解決無理式最值的幾種途徑

蔡 明

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

那么對于無理式求最值時，我們到底該怎么辦呢？由于無理式求最值的難點就是含有根式，所以我們要解決的方法首先應(yīng)從這個方面去考慮.常用兩條思路：一、考慮與無理式有關(guān)的知識，如不等式中的基本公式，兩點間的距離公式等；二、考慮將無理化有理的常見方法.平時還可以通過配方法、換元法、導(dǎo)數(shù)、數(shù)形結(jié)合法等多種方法來解決關(guān)于無理式求最值的問題.本文用一例來解析無理式求最值.

一、用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是解決最值問題的常見思路，因此利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性是無理式求最值的首要方法.

解由題知：x∈[0,1]，

二、用平方簡化無理式

困擾無理函數(shù)的問題是帶有兩個無理式，不能看成復(fù)合函數(shù)問題，因此把兩個無理式化成一個無理式，并尋求函數(shù)的求解方法，結(jié)合題目可先將式子平方，變成一個無理式問題.

三、基本不等式

四、構(gòu)造對偶式

構(gòu)造對偶式是平時解決問題的一種常見手段，尤其是對有些問題的處理還是行之有效的.

五、三角換元

結(jié)合題中式子的結(jié)構(gòu)與x的取值范圍，本題可采用三角換元，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)加以求解.

六、數(shù)形結(jié)合

作為函數(shù)問題，有時運用幾何意義可能會有意想不到的效果，當然我們需要根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征找到相應(yīng)的幾何意義，才能實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化.

七、向量數(shù)量積

結(jié)合題目構(gòu)造向量數(shù)量積，運用數(shù)量積的幾何意義實現(xiàn)最值，此類問題往往隱含著一種軌跡問題.

對于無理式求最值的題目我們所用的方法，像換元法、解析法、單調(diào)性，以及基本不等式等方法也是我們平時求其他最值問題的常用方法.關(guān)鍵在于我們?nèi)绾螌⑦@些常用方法靈活地運用于求無理式的最值之中，使我們所學(xué)知識發(fā)揮更大的作用.