是缺乏對噪聲的有效抑制能力，不能有效處理諸如高分遙感影像因存在椒鹽噪聲干擾的難以有效分割問題。

3 基于多維直方圖的模糊聚類法

傳統(tǒng)FCM分割圖像時僅利用當(dāng)前像素，而未考慮到像素與其鄰域內(nèi)不同像素之間存在的內(nèi)在關(guān)聯(lián)系，從而導(dǎo)致直接對不同位置像素進(jìn)行FCM無法抑制噪聲對圖像分割的影響，取得的分割結(jié)果令人難以滿意。于是劉健莊[39]用當(dāng)前像素與其鄰域像素均值或中值相結(jié)合的二維直方圖FCM提高噪聲干擾圖像分割的有效性，該種聚類分割法的本質(zhì)是將原圖像與其均值或中值濾波圖像進(jìn)行聯(lián)合模糊聚類實現(xiàn)圖像分割。該聚類所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(10)

對應(yīng)的隸屬度和聚類中心的迭代表達(dá)式為

(11)

(12)

d2[(l,k),vj]=(l-vj,1)2+(k-vj,2)2。

這種二維直方圖模糊聚類雖然對噪聲干擾圖像能獲得相對滿意的分割效果，但是，該二維直方圖模糊聚類未考慮鄰域像素均值或中值對當(dāng)前聚類像素的影響程度，導(dǎo)致該算法缺乏一定的普適性。為此，侯曉凡和吳成茂[40]提出了當(dāng)前像素與鄰域像素均值或中值之間自適應(yīng)加權(quán)的二維直方圖FCM分割方法，增強了二維直方圖FCM分割法的適應(yīng)性。

另外，陳子陽和王保平[41]給出將當(dāng)前像素、鄰域像素均值和鄰域像素中值三者相結(jié)合并構(gòu)造了三維直方圖模糊聚類分割灰度圖像的方法，充分利用像素與鄰域信息之間的競爭性、冗余性和互補性增加聚類分割的精確度。吳成茂和李亞文[42]將三維直方圖引入彩色圖像中，對其紅(red，R)、綠(green，G)、藍(lán)(blue，B)3個顏色分量構(gòu)造三維直方圖并獲得彩色圖像快速魯棒模糊C-均值聚類分割算法,增強了模糊C-均值聚類解決彩色圖像分割問題的實時性和魯棒性。

總之，無論是二維直方圖模糊聚類法，還是三維直方圖模糊聚類法，其共同特點是將不同像素所對應(yīng)的鄰域均值或中值信息對當(dāng)前像素聚類的影響視為相同。將這種利用均值或中值信息的模糊聚類分割法歸類于各像素點鄰域信息相同影響的加權(quán)模糊聚類分割法，仍然難以滿足復(fù)雜的醫(yī)學(xué)和高分遙感等影像的魯棒分割需要，因此，沒有引起國內(nèi)外更多研究者關(guān)注。接下來，擬對近20年來有關(guān)空間鄰域信息約束的魯棒FCM分割方法的進(jìn)展進(jìn)行梳理、分類和討論，并指出存在的問題，供相關(guān)研究者研究參考。

4 基于空間鄰域信息約束的魯棒模糊聚類

灰度圖像采用FCM分割時將圖像中任何像素看成獨立的數(shù)據(jù)點，忽視了像素與其鄰域像素之間的內(nèi)在聯(lián)系，于是利用空間像素鄰域的灰度信息、距離信息和隸屬度信息對FCM目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行擴展是增強FCM有效分割噪聲干擾圖像的重要途徑。一般而言，圖像中的噪聲包括兩個大類。第一類是離散點噪聲，如高斯噪聲、椒鹽噪聲、斑點噪聲和萊斯噪聲等，這些噪聲均是離散點而稱為離散噪聲；第二類是幾何噪聲，如對地觀測所得遙感影像中存在的不是用戶感興趣的幾何形狀體，這些幾何形狀體影響到遙感目標(biāo)的正常提取而稱為幾何噪聲，是困擾遙感影像解譯的一大難題。魯棒模糊聚類算法主要是針對離散噪聲點而言的，有關(guān)幾何噪聲抑制的魯棒模糊聚類算法，將另外進(jìn)行闡述。

4.1 鄰域隸屬度修正約束的魯棒模糊聚類

傳統(tǒng)FCM直接對像素聚類，無法抑制圖像噪聲對分割結(jié)果的影響，導(dǎo)致分割所得圖像仍存在噪聲，無法滿足后續(xù)目標(biāo)識別、跟蹤和理解等需要。Chuang等[43]將利用鄰域像素隸屬度對當(dāng)前像素聚類所得隸屬度修正，以便再調(diào)整聚類中心，可提高FCM分割算法的魯棒性，即

(13)

(14)

另外，Adhikari等[45]提出了條件空間約束的模糊聚類并用于MRI圖像分割，該方法的本質(zhì)仍是利用鄰域像素隸屬度信息對當(dāng)前聚類像素的隸屬度進(jìn)行修正，二者本質(zhì)是相同的。近年來，Huang和Srivastava[46-47]將利用鄰域像素隸屬度修正當(dāng)前聚類像素隸屬度的方法推廣至直覺FCM，有利于改善復(fù)雜醫(yī)學(xué)影像的分割問題。

總之，這種空間鄰域隸屬度約束的魯棒模糊聚類構(gòu)造思想非常質(zhì)樸且物理意義明確，但是，缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論支撐，以及冪參數(shù)p和q選取缺乏理論依據(jù)。

4.2 鄰域隸屬度加性約束的魯棒模糊聚類

為了增強FCM分割的魯棒性，Pham[48]提出了鄰域像素隸屬度加性正則約束的魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(15)

該種聚類目標(biāo)函數(shù)可等價于

(16)

同樣，狄嵐等[49]也展開類似的研究，所面臨的問題是如何選取正則參數(shù)α。

Caldairou等[50]提出了非局部信息加權(quán)的鄰域隸屬度加性正則約束的魯棒模糊聚類算法，其目標(biāo)函數(shù)為

(17)

該魯棒模糊聚類分割非常適合MRI圖像分割，另外，不需要選取正則參數(shù)，適應(yīng)性強。但是，這種魯棒分割法因計算局部加權(quán)因子而非常耗時，不適合大幅面且實時性要求較高場合應(yīng)用的需要。

后來，楊勇等[51-52]提出了鄰域像素隸屬度補信息約束的魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(18)

通過對比式(16)、式(17)和式(18)，發(fā)現(xiàn)其構(gòu)造的正則化約束項正好相反。不難看出式(18)比式(16)和式(17)更加合理且度量存在明顯的一致性。同時，張道強等[53]也提出核空間鄰域像素隸屬度補信息約束的魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(19)

最近，常曉茹等[54]提出將式(18)修正為鄰域像素隸屬度和補信息約束的魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(20)

上述這些魯棒分割法雖然增強了FCM分割法的抗噪性能，但是，其面臨的共同缺點是正則參數(shù)α難以有效選取，大多采用測試法確定其值。如何合理選取該正則參數(shù)仍存在一定的挑戰(zhàn)。

總之，針對目標(biāo)函數(shù)式(15)-式(17)，雖然其正則化數(shù)學(xué)解釋是可行的，但是，無法從聚類有效性角度給出其合理解釋，甚至也無法從像素聚類鄰域局部自相似性角度給出其合理解釋，從而使其難以引起眾多研究者高度重視。針對式(18)-式(20)，其不僅可從數(shù)學(xué)度量一致性角度給出合理解釋，而且也從聚類有效性和聚類像素鄰域局部自相似性等眾多角度給出合理解釋，也給后續(xù)模糊局部信息C-均值聚類的目標(biāo)函數(shù)正則項的合理解釋提供一定的理論支撐。

4.3 基于KL散度加性約束的魯棒模糊聚類

傳統(tǒng)FCM易陷入局部極小值，因此將KL-散度[55](Kullback-Lelber divergence)引入FCM改善聚類性能，已引起國內(nèi)外廣泛研究者關(guān)注。該聚類對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(21)

Chatzis等[56]利用馬爾科夫隨機場估計當(dāng)前聚類像素的先驗分類信息為

(22)

有效適用于噪聲干擾復(fù)雜圖像的分割問題。其中，β為調(diào)節(jié)參數(shù)。但是，這種估計麻煩且非常耗時，于是張華、公茂果、Gharieb和趙泉華等[57-60]提出了直接利用鄰域像素隸屬度進(jìn)行加權(quán)濾波處理估計πij，不同估計方法主要差別在于權(quán)系數(shù)wri選取方式不同，其中趙泉華等[60]提出簡單有效的πij估計為

(23)

但是，這類KL散度正則化模糊聚類分割法也面臨著α的如何選取問題。主要依靠經(jīng)驗選取α值，缺乏一定的普適性。

另外，趙泉華和趙雪梅等[61-63]將像素鄰域的灰度和隸屬度等信息相結(jié)合并提出區(qū)域型魯棒FCM分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(24)

該方法特別適合遙感影像解譯的需要。另外，從像素聚類鄰域局部自相似性角度出發(fā)，對式(24)的正則項約束項可給出合理解釋。

4.4 鄰域灰度信息加性約束的魯棒模糊聚類

為了有效改善醫(yī)學(xué)MRI圖像分割問題，Ahmed等[33]提出了鄰域灰度信息約束的魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(25)

雖然該種分割法能取得較好的分割效果，但是，計算非常耗時，不適合大幅面圖像實時分割需要。為此，陳松燦和張道強[64]提出利用鄰域像素所對應(yīng)的均值或中值進(jìn)行約束的簡化魯棒FCM，其目標(biāo)函數(shù)為

(26)

(27)

其中，正則參數(shù)α1和α2依靠人為經(jīng)驗選取。

針對局部均勻(或非局部均值)濾波與中值濾波相結(jié)合嵌入FCM目標(biāo)函數(shù)所獲得魯棒模糊聚類難以獲得滿意分割結(jié)果的問題，Mújica-Vargas等[69]提出一致分布Ui、指數(shù)分布Ei和拉普拉斯分布Li對應(yīng)噪聲的RML估計濾波結(jié)果嵌入模糊聚類目標(biāo)函數(shù)，得到

(28)

用以進(jìn)行噪聲干擾圖像的魯棒分割。這些工作不僅解決FCM對噪聲干擾圖像分割的魯棒性問題，而且運行效率能滿足智能交通、工業(yè)自動化和醫(yī)學(xué)影像理解等眾多場合的應(yīng)用需要。但是，這類空間信息約束模糊聚類面臨的共同問題是受空間信息約束下的正則因子難以合理選取。

為此，王建忠等[70]提出了鄰域像素與當(dāng)前像素的灰度偏差高斯加權(quán)自適應(yīng)正則模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(29)

Belhassen等[71]利用鄰域像素均值所對應(yīng)方差信息構(gòu)建了自適應(yīng)正則魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(30)

αi=[1+σ(i)]-1，

Barrah等[72]提出了鄰域像素灰度偏差均值作為正則化因子的魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(31)

針對核空間魯棒模糊聚類，王文慧等[75]提出當(dāng)前像素與鄰域像素均值偏差作為正則化因子的魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(32)

式(30)-式(32)中存在的正則化約束參數(shù)選取，具有較強的可解釋性，而式(29)中的約束參數(shù)選取難以給出合理解釋。

趙鳳等[76]提出了非局部信息構(gòu)造正則化因子的魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(33)

但是，這種非局部鄰域信息正則因子構(gòu)造缺乏明確的物理意義。

后來，王志明等[77]利用鄰域像素灰度信息和灰度偏差信息所對應(yīng)的方差構(gòu)造一種物理意義非常明確的自適應(yīng)正則化因子，從而使得空間信息約束魯棒模糊聚類更加自然合理，則相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(34)

通過對比式(29)和式(34)，可以發(fā)現(xiàn)式(29)的參數(shù)選取存在明顯的不合理性。

針對核空間魯棒FCM，楊敏生等[78]提出了類間距離構(gòu)造自適應(yīng)正則因子的魯棒聚類算法，其目標(biāo)函數(shù)為

(35)

但是，這種正則因子構(gòu)造法沒有明確物理意義，其正則因子選取與當(dāng)前像素和鄰域信息無關(guān)，無法給出合理解釋。

另外，鐘燕飛等[79]提出了歸一化樣本劃分熵的自適應(yīng)正則化魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(36)

這種自適應(yīng)正則因子雖然與像素緊密相關(guān)，有一定的物理意義，但未考慮到像素鄰域局部信息，可解釋性較差。

綜上所述，在眾多鄰域像素灰度信息約束的自適應(yīng)加權(quán)魯棒模糊聚類中，利用鄰域像素灰度信息的方差或偏差構(gòu)造正則因子具有明確物理意義，同時，其合理性和可解釋性均強。

4.5 鄰域灰度和隸屬度相加結(jié)合的魯棒模糊聚類

考慮到僅利用鄰域像素的灰度或隸屬度進(jìn)行正則約束的魯棒模糊聚類存在的不足，邱存勇等[80]提出了鄰域像素灰度和隸屬度相結(jié)合的魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(37)

但未有效解決正則參數(shù)α1和α2的合理選取問題。

Gharieb等[81]將鄰域像素均值和隸屬度均值補信息相結(jié)合實現(xiàn)模糊聚類正則化約束，則相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(38)

胡嘉良等[82]將鄰域像素灰度和隸屬度加權(quán)和補信息相結(jié)合實現(xiàn)模糊聚類正則化約束，則相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(39)

通過對比式(37)-式(39)，發(fā)現(xiàn)式(38)所對應(yīng)的魯棒模糊聚類執(zhí)行效率較高，特別適合于實時性要求較高的應(yīng)用場合。雖然式(39)所對應(yīng)的魯棒模糊聚類效率最低，但是，其自適應(yīng)能力最強且參數(shù)選取對聚類性能影響最小。

總之，從聚類有效性和數(shù)學(xué)度量一致性等角度來看，式(37)-式(39)的構(gòu)造具有較強的可解釋性，將會引起更多研究者關(guān)注。

4.6 鄰域隸屬度乘性約束的魯棒模糊聚類

為了增強傳統(tǒng)FCM分割圖像的魯棒性，Despotovi等[83]提出了利用鄰域隸屬度加權(quán)均值對當(dāng)前像素與聚類中心之間的平方歐氏距離進(jìn)行修改，從而獲得一種魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(40)

Shen等[84]利用鄰域隸屬度的1階和2階加權(quán)平均值修正當(dāng)前像素與聚類中心之間的距離測度，則相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(41)

sij=λHij+ξFij，

wri=‖xr-xi‖，

但這種方法不僅涉及參數(shù)λ和ξ的合理選取問題，而且又要滿足約束條件0≤sij<1，從而導(dǎo)致適應(yīng)性差。

田小玲等[85]提出了適合紋理圖像魯棒分割的小波分解和局部隸屬度約束相結(jié)合的魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(42)

這種方法適合眾多參數(shù)難以合理選取，導(dǎo)致適應(yīng)性和實時性均較差，不適合遙感變化檢測和機器視覺等場合。

邱存勇等[80]也提出了鄰域像素隸屬度加權(quán)和倒數(shù)修正距離測度的魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(43)

這種將隸屬度加權(quán)均值倒數(shù)與距離測度的融合具有度量的一致性且解釋性強，與加權(quán)隸屬度均值的補信息與距離測度的融合也是相吻合的，能夠體現(xiàn)隸屬度信息與距離測度融合的多樣性和合理性。

Luong和Kim[86]合作并提出了廣義鄰域隸屬度加權(quán)融合修正距離測度的魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(44)

式中，g(·)是單調(diào)遞增函數(shù)。

這種魯棒模糊聚類分割與式(43)本質(zhì)是相同的，所對應(yīng)的聚類中心表達(dá)式與式(14)是等價的，主要適合MRI醫(yī)學(xué)影像分割。

Kumar和Harish[87]提出了利用核函數(shù)距離對鄰域隸屬度加權(quán)求和修正核距離測度的魯棒核空間模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(45)

這種核空間魯棒模糊聚類分割法相比非核空間魯棒模糊聚類具有更強的噪聲抑制能力，特別有利于抑制醫(yī)學(xué)影像分割中的斑點和萊斯噪聲。

Gharieb等[88]利用鄰域隸屬度均值修改當(dāng)前像素與聚類中心之間的距離測度，從而增強了模糊聚類算法對噪聲的有效抑制能力，這種方法相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(46)

另外，Gharieb等[89]也利用鄰域隸屬度均值修改鄰域均值與聚類中心之間的距離測度，以達(dá)到更好的抑制噪聲能力，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(47)

這種新的魯棒模糊聚類相比式(46)具有更強的噪聲抑制能力，但需要合理選取參數(shù)α1和α2。

針對核空間FCM，Thakur等[90]提出了鄰域像素隸屬度約束的魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(48)

這種核空間魯棒模糊聚類也面臨調(diào)節(jié)參數(shù)β的選取問題；同時，鄰域像素隸屬度均值未考慮當(dāng)前像素與鄰域像素的差異性，導(dǎo)致魯棒性能有限。

最近，吳成茂和楊小強[91]提出了像素鄰域隸屬度加權(quán)均值與鄰域灰度方差相結(jié)合的自適應(yīng)距離測度修正方法，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(49)

該算法隸屬度乘性約束項與像素距離測度之間存在度量一致性融合，不僅可解釋性強，而且還增強了不同強弱噪聲干擾圖像分割的適應(yīng)性和有效性，是鄰域隸屬度信息積性約束的魯棒模糊聚類中的一種非常重要的方法，值得研究者關(guān)注。

4.7 基于加權(quán)濾波圖像的快速魯棒分割法

針對空間鄰域灰度和隸屬度等信息約束的魯棒模糊聚類難以滿足大幅面圖像快速分割的需要。為此，Szilágyi等[92]提出了利用鄰域像素均值和當(dāng)前像素進(jìn)行加權(quán)獲得濾波圖像，再采用FCM對其分割，降低噪聲對分割結(jié)果影響的方法，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(50)

但是，這種快速魯棒模糊聚類本質(zhì)是對噪聲干擾圖像進(jìn)行濾波處理再聚類，從而導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)信息丟失，不完全適合紋理豐富的噪聲干擾醫(yī)學(xué)影像的分割。

蔡文玲等[93]提出了鄰域灰度信息和空間信息相結(jié)合的雙邊加權(quán)濾波圖像，對其進(jìn)行模糊聚類提高算法的抗噪性能，又能獲得滿意的分割結(jié)果。這里加權(quán)濾波圖像表示為

(51)

馬晶晶等[94]提出了雙邊濾波圖像和非局部濾波圖像進(jìn)行加權(quán)組合再進(jìn)行模糊聚類的魯棒分割算法，對噪聲抑制能力比原圖像和均值濾波進(jìn)行加權(quán)組合更強，使分割結(jié)果能更多地保留圖像細(xì)節(jié)信息。該聚類對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(52)

但是，這種算法因需要計算噪聲干擾圖像的非局部濾波均值信息而導(dǎo)致非常耗時，其實時性難以滿足大幅面遙感等影像分割的需要。

郭芳芳等[95]將噪聲干擾圖像所對應(yīng)的雙邊濾波圖像和均值濾波圖像進(jìn)行自適應(yīng)加權(quán)組合，再進(jìn)行模糊聚類分割方法。其不僅能保證良好的抗干擾性能，而且其快速性又能滿足實時目標(biāo)檢測與跟蹤等應(yīng)用的需要。該聚類對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(53)

近年來，吳其平和吳成茂[96]將這種加權(quán)和濾波圖像和現(xiàn)有的魯棒核空間模糊聚類相結(jié)合并推廣至二維直方圖，得到適合大幅面圖像快速分割的新魯棒算法。其是現(xiàn)有的二維直方圖模糊聚類與魯棒模糊聚類相結(jié)合的結(jié)果，對于探索新的快速魯棒模糊聚類算法有積極的促進(jìn)作用。

4.8 模糊局部信息約束的魯棒模糊聚類

針對空間信息約束魯棒模糊聚類難以有效選取正則因子，同時僅適合弱噪聲干擾圖像分割的需要的問題。為此，Krinidis 等[97]提出了模糊局部信息C-均值聚類分割算法，其目標(biāo)函數(shù)為

(54)

其中，Gij是局部模糊信息約束項，即

其充分利用了鄰域像素的隸屬度信息，鄰域像素與當(dāng)前聚類像素的空間距離，以及鄰域像素值與聚類中心之間的距離測度信息。這種魯棒模糊聚類因其模糊信息約束項沒有正則因子而適應(yīng)性強，受到眾多研究者廣泛關(guān)注，已成為魯棒模糊聚類中的重要方法之一。該正則項因子(1-ukj)與距離項d2(xk,vj)存在明顯的數(shù)學(xué)度量一致性，從而使其可解釋性強，以致大量改進(jìn)算法不斷涌現(xiàn)，增強了模糊局部信息C-均值聚類對噪聲的抑制能力。

為了增強模糊局部信息C-均值聚類分割圖像的保邊緣能力，李蘭等[98]提出了基于邊緣特征的模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類分割法，有利于遙感影像解譯需要，即

(55)

其中：若鄰域像素xr與當(dāng)前像素xi被邊隔開時，則wri取值為0.33；否則，wri取值為1.0。

為了增強模糊局部信息C-均值聚類對強噪聲干擾的抑制能力和分割精度，公茂果等[99]提出了核空間模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類分割法，對椒鹽噪聲和高斯噪聲均能表現(xiàn)出良好的抗噪魯棒性，引起國內(nèi)外學(xué)者高度重視。該聚類對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(56)

加權(quán)因子wri的選取對魯棒模糊聚類性能的影響非常關(guān)鍵。公茂果等人提出了當(dāng)前像素鄰域方差與均值比來構(gòu)造加權(quán)因子的方法，即

(57)

這種加權(quán)因子構(gòu)造法不僅物理意義明確，而且與像素鄰域灰度信息局部一致性度量緊密相關(guān)，從而使得加權(quán)因子可解釋性強。

相德良等[100]提出了鄰域像素所對應(yīng)局部塊間像素值比值對數(shù)化構(gòu)造加權(quán)因子的方法，改善了噪聲干擾SAR圖像的有效分割問題，即

(58)

其中：IN(i)(k)表示像素xi所對應(yīng)鄰域塊中第k像素值；NR為塊大小。

Bhagyalakshmi等[101]提出了鄰域像素所對應(yīng)局部塊間像素值乘積均值對數(shù)化構(gòu)造加權(quán)因子的新方法，即

(59)

這種構(gòu)權(quán)法相比公茂果等人方法有更強的抑制噪聲干擾能力。

魯東大學(xué)張曉峰等[102]提出鄰域像素非局部信息構(gòu)造加權(quán)因子的方法，即

(60)

后來，張曉峰等[102]又考慮到指數(shù)運算非常耗時的問題，提出了類似的鄰域像素非局部信息構(gòu)造方法，即

(61)

其中，NR是像素xi所對應(yīng)的鄰域塊xN(i)所包含像素個數(shù)。

中國礦業(yè)大學(xué)閔豪等[103]提出了基于萬有引力定律的模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類權(quán)因子構(gòu)造法，即

(62)

雖然這種加權(quán)因子構(gòu)造法具有明確的物理意義，但是，它將導(dǎo)致模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類的隸屬度表達(dá)式無法正確推導(dǎo)，僅能采用現(xiàn)有的隸屬度表達(dá)式，從而使其缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論支撐。

近年來，為了將模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類應(yīng)用于復(fù)雜的醫(yī)學(xué)和遙感等影像分割，研究者們提出了將模糊局部信息C-均值聚類融入更多空間信息提高聚類算法對噪聲的抑制能力，以便獲得更高的分割精度。李木青等[104]提出了嵌入像素鄰域非局部濾波信息的模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(63)

張華等[105]出了一種自適應(yīng)模糊局部信息C-均值聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(64)

這種構(gòu)造法的明顯缺陷是隸屬度表達(dá)式無法經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)獲得，從而失去一定理論價值，難以引起更多研究者關(guān)注。

后來，徐金東等[106]將其局部信息約束項修正為

(65)

但是，這種構(gòu)造仍無法獲得嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義的隸屬度迭代表達(dá)式，其與式(64)存在類似的問題，難以引起眾多研究者關(guān)注。最近，張華等[107-108]又提出了鄰域像素隸屬度加權(quán)和補修正像素與聚類中心距離測度的模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(66)

ωri(j)=ωsd×ωsu×ωsc，

ωsu=uijurj，

這種新的多種空間鄰域灰度信息和隸屬度信息相結(jié)合的魯棒模糊聚類為遙感圖像分割的有效分割提供了新的途徑；但是，Pij和wri(j)的構(gòu)造中均利用了當(dāng)前像素xi的隸屬度uij，導(dǎo)致所得uij的迭代表達(dá)式并不合理。

另外，針對模糊局部信息C-均值聚類，嚴(yán)宇等[109]提出新的修正模糊局部信息項，即

(67)

在該局部信息約束項中，嵌入了鄰域像素灰度與鄰域像素均值的偏差，從而使得該算法具有更強的抑制噪聲能力，有利于對遙感影像變化的檢測。同理，唐一明等[110]也提出了相似的局部信息約束項修正式為

(68)

Verma等[111]考慮到模糊局部信息C-均值聚類中模糊權(quán)因子m選取缺乏明確的物理意義，提出將信息熵嵌入模糊局部信息C-均值聚類，得到了極大熵約束的魯棒模糊局部信息C-均值聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(69)

但是，這種局部劃分熵修正的模糊局部信息約束項難以合理解釋，不易引起眾多研究者關(guān)注。

為了增強模糊局部信息C-均值聚類的魯棒性和有效性，將空間局部信息與模糊局部信息相結(jié)合構(gòu)造新的魯棒模糊聚類是新的發(fā)展趨勢。蘇志遠(yuǎn)等[112]提出像素灰度空間約束和模糊局部信息約束相結(jié)合的改進(jìn)魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(70)

但是，沒有有效地解決參數(shù)bi的合理選取問題。

最近，Abu等[113]提出了鄰域濾波均值信息與模糊局部信息相結(jié)合的增強型模糊局部C-均值聚類方法，能夠有效地解決噪聲干擾的聲吶圖像分割問題。該聚類對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(71)

魯振宇等[114]提出了雙重局部信息約束的魯棒中智C-均值聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(72)

該魯棒中智局部信息C-均值聚類相比現(xiàn)有的模糊局部信息C-均值聚類有更大的潛在優(yōu)勢。

為了改善模糊局部信息C-均值聚類不足問題，Zare等[115]提出了嵌入可能聚類的模糊局部信息C-均值聚類分割法，用于水下聲吶圖像的有效分割。該聚類對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(73)

但是，這種加性結(jié)構(gòu)的模糊可能局部信息C-均值聚類面臨參數(shù)a和b的合理選取問題。Memon等[116]提出將模糊聚類與可能聚類相結(jié)合并嵌入像素鄰域模糊局部信息，獲得可能模糊局部信息C-均值聚類方法，相比模糊局部信息C-均值聚類具有更強的噪聲抑制能力。該聚類對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

(74)

但是，該種算法迭代收斂速度非常慢，不適合實時性要求較高場合的應(yīng)用需要。

針對現(xiàn)有的模糊局部信息C-均值聚類，特別是核空間模糊加權(quán)局部信息C-均值聚類，其運算非常耗時，并不適合大幅面圖像進(jìn)行目標(biāo)跟蹤與識別和理解等需要。為此，侯曉凡和吳成茂[117-118]對模糊局部信息C-均值聚類進(jìn)行改進(jìn)，提出了利用一維直方圖和二維共生直方圖相結(jié)合的快速模糊局部信息C-均值聚類，增強該聚類算法的實時性，對智能交通，目標(biāo)跟蹤和遙感監(jiān)測等方面的應(yīng)用具有較大價值。

4.9 半監(jiān)督魯棒模糊聚類

Ngo等[119]提出了利用鄰域像素隸屬度信息對當(dāng)前像素與聚類中心之間的距離測度進(jìn)行修正的方法，將距離修正為

(75)

利用其修正距離測度并構(gòu)建半監(jiān)督區(qū)間值2型模糊聚類改善噪聲干擾遙感影像的變化檢測問題。

Tuan等[120]將現(xiàn)有的半監(jiān)督FCM中隸屬度約束項目利用鄰域像素隸屬度均值替代并獲得一種適合噪聲干擾圖像分割的魯棒聚類算法，其目標(biāo)函數(shù)為

(76)

隨后，Son和Tuan[121]又提出了半監(jiān)督熵正則的魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(77)

Son和Tuan[122]將在半監(jiān)督模糊聚類中引入距離度量修正，得到加強型的魯棒半監(jiān)督模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(78)

另外，Hayat[123]也提出了一種非常簡單的半監(jiān)督魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(79)

為了增強中智聚類分割噪聲干擾圖像的魯棒性，吳成茂和上官若愚[124]提出了利用馬爾科夫隨機場估計像素分類先念信息，并提出魯棒半監(jiān)督中智聚類分割方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(80)

另外，吳成茂和上官若愚[125]也提出另一種魯棒半監(jiān)督中智聚類分割方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(81)

這類方法的中智聚類能夠應(yīng)用于解決醫(yī)學(xué)和遙感等影像的魯棒分割問題。但是，其參數(shù)λ選取缺乏一定的理論依據(jù)。

4.10 其他類型魯棒模糊聚類方法

為了增強基于高斯混合模型的模糊聚類分割方法的魯棒性，劉金堯和紀(jì)則軒等[126-127]提出了像素鄰域的先念概率和后念概率相結(jié)合的空間鄰域信息約束的魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(82)

這種分割方法非常適合自然圖像和MRI圖像等分割的需要。但是，該魯棒聚類分割法中Fij的可解釋性較差，不易引起更多學(xué)者重視。

Hamasuna和Miyamoto[128]提出了冗余模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(83)

后來，Kannan等[129]將冗余模糊聚類推廣至核空間，提出了極大熵約束和鄰域隸屬度約束相結(jié)合的魯棒冗余核空間模糊聚類，用于進(jìn)行醫(yī)學(xué)影像的分割。其目標(biāo)函數(shù)為

(84)

但是，該聚類模型存在一個問題是因鄰域隸屬度約束項存在參數(shù)m，導(dǎo)致無法獲得嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義的隸屬度迭代表達(dá)式。

為了改善現(xiàn)有的模糊聚類性能，F(xiàn)orero等[130]提出了冗余系數(shù)稀疏正則化的魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(85)

其中，ei為偏置場。在此模型基礎(chǔ)上，張宇軒和白相志等[131]提出了鄰域像素偏差稀疏約束的魯棒模糊聚類分割法，其目標(biāo)函數(shù)為

(86)

但是，該空間鄰域信息約束魯棒模糊聚類目標(biāo)函數(shù)存在的不足，是未完全借鑒Forero等提出的冗余系數(shù)稀疏軟正則化方法，導(dǎo)致er的迭代計算并非完全合理。

針對遙感影像本身具有模糊性、隨機性和未知性，余先川等[132]提出了區(qū)間值數(shù)模糊聚類進(jìn)行遙感影像分類，后來賀輝等[133]又給出自適應(yīng)區(qū)間二型模糊聚類分類遙感影像方法，徐金東等[134]提出了自適應(yīng)區(qū)間值數(shù)模糊局部信息C-均值聚類遙感影像分類方法。張阿龍等[135]提出了鄰域非局部信息距離的最大值和最小值與當(dāng)前像素聚類距離項相結(jié)合，構(gòu)造了一種魯棒區(qū)間值2型模糊聚類實現(xiàn)遙感影像變化檢測。即

(87)

這種鄰域非局部加權(quán)距離極大地推動了魯棒區(qū)間2型模糊聚類的發(fā)展，對高光譜遙感影像解譯具有深遠(yuǎn)意義。

針對現(xiàn)有的模糊C-均值聚類構(gòu)造機理存在的不足，鄭鈺輝等[136]首次提出分層結(jié)構(gòu)模糊C-均值聚類模型，則可描述為

(88)

1≤i≤n,

1≤j≤c。

為了增強這種分層模糊聚類對噪聲干擾圖像的有效分割，將鄰域灰度信息嵌入該模型并得到廣義分層結(jié)構(gòu)模糊聚類算法，其目標(biāo)函數(shù)為

(89)

后來，陳允杰和鄭鈺輝等[137]提出了嵌入像素鄰域非局部信息、先驗概率信息和后驗概率信息相結(jié)合的魯棒分層模糊聚類算法，有效改善了MRI圖像的分割問題。陳允杰等[138]又將分層模糊聚類與學(xué)生t-分布模型相結(jié)合，提出了各向異性多變量分層模糊聚類算法，用于MRI影像解譯?？琢畛珊袜嶁曒x等[139-140]又將學(xué)生t-分布模型與分層模糊聚類相結(jié)合獲得t-分布距離函數(shù)的分層模糊算法，增強了分層FCM解決自然圖像分割的能力。這種魯棒分層模糊聚類不僅推動了模糊聚類理論的發(fā)展，而且對分層模型[141-143]解決圖像分割問題提供了嶄新的思路。

5 基于魯棒統(tǒng)計量的魯棒模糊聚類

為了降低FCM對噪聲的敏感性，將魯棒統(tǒng)計引入FCM并得到一類對離散噪聲或奇異值具有抑制能力的魯棒模糊聚類[144-146]，其目標(biāo)函數(shù)為

(90)

其中， 魯棒統(tǒng)計量ρ(x)函數(shù)為

ρ(x)=|x|，ρc(x)=0.5c2ln(1+(x/c)2)，

后來，Mújica-Vargas等[147]提出了基于魯棒統(tǒng)計量的模糊聚類分割方法，在應(yīng)用于彩色圖像分割時取得一定效果。蔣小良等[148]給出局部魯棒統(tǒng)計量和空間鄰域信息約束相結(jié)合的魯棒模糊聚類，其目標(biāo)函數(shù)為

(91)

該方法應(yīng)用于醫(yī)學(xué)影像分割，取得了良好的效果。Abadpour[149]提出了魯棒損失函數(shù)和空間鄰域信息相結(jié)合的魯棒模糊可能聚類分割方法。

隨著魯棒模糊聚類理論的發(fā)展，諸如半Huber損失函數(shù)[150]、Vapnik損失函數(shù)[151]、0.5范數(shù)損失函數(shù)[152]、Lorentzian損失函數(shù)[153]和自適應(yīng)損失函數(shù)[154]等將會在魯棒模糊聚類分割理論中發(fā)揮重要作用。特別是利用魯棒損失函數(shù)進(jìn)行空間鄰域信息魯棒估計[155]，將其嵌入現(xiàn)有的魯棒模糊聚類目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行彩色圖像的有效分割將是未來研究的熱點課題之一。

6 面向幾何噪聲的魯棒模糊聚類

近年來，我國已成功發(fā)射了不同用途的高分遙感衛(wèi)星，如高分一號高分寬幅、高分二號亞米全色、高分三號1米雷達(dá)、高分四號同步凝視、高分五號高光譜觀測、高分六號陸地應(yīng)急監(jiān)測和高分七號亞米立體測繪等7顆民用高分衛(wèi)星，獲得大量的對地觀測數(shù)據(jù)，建立了高分專項數(shù)據(jù)中心，滿足不同應(yīng)用需求。高分遙感隨著遙感圖像分辨率的提高，幾何噪聲也會隨之增加。幾何噪聲，即較大的主同質(zhì)區(qū)域內(nèi)存在的較小的次同質(zhì)區(qū)域，如道路與道路中心線，此類較小的次同質(zhì)區(qū)域往往歸屬于主同質(zhì)區(qū)域或不足以被單獨視為一類，一般的處理方法就是將其忽略。傳統(tǒng)的圖像分割算法，如基于閾值選取、區(qū)域和邊緣檢測方法等，均不能描述噪聲引起的不確定性問題，導(dǎo)致分割效果差。為了改善該類問題，趙泉華和張冬等[156]提出了包含度和模糊度相結(jié)合的魯棒模糊聚類方法，其目標(biāo)函數(shù)為

(92)

s.t. 0≤uij,tij≤1,1≤i≤n,1≤j≤c，

其中：uij表示第i個樣本xi屬于第j類的隸屬度;tij表示第j類對第i個樣本xi的包含度。然而，由于聚類數(shù)c和樣本數(shù)n的數(shù)量差距很大，導(dǎo)致約束條件中uij和tij的數(shù)量差距也很大。為了與uij的數(shù)量級相一致，對其包含度tij進(jìn)行約束,即

通過拉格朗日乘子法獲得該模型的迭代求解算法，可減少遙感影像中幾何噪聲對分割結(jié)果的影響。

另外，高分遙感影像因成像機理導(dǎo)致影像中不僅有幾何噪聲，也存在諸如椒鹽噪聲等離散噪聲。為了在這種情形下對高分遙感影像進(jìn)行有效分割，劉叢等[157]將在式(92)基礎(chǔ)上提出了融合多種信息的混合噪聲圖像分割法，其相應(yīng)的聚類目標(biāo)函數(shù)為

(93)

雖然這種正則化參數(shù)選取十分有效，但是無法從像素鄰域信息角度給出合理解釋，難以讓人接受，也就無法引起更多研究者重視?？傊?，幾何噪聲仍是困擾高分遙感影像合理解譯的一大難題，取得的進(jìn)展仍較少，于是將代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的纖維叢理論、代數(shù)幾何(如廣義主成分分析等)、共形幾何代數(shù)(即Clifford代數(shù))[158-162]和黎曼流形測度理論等引入這種模糊聚類，可能對幾何噪聲干擾的遙感影像解譯帶來新的研究思路。

7 魯棒模糊聚類分割方法解釋

迄今為止，魯棒模糊聚類分割理論已經(jīng)歷了20余年的蓬勃發(fā)展，提出了眾多有效分割方法，并廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)工程、遙感影像解譯、工業(yè)自動化、智能導(dǎo)航與自動無人駕駛等眾多領(lǐng)域。但是，這些魯棒模糊聚類分割算法的本質(zhì)都是對模糊聚類目標(biāo)函數(shù)中的距離度量測度或隸屬度進(jìn)行空間鄰域信息約束修改，相應(yīng)的典型魯棒模糊聚類最優(yōu)化模型描述為

(94)

或者

(95)

(96)

(97)

上述這些最優(yōu)化問題求解采用交替迭代法實現(xiàn)，其相應(yīng)的模糊劃分隸屬度差分迭代模型描述為

u(t+1)=θ(u(t))。

(98)

其中，θ(u(t))=H[G(u(t))]，映射G:u→v,G(u)=v且H:v→u,H(v)=u。

令u*是差分方程u(t+1)=θ(u(t))的不動點。如果離散映射θ的雅克比矩陣范數(shù)‖θ′(u(t))‖<1，那么映射θ在u*點是收縮的，u*是漸進(jìn)穩(wěn)定點。

綜上所述，這些最優(yōu)化模型改變現(xiàn)有的模糊聚類進(jìn)行差分演化的擴散動力學(xué)特性[163-166]，從而達(dá)到對分割圖像中存在的點噪聲或幾何噪聲進(jìn)行有效抑制，以便獲得滿意的分割結(jié)果，能更好地滿足后續(xù)的目標(biāo)識別、理解和跟蹤等需要。

8 魯棒模糊聚類分割理論展望

近年來，隨著深度學(xué)習(xí)、強化學(xué)習(xí)、遷移學(xué)習(xí)、自步學(xué)習(xí)[167]和稀疏學(xué)習(xí)等理論的快速發(fā)展，將其與現(xiàn)有的模糊聚類相結(jié)合，以便改善現(xiàn)有的模糊聚類的準(zhǔn)確性、有效性、適應(yīng)性和魯棒性。當(dāng)前，已涌現(xiàn)出下列新的研究方向。

1)深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)與模糊聚類相結(jié)合形成各種深度模糊學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)[168-174]，改善了現(xiàn)有的模糊聚類對不同類型數(shù)據(jù)的適應(yīng)性。但是，如何提高其快速性和實時性是急需解決的關(guān)鍵問題。

2)遷移學(xué)習(xí)[175-176]、稀疏學(xué)習(xí)[177-181]、引導(dǎo)學(xué)習(xí)[182]與模糊聚類相結(jié)合取得巨大進(jìn)展，增強了現(xiàn)有的模糊聚類對噪聲污染或數(shù)據(jù)缺失情形的魯棒性。特別是，異源遷移學(xué)習(xí)模糊聚類如何有效解決負(fù)遷移問題是急需研究的重要問題之一。

3)自步學(xué)習(xí)[183-184]、強化學(xué)習(xí)[185-187]與模糊聚類相結(jié)合取得較大進(jìn)展，改善了現(xiàn)有的模糊聚類的聚類準(zhǔn)確度。特別是以數(shù)據(jù)驅(qū)動的自動化機器學(xué)習(xí)方法[188]與模糊聚類相結(jié)合，將給復(fù)雜場景圖像的有效分割帶來新的機遇。

4)超像素理論與模糊聚類相結(jié)合[189-193]，提升現(xiàn)有的模糊聚類對復(fù)雜圖像的有效分割能力。但是，超像素模糊聚類法分割噪聲干擾圖像存在精度低和速度慢等問題有待解決。

5)信息幾何與模糊聚類相結(jié)合[194-201]，增強了現(xiàn)有的模糊聚類對不同類型圖像分割的適應(yīng)能力。

總之，隨著新的機器學(xué)習(xí)理論不斷誕生，將其與模糊聚類理論相結(jié)合，對魯棒圖像分割理論的發(fā)展起到積極促進(jìn)作用。

目前，雖然魯棒模糊聚類圖像分割取得較大進(jìn)展，但是，該聚類分割法應(yīng)用時仍面臨如何優(yōu)選正則化約束參數(shù)，以及對于大幅面影像分割的時間復(fù)雜度過大等諸多問題。近年來，憶阻器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在大規(guī)模數(shù)據(jù)聚類[202-206]、模式分類與機器學(xué)習(xí)[207-208]和稀疏編碼表示[209-210]等應(yīng)用方面取得豐富成果，另外，在實時圖像分割鄰域[211-212]也取得較大進(jìn)展。因此，探索模糊聚類、圖形模糊聚類[213-218]與深度憶阻神經(jīng)形態(tài)計算相結(jié)合可能給大規(guī)模大幅面遙感等影像的有效實時解譯帶來新的思路。