雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)中的1/2次諧波共振及其對隔振特性的影響*

劉恩彩 方鑫 溫激鴻 郁殿龍

(國防科技大學, 裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室, 長沙410073)

(2019 年 7 月 15日收到; 2020 年 1 月 4日收到修改稿)

以典型的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)—屈曲梁結(jié)構(gòu)為例, 基于等效模型, 結(jié)合解析、數(shù)值和實驗手段, 研究了雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)中的1/2次諧波共振特性、演化過程、參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律及其對隔振特性的影響. 研究發(fā)現(xiàn), 當非線性剛度系數(shù)或激勵幅值增加到一定程度時, 系統(tǒng)會在一定帶寬下產(chǎn)生顯著的1/2次諧波共振; 隨著激勵幅值增加, 阻尼系統(tǒng)的1/2次諧波遵循“產(chǎn)生-增強-衰退-消失”的過程, 該過程對峰值頻率和峰值傳遞率有重要影響; 適當提高非線性強度能有效改善雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)隔振特性. 針對雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)開展的實驗驗證了1/2次諧波特性和隔振特性變化規(guī)律.

1 引言

非線性系統(tǒng)的獨特性質(zhì), 如跳躍、分叉、混沌等, 為新型功能結(jié)構(gòu)設計提供了新的思路與機理[1?5].雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng), 其具有兩個穩(wěn)定平衡狀態(tài)和一個不穩(wěn)定平衡狀態(tài), 穩(wěn)定平衡點之間的剛度為負值. 當能量輸入較大時, 系統(tǒng)產(chǎn)生在兩個穩(wěn)定平衡狀態(tài)之間的跳變躍遷運動, 導致強非線性現(xiàn)象[6]. 應用雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)設計的隔振系統(tǒng)具有高靜態(tài)、低動態(tài)剛度特征, 可在保證高承載性能的情況下實現(xiàn)低頻隔振[7], 是雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的重要應用場景; 雙穩(wěn)態(tài)振子也可以實現(xiàn)高效的能量捕獲和振動能量采集[8?13]. 雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)中存在次諧波共振, 次諧波能用于質(zhì)量檢測[14,15]和拓寬雙穩(wěn)態(tài)能量采集器的工作頻帶[16,17]. 目前, 國內(nèi)外學者對次諧波行為開展了一系列的研究工作[18?20], 然而, 雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)中1/2次諧波的產(chǎn)生機理、演化過程及其對隔振特性的影響尚待深入分析.

雙穩(wěn)態(tài)可利用磁鐵、栓鎖、鉸鏈、彈簧、屈曲梁等結(jié)構(gòu)產(chǎn)生[21], 其中, 屈曲梁結(jié)構(gòu)簡單、適應性強,是最具代表性的雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)[22?26], 大量學者對其隔振特性開展了分析. 研究表明, 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)[27]的突彈跳變[28]、混沌響應[29]、驅(qū)動力的位置[25]和量值[30]等都會影響其隔振特性. 然而, 其中的次諧波共振及其對隔振特性的影響的研究尚不完善,參數(shù)影響規(guī)律有待揭示.

本文以典型的雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)為對象, 基于解析、數(shù)值和實驗方法系統(tǒng)研究雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的1/2次諧波共振的產(chǎn)生機理、分岔過程、參數(shù)影響規(guī)律及其對隔振特性的影響. 研究結(jié)果為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的設計與應用提供有益參考.

2 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)動力學特性分析方法

本文研究的對象如圖1(a)所示, 主要部分為兩個并列的雙穩(wěn)態(tài)圓弧. 雙穩(wěn)態(tài)圓弧可保證實際實驗中加載配重后樣件的穩(wěn)定性. 該結(jié)構(gòu)可視作兩個非線性彈簧并聯(lián). 在結(jié)構(gòu)振動的過程中, 兩彈簧位移相同, 共同承受附加在結(jié)構(gòu)上的質(zhì)量. 所研究對象可簡化為圖1(b)所示的非線性彈簧振子模型,為兩組相同的彈簧振子結(jié)構(gòu)并聯(lián). 屈曲梁幾何參數(shù)為: 跨距l(xiāng)= 35 mm, 厚度t= 1 mm, 高度h=5.25 mm, 寬度b= 56 mm. 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)試樣使用3D打印的方法制備, 材料為TPU (熱塑性聚氨酯彈性體橡膠), 其材料參數(shù)通過壓縮實驗測得:密度r= 916.7 kg/m3, 彈性模量E= 17.9396 MPa,泊松比n= 0.385, 總配重M為 0.93 Kg.

圖1 (a) 雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁試樣; (b)彈簧振子模型Fig. 1. (a) Prototype of bistable buckling beam; (b) spring oscillator structure.

如圖1所示, 外力p作用在屈曲梁結(jié)構(gòu)中間位置, 該位置的位移為x. 每根屈曲梁都可等效為一個包含立方剛度非線性的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng), 但在理論解析和數(shù)值仿真分析過程中僅需取其中一個分析其動力學特性. 系統(tǒng)微分方程為

其中質(zhì)量m=M/2,c為阻尼系數(shù),k0為結(jié)構(gòu)負剛度,kn為立方剛度系數(shù),u為激勵位移, 則系統(tǒng)運動的絕對位移為x+u. 根據(jù) Jin 等[31]的研究, 屈曲梁所受外力與所發(fā)生位移的關(guān)系為

求解得到的參數(shù)值分別為kn= 0.28 N/mm3,k0=–7.5 N/mm. 在靜態(tài)時, 系統(tǒng)處于其中的一個穩(wěn)態(tài)平衡點. 當響應幅值非常微小時, 質(zhì)點僅在該平衡點附近運動, 響應特性近似為線性的. 該平衡點附近的線性剛度為

本文采用諧波平衡法求解該系統(tǒng)在給定激勵下響應的解析解. 因阻尼對系統(tǒng)動力學特性的定性規(guī)律影響較弱, 為簡化分析, 在解析分析中未考慮其影響. 實際試樣中存在阻尼, 后文通過實驗與仿真對比, 通過曲線擬合確定阻尼參數(shù)c= 30 kg/s.設系統(tǒng)的激勵為u=Ucos(wt), 其中U為激勵幅值,w= 2πf為激勵頻率. 由于雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)包含偏離0的響應項, 將系統(tǒng)的解設為x=A0+A1cos(wt).代入方程(1)得

令方程(5)的常數(shù)項和coswt項的系數(shù)為零, 得

給定U可通過方程組(6)求得A0,A1, 即可求得系統(tǒng)在激勵u下的相對位移x. 因此, 結(jié)構(gòu)的振動傳遞率為

圖2 Simulink 數(shù)值仿真模型Fig. 2. Numerical simulation model in Simulink.

本文采用MATLAB軟件的Simulink模塊對系統(tǒng)進行數(shù)值仿真分析. 針對系統(tǒng)的微分方程(1)建立系統(tǒng)的數(shù)值仿真模型, 如圖2所示. 系統(tǒng)的激勵u為正弦波,y=x+u為系統(tǒng)響應的絕對位移. 利用該模型, 可求解系統(tǒng)在給定激勵下響應的數(shù)值解.

3 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的次諧波共振特性及機理

3.1 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的1/2次諧波共振

給定U= 0.01 mm, 該系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果與解析結(jié)果對比如圖3所示. 實數(shù)解析結(jié)果具有3個分支, 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的非線性使傳遞率曲線彎向左側(cè), 與軟剛度非線性系統(tǒng)類似; 0—29 Hz 頻段,解析解有兩個根, 系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下的響應對應的一般為幅值較低的解. 仿真結(jié)果與解析解的分支1和分支2一致性較好, 然而仿真結(jié)果中傳遞率在58 Hz處出現(xiàn)奇異峰值, 此頻率恰好為系統(tǒng)主共振頻率f0的2倍, 因此可能產(chǎn)生了1/2次諧波共振現(xiàn)象. 但是根據(jù)(5)式得到的解析結(jié)果并沒有預測出該奇異峰值, 原因在于以上理論沒有考慮次諧波響應, 所以預測精度較低.

圖3 解析與數(shù)值分析結(jié)果對比Fig. 3. Comparison between analytical and numerical results.

為了更準確地分析雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的響應特性, 在解設定時考慮1/2次諧波成分, 將系統(tǒng)的周期解表示為x=A0+A12cos(wt/2) +A1cos(wt) 的形式, 其中A12cos(wt/2)為1/2次諧波成分. 代入方程(1)得

令方程(8)的常數(shù)項、cos(wt/2)項系數(shù)、cos(wt)項系數(shù)為 0, 得

給定U可通過方程組 (9)求得A0,A12,A1,即可求得系統(tǒng)在激勵位移u下的相對位移x. 因此,考慮1/2次諧波共振時系統(tǒng)傳遞率的表達式變?yōu)?/p>

此時, 基波與1/2次諧波的解相互耦合.

無阻尼情況下, 依然取U= 0.01 mm, 對比結(jié)果如圖4所示. 解析結(jié)果除了具有與圖3相似的3個分支外, 還具有另外一條向左彎曲的分支4,且該分支實際上是由兩條曲線構(gòu)成. 分支3與分支 4在時源于相同的分岔, 當時, 分支4的兩條曲線與分支2重合. 數(shù)值分析表明, 在0—57 Hz頻率范圍內(nèi), 真實響應對應于幅值較低的解, 與未考慮 1/2次諧波相同; 在 2f0= 58 Hz附近, 系統(tǒng)的響應發(fā)生突變對應的是分支2到分支4的跳變; 當激勵頻率遠離2f0時, 解再次從分支4跳變到分支2. 解析分析的主共振峰和1/2次諧波共振導致的奇異峰恰好與數(shù)值仿真結(jié)果十分符合. 系統(tǒng)在58 Hz正弦激勵下的響應頻譜如圖5所示, 可以看出, 系統(tǒng)頻域響應曲線除在 58 Hz處有尖峰外, 在主共振29 Hz處也有一個明顯的峰值, 甚至主共振的響應大于基波的響應. 這些分析都證明, 圖3中2f0的峰值是1/2次諧波共振引起的, 1/2次諧波共振導致高頻能量向低頻轉(zhuǎn)移(而不是低頻向高頻轉(zhuǎn)移), 無阻尼時導致主共振能量急劇增加從而使系統(tǒng)在2f0激勵下的總響應幅值傳遞率增加80 dB以上, 為系統(tǒng)隔振帶來不利影響.因此, 在實際使用雙穩(wěn)態(tài)隔振系統(tǒng)時, 需要設計恰當?shù)慕Y(jié)構(gòu)和參數(shù), 避免系統(tǒng)產(chǎn)生次諧波共振現(xiàn)象.當系統(tǒng)存在強阻尼時, 高頻向低頻轉(zhuǎn)移的能量能夠被有效耗散.

圖4 考慮 1/2次諧波時的解析-數(shù)值結(jié)果對比Fig. 4. Comparison between analytical and numerical results with considering 1/2 sub-harmonics.

圖5 次諧波共振發(fā)生時的頻譜Fig. 5. Spectra for sub-harmonic resonance.

3.2 幅值變化引起的分岔及次諧波產(chǎn)生過程

上文所分析的傳遞率為總幅值的傳遞率. 為更好地分析基波與1/2次諧波的耦合行為, 定義基波傳遞率為激勵頻率處的響應幅值與激勵幅值之比,即T1=A1/U; 定義 1/2次諧波傳遞率為 1/2激勵頻率處的響應幅值與激勵幅值之比, 即T12=A12/U.

利用(9)式求得幅值變化引起的傳遞率分岔見圖6(a), 圖6(a)中的基波傳遞率曲線1和1/2次諧波傳遞率曲線突出呈現(xiàn)在圖6(b)中, 圖6(a)和圖6(b)的Y軸分別為對數(shù)坐標和線性坐標. 圖中粉色虛線所代表的T1值對應的T12= 0, 因?qū)嶋H系統(tǒng)存在次諧波響應, 此虛線值可忽略. 基波傳遞率有兩條連續(xù)曲線(曲線1和曲線 2), 但是1/2次諧波的解僅有單個分支.U→ 0時, 曲線 1上的T1→ –50 dB, 但曲線 2上的T1起始于很大的值; 由于激勵幅值很小時系統(tǒng)呈線性規(guī)律, 因此曲線1代表了小幅值激勵下系統(tǒng)的真實解. 0

圖6 解析求解的幅值變化對次諧波共振的影響(a)對數(shù)坐標; (b) 線性坐標Fig. 6. Analytical results of the influence of amplitude on sub-harmonic resonance: (a) The Y coordinate of panel is logarithmic; (b) the Y coordinate of panel is linear.

圖7 (a)呈現(xiàn)了無阻尼情況下的數(shù)值仿真結(jié)果,可見基波傳遞率呈現(xiàn)的規(guī)律與分岔分析中圖6(b)(即圖6(a)中曲線 1)的規(guī)律恰好符合; 當U<0.3 mm時, 圖6(b)解析解與圖7(a)數(shù)值解呈現(xiàn)的T12變化規(guī)律一致; 但是當U> 0.3 mm 時,1/2次諧波共振的數(shù)值解出現(xiàn)波動, 單頻激勵下的響應頻譜為連續(xù)譜, 主要的能量并不是集中在單頻的1/2次諧波上, 而是集中在一個較寬的頻帶10—30 Hz內(nèi) (圖7(a)內(nèi)插圖), 因此系統(tǒng)的響應不再是周期或擬周期的, 這是典型的混沌響應特征.

圖7 幅值變化對次諧波共振影響的數(shù)值解(a)無阻尼結(jié)果; (b) 有阻尼結(jié)果Fig. 7. Numerical results of the impact of amplitude on subharmonic resonance: (a) Results without damping; (b) results with damping.

圖7 (b)呈現(xiàn)了阻尼系數(shù)c= 30 kg/s時的數(shù)值仿真結(jié)果. 可見當系統(tǒng)中出現(xiàn)阻尼時, 基波傳遞率在 0

4 參數(shù)變化對系統(tǒng)隔振特性的影響

為了研究參數(shù)變化對雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隔振特性的影響規(guī)律, 本節(jié)分別闡明: 1)激勵幅值U對頻率偏移量的影響; 2)固定立方剛度系數(shù)kn, 研究負剛度系數(shù)k0變化對非線性系統(tǒng)隔振特性的影響; 3)固定負剛度系數(shù)k0, 研究立方剛度系數(shù)kn變化對系統(tǒng)隔振特性的影響. 得到參數(shù)變化對系統(tǒng)1/2次諧波共振現(xiàn)象和隔振特性的影響規(guī)律, 以此作為系統(tǒng)動力學特性優(yōu)化的依據(jù).

在以下分析中, 解析分析不考慮阻尼的影響(c=0),在數(shù)值分析中,c= 30 kg/s, 分析系統(tǒng)參數(shù)變化的影響時, 激勵幅值為0.3 mm.

4.1 幅值變化對頻率偏移量的影響

共振頻率和共振峰峰值是雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)振動特性的兩個重要指標, 也是隔振應用中十分關(guān)注的兩個變量. 前文分析表明, 在分析主共振時解析計算中可以不考慮次諧波的影響, 不同幅值下的數(shù)值和解析結(jié)果分別如圖8中實線和點線所示. 在共振區(qū)域, 數(shù)值與解析結(jié)果趨勢一致: 隨激勵幅值增加,共振峰峰值降低, 共振點的位置向低頻移動, 峰值傳遞率下降. 數(shù)值仿真結(jié)果還表明, 在一定帶寬的激勵下 (圖中為 55—58 Hz), 均有1/2次諧波共振產(chǎn)生.

當考慮阻尼效應時, 上文所述共振頻率偏移量會顯著增加. 數(shù)值分析表明(圖9), 隨著激勵幅值增加, 其共振頻率從 28 Hz降低到 23 Hz, 頻率前移了17.8%, 峰值傳遞率也隨之下降. 但是激勵幅值增加到一定程度 (此系統(tǒng)為U> 1.05 mm之后), 系統(tǒng)的峰值頻率(不一定是主共振)急劇跳變增大, 峰值傳遞率也跳變升高. 由圖7(b)可知, 這一跳變點恰好對應于T12=T1, 峰值頻率和傳遞率升高的原因在于高幅值的1/2次諧波改變了系統(tǒng)的本質(zhì)特性.

圖8 無阻尼條件下幅值變化對隔振特性的影響Fig. 8. Influence of amplitude on vibration isolation characteristics without damping.

圖9 有阻尼條件下幅值變化對頻率偏移(a)和共振峰峰值(b)的影響Fig. 9. Influences of amplitude on frequency shifting (a) and the peaks of harmonic resonance (b) with damping.

4.2 負剛度系數(shù)k0變化對系統(tǒng)隔振特性的影響

固定立方剛度系數(shù)kn= 0.2 N/mm3, 通過改變雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的跨距l(xiāng)、厚度t、寬度b, 改變系統(tǒng)的負剛度參數(shù), 變化k0= –0.2—–80 N/mm,結(jié)果如圖10所示. 解析和數(shù)值仿真結(jié)果均表明,隨|k0|的增加, 系統(tǒng)共振點的位置向高頻移動, 系統(tǒng)共振峰升高. 共振頻率的變化規(guī)律與公式相近, 但值略大于

圖10 固定 kn = 0.2 N/mm3, 負剛度系數(shù) k0變化對系統(tǒng)隔振特性的影響(a)解析結(jié)果; (b)數(shù)值仿真結(jié)果Fig. 10. When kn = 0.2 N/mm3, influence of k0 on vibration isolation: (a) Analytical results; (b) numerical simulations.

4.3 立方剛度系數(shù)kn變化對系統(tǒng)隔振特性的影響

固定負剛度參數(shù)k0= –7.5 N/mm, 通過改變雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的高度h、跨距l(xiāng)、厚度t、寬度b,改變系統(tǒng)的立方剛度系數(shù), 變化kn= 0.01—4 N/mm3,結(jié)果如圖11所示. 解析和數(shù)值結(jié)果均表明, 隨著kn的增加, 系統(tǒng)共振峰值頻率略向低頻偏移, 共振峰峰值降低. 與參數(shù)k0理論分析結(jié)果相比, 參數(shù)kn變化引起的效果遠小于參數(shù)k0變化引起的效果.從圖11(b)還可以看出,kn的大小與1/2次諧波共振是否出現(xiàn)有關(guān), 當kn增大到一定值(此系統(tǒng)參數(shù)下約為 2.6 N/mm3)時, 系統(tǒng)出現(xiàn)次諧波共振. 且傳遞率被1/2次諧波共振增強的頻帶在kn=2.6 N/mm3達到 52—56 Hz, 進一步增加kn還會拓展該頻帶, 表明強非線性下產(chǎn)生1/2次諧波共振現(xiàn)象.

綜上可得, 激勵幅值影響系統(tǒng)的主共振頻率;負剛度系數(shù)k0的變化主要引起系統(tǒng)共振點位置和共振峰大小的變化; 立方剛度系數(shù)kn主要與系統(tǒng)次諧波共振的出現(xiàn)有關(guān).

圖11 固定 k0 = –7.5 N/mm, 立方剛度系數(shù) kn 變化對系統(tǒng)隔振特性的影響(a)解析結(jié)果; (b)數(shù)值仿真結(jié)果Fig. 11. When k0 = –7.5 N/mm, influence of kn on vibration isolation: (a) Analytical results; (b) numerical simulations.

5 實驗驗證

實驗裝置如圖12所示, 通過功率放大器利用電磁激振器在屈曲梁底部施加激勵, 利用激光掃描測振系統(tǒng)拾取結(jié)構(gòu)的激勵和響應, 利用電腦實現(xiàn)控制和數(shù)據(jù)采集等功能.

5.1 次諧波共振特性驗證

為研究并驗證該結(jié)構(gòu)的1/2次諧波共振現(xiàn)象,本文在實驗中施加頻率為55 Hz的正弦激勵并研究系統(tǒng)的響應特性, 結(jié)果如圖13所示. 圖13(a)表明, 系統(tǒng)頻域響應曲線除在 55 Hz處有尖峰外, 在接近27.5 Hz處也有一個明顯的峰值. 由此可知,本文設計的雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)確實可以產(chǎn)生顯著的1/2次諧波共振響應, 時域響應曲線每2倍周期響應幅值被加強. 此外, 本文實驗還表明, 1/2次諧波共振現(xiàn)象能在基波為40—60 Hz的寬帶范圍內(nèi)觀察到, 證明了1/2次諧波共振在較寬的帶寬下均可產(chǎn)生.

圖12 (a)實驗示意圖; (b)實驗裝置Fig. 12. (a) Experimental schematic diagram; (b) experimental setups.

圖13 頻率為 55 Hz的正弦激勵信號下系統(tǒng)的響應(a) 頻域響應; (b)時域響應Fig. 13. Response under sinusoidal excitation signal with frequency of 55 Hz: (a) Frequency domain; (b) time domain.

為從實驗中驗證激勵幅值對系統(tǒng)次諧波共振的影響規(guī)律, 本文以 40 Hz為例開展實驗研究, 結(jié)果如圖14和圖15所示.

圖14呈現(xiàn)了激勵幅值逐漸增加時基波和1/2次諧波的傳遞率. 隨激勵幅值的增加, 系統(tǒng)的基波傳遞率整體呈下降的趨勢, 1/2次諧波傳遞率在激勵幅值較小時為0, 在激勵幅值為1.251 mm時向上跳變, 然后逐漸降低直至消失. 這一規(guī)律與圖7呈現(xiàn)的特性完全一致, 證明了1/2次諧波共振的耦合特性以及次諧波的“產(chǎn)生-增強-衰退-消失”過程.

圖15呈現(xiàn)了跳變前后的響應特性. 在跳變發(fā)生前 (見圖15(a)激勵幅值U= 1.251 mm), 響應信號中僅包含基波成分. 但只需將激勵幅值進一步增加 (圖15(b)U= 1.351 mm), 響應頻譜 (圖15(c))除在 40 Hz處有峰值外, 在 20和 60 Hz處也有明顯的共振峰, 且 20 Hz的頻譜值更高, 1/2次諧波成分對系統(tǒng)響應的影響最大, 此時, 其時域波形產(chǎn)生2倍周期的顯著畸變, 如圖15(d)所示.

圖14 激勵幅值變化對 1/2次諧波共振的影響Fig. 14. Influence of excitation amplitude on the 1/2 subharmonic resonance.

5.2 隔振特性驗證

為驗證激勵幅值對雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)隔振特性的影響, 實驗中施加掃頻激勵信號得到結(jié)構(gòu)在不同激勵幅值下的隔振特性, 實驗與數(shù)值仿真結(jié)果對照如圖16所示, 實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果符合得較好. 實驗證明, 隨激勵幅值增加,雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁結(jié)構(gòu)的共振頻率向低頻移動且共振峰峰值降低. 因此, 適當提高非線性系統(tǒng)的激勵幅值, 能有效改善系統(tǒng)的隔振特性.

圖15 系統(tǒng) 40 Hz 處的次諧波共振現(xiàn)象(a) U = 1.251 mm 時的響應和激勵頻譜; (b), (c)U = 1.351 mm 時的響應和激勵頻譜;(d)U = 1.351 mm 時的時域波形Fig. 15. Sub-harmonic resonance phenomena at 40 Hz: (a) Response and excitation spectrum with U = 1.251 mm; (b), (c) response and excitation spectrum with U = 1.351 mm; (d) time-domain waveform with U = 1.351 mm.

圖16 實驗-數(shù)值仿真結(jié)果對比Fig. 16. Comparison between numerical and experimental results.

6 結(jié)論

本文利用諧波平衡、數(shù)值積分和實驗研究了典型雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)—屈曲梁結(jié)構(gòu)中的1/2次諧波共振、演化過程、參數(shù)調(diào)節(jié)規(guī)律及其對隔振的影響,得到如下結(jié)論.

非線性強度增加到一定程度時會使系統(tǒng)產(chǎn)生顯著的1/2次諧波共振, 使二倍固有頻率附近的幅值傳遞率增加, 降低隔振效果, 且1/2次諧波共振能在一定帶寬的激勵下產(chǎn)生. 激勵幅值較小時, 無次諧波共振現(xiàn)象; 激勵幅值增加到一定程度時次諧波共振傳遞率急速增加, 但繼續(xù)增加激勵幅值會使次諧波傳遞率降低. 在激勵幅值變化的過程中, 次諧波共振條件下基波和次諧波傳遞率產(chǎn)生分岔: 無阻尼時1/2次諧波的產(chǎn)生伴隨著基波傳遞率增強過程, 但1/2次諧波傳遞率達到峰值并不會引起基波傳遞率的突變; 有阻尼時, 隨著幅值增加, 1/2次諧波并不會在產(chǎn)生后一直存在, 而是遵循著“產(chǎn)生-增強-衰退-消失”的過程. 在這一過程中, 系統(tǒng)的峰值頻率和峰值傳遞率先降低, 但是1/2次諧波傳遞率大于基波傳遞率時就引起峰值頻率和峰值傳遞率的跳變增加.

負剛度參數(shù)k0對系統(tǒng)主共振特性影響較大,在給定激勵幅值下, 隨著|k0|的增大, 系統(tǒng)共振峰向高頻偏移且傳遞率升高; 非線性系數(shù)kn主要影響系統(tǒng)次諧波共振特性, 對系統(tǒng)共振峰的峰值和共振點頻率影響較小. 實驗驗證了理論分析結(jié)果.

非線性系統(tǒng)的次諧波共振會影響系統(tǒng)隔振區(qū)的隔振效果, 使系統(tǒng)在該頻段的隔振效果變差, 在實際使用中應避開次諧波共振傳遞率增強的幅值區(qū)間; 而當需要應用次諧波的幅值增強效應時, 需調(diào)節(jié)參數(shù)使系統(tǒng)運行在“增強”幅值區(qū)間. 本文研究所揭示的規(guī)律和特性為雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的設計和應用提供指導.

附錄A系統(tǒng)(1)的兩個重要參數(shù)

利用(2)式求解雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁機械結(jié)構(gòu)理論模型的參數(shù), 將其化為普通形式

將零點位置化到原點

取屈曲梁雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的幾何、材料參數(shù), 代入(A2)式得x3項系數(shù)

x項系數(shù)