數(shù)學核心素養(yǎng)導向下的高考復習—-2019年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學第19題閱卷有感

廣東省深圳市深圳科學高中

1 問題提出

筆者有幸參加了2019年高考廣東省數(shù)學文科19題的閱卷工作,筆者發(fā)現(xiàn)學生有眾多解法,也有很多出乎意料的錯誤,在閱卷之余,筆者思考:面對高三數(shù)學的復習,教師該如何“復習”? 由此,筆者對學生的答題情況進行了分析,并把學生所犯的錯誤進行了歸納,為教學工作提供借鑒與幫助.

2 試題賞析

題目(2019年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學第19題)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.

(1)證明:MN//平面C1DE;

(2)求點C到平面C1DE的距離.

圖1

本題考查了直線與平面平行以及點到面的距離問題,以常見的直四棱柱為模型,背景非常熟悉,而且設(shè)問方式常規(guī),與平時的模擬卷吻合,屬于意料之中的題型.命題者希望通過這種類型的問題來考查考生的幾何空間感以及邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).總的來看,該題彰顯學科特色,有效創(chuàng)新,注重核心素養(yǎng)的考查.不過,從閱卷的實際情況看,學生的作答情況并不理想.

3 考生答題情況

3.1 第(1)小題答題情況

試題的第(1)小問主要是檢測線面平行的判定定理知識,考查學生的幾何空間感以及邏輯推理能力,學生主要的解法都是通過線線平行的傳遞性得到MN//ED,具體的有以下兩種解法:

方法1連結(jié)B1C,ME.因為M,E分別為BB1,BC的中點,所以ME//B1C,且ME=B1C.由題設(shè)知A1B1//=DC,所以,四 邊 形A1B1CD為平行四邊形,可得B1C//=A1D,又因為N為A1D的中點,所以ND=A1D.故ME=//ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,所以MN//ED.又MN ??平面C1DE,所以MN//平面C1DE.

圖2

從學生答題情況看,學生選擇這種方法的人數(shù)較多,大部分學生都能想到利用四邊形MNDE為平行四邊形得到MN//ED,再利用線面平行的判定定理解決問題;學生出現(xiàn)的主要困難是不知道如何利用已知的中點添加相應的平行輔助線來證明ME//=ND,此處出現(xiàn)了比較典型的錯誤如下:

(1)由面面平行直接得到結(jié)論.如:“在直四棱錐中,因平面A1D1DA//平面B1C1CB,所以ME//=ND,因此四邊形MNDE為平行四邊形”,這種錯誤是典型的對面面平行的性質(zhì)定理使用的條件不熟悉所導致;

(2)跳步嚴重.例如:“因為E、M、N分別為BC、BB1、A1D的中點,所以ME//ND,又因為因此四邊形MNDE為平行四邊形”;再如:“連結(jié)B1C,ME,在直四棱柱中,平面A1D1DA// 平面B1C1CB,因為平面NDEM分別交兩個平面于ND和ME,所以ME//ND”.

這兩種“錯誤”可以認為是超出一般高中生知識水平的一種嚴重的跳步,學生并沒有借助平行的傳遞性求證線線平行,未證明N,D,E,M在同一個平面上,整個推理過程不嚴謹,這也說明很多考生分不清主要步驟和次要步驟,一些必不可少的步驟是不能省略的,導致該寫的得分點沒有寫上,得不到相應的分數(shù).

方法2取AD的中點F點,連接NF,FB.因為N,F分別為A1D,AD的中點,所以NF=//A1A,因為M為BB的中點,所以BM=B1B.由題設(shè)知AA1=//BB1,所以,NF//=BM,因此四邊形BFNM為平行四邊形,所以MN//=BF,又因為DF//=BE,所以四邊形DEBF為平行四邊形,所以BF//=DE,所以MN//ED,又MN ??平面C1DE,所以MN//平面C1DE.

從學生答題情況看,大部分學生在正確做出輔助線的情況下都能做正確,但是也出現(xiàn)部分同學有嚴重的步驟缺失,具體來看,學生想利用平行的傳遞性由MN//BF,BF//DE得到MN//DE,但是學生在得MN//BF時出現(xiàn)了跳步現(xiàn)象,如:“因為M,N,F分別為BB1,A1D,AD的中點,所以MN//BF”,學生并沒有借助平行的傳遞性求證線線平行來證明MNFB為平行四邊形,導致考生得不到相應的分數(shù).

圖3

3.2 第(2)小題答題情況

試題的第(2)小問主要是檢測點到面的距離,考察學生的直觀想象能力和數(shù)學運算能力,學生主要有兩種思路,解法一是通過等體積法求高,得到點到面的距離,解法二是先過C點作平面的高,再去求高從而得到點到面的距離,具體的解法如下:

方法1(等體積法)點C到平面C1DE的距離為h,根據(jù)題意有VC1-CDE=VC-C1DE,即VC1-CDE=h.在菱形ABCD中,E為BC中點,所以DE ⊥ BC,根據(jù)題意有所以因為C1C ⊥平面CDE,所以VC1-CDE=

圖4

由VC1-CDE=VC-C1DE得到解得點C到平面C1DE的距離為

等體積法是考生最喜歡用的一種方法,因為找不到線面垂直,就找不到垂足,所以等體積法就是解決點到面的距離最佳方法,從閱卷來看,采用等體積法的考生基本上都是正確的占但是也會有考生會出現(xiàn)一些“低級”錯誤,如考生計算棱錐的體積公式時缺失,典型的計算錯誤:這樣的錯誤會導致最后失去很多的分數(shù).

方法2(作高法)過C作C1E的垂線,垂足為H.即CH ⊥C1E.由已知可得C1C ⊥平面ABCD,DE ?平面ABCD,DE ⊥C1C,因為DE ⊥BC,BC ∩CC1=C,所以DE ⊥平面BCC1B1,因為CH ?平面BCC1B1,DE ⊥CH.又因為DE ∩C1E=E,從而CH ⊥平面C1DE,故CH的長即為C到平面C1DE的距離,由已知可得CE=1,C1C=4,所以由等面積法知,從而點C到平面C1DE的距離為

相對于等體積法,考生選擇使用這種方法的比較少,這種方法的難點在于尋找線面垂直,考生如果找到CH這條線,最終都得到能正確的計算結(jié)果;該題主要的失分點在于學生對于線面垂直的判定定理不熟悉,不能嚴謹?shù)耐谱C出直線CH垂直于平面C1DE;此外,有部分學生沒有能正確的尋找到經(jīng)過C點且垂直于平面C1DE的直線,有考生誤將CE看作點C到平面C1DE的距離.

筆者在閱卷過程中還發(fā)現(xiàn):邏輯思維比較清晰的考生,其試題解答中的推理過程寫得也很簡潔,關(guān)鍵步驟都寫在答卷上,易于分辨.反之,邏輯思維混亂的考生,其試題解答中的推理過程混亂,雖然寫得密密麻麻,但卻不知所云,答題不在點上,導致失分.甚至,有部分考生已經(jīng)答題了,而且很多關(guān)鍵點也列出了,但是又涂掉了,從而沒有得分,令人惋惜,也有極少數(shù)的學生選擇使用了向量的方法解決問題,由于使用這種方法的考生人數(shù)極少,本文不再贅述.

4 教學與備考建議

高考中的數(shù)學學科考試是以數(shù)學基礎(chǔ)知識為思維材料和操作對象,考查學生各方面已經(jīng)得到發(fā)展的數(shù)學核心素養(yǎng).在高考復習中,教師可以以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向進行高效復習.

4.1 回歸教材,夯實基礎(chǔ)數(shù)學基礎(chǔ)知識是數(shù)學核心素養(yǎng)的外顯表現(xiàn),是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體,基礎(chǔ)知識的考核是高考的主要內(nèi)容和核心知識,從歷年的高考真題來看,高考的試題源于教材而高于教材,如第19題只是在教材習題上稍作變形的比較常見的立體幾何問題,是考查了立體幾何中非?；A(chǔ)而核心的線面平行和點到面的距離問題,但是從考生的答題情況來看,學生對教材上的基礎(chǔ)知識掌握不牢,不能靈活運用.因此,平時在教與學的過程中,要回歸教材,重視基本知識的形成過程和發(fā)展過程的學習,重視定義的理解、公式變形使用、定理的推導,善于挖掘教材例題、習題的價值等; 此外,對于數(shù)學學習來說,做題是至關(guān)重要的,通過做題才能對知識點加深理解靈活運用,讓數(shù)學的記憶通向理解從而形成直覺,做題時快速的運算速度能夠保證高效思維,解題時的演繹推理能夠保證邏輯的準確,還可以通過變式練習來不斷提升演練水準.

4.2 注重數(shù)學思想方法的靈活運用通過對具體數(shù)學思想方法的應用能有效檢測數(shù)學核心素養(yǎng)的本質(zhì)屬性,在數(shù)學思想方法的靈活與綜合應用過程中,能夠檢測知識的遷移、組合、融合的程度,甄別考生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平和個體差異,實現(xiàn)高考的區(qū)分和選拔功能.因此,在高考復習中的解題教學不僅要突出目標意識,強化通性通法,淡化特殊技巧,掌握常用到的方法和基本的招式,學會基本的解題套路;更重要的是注意培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性的思維品質(zhì),增強交互性,充分調(diào)動學生的積極性,注重和展示解題方法的探源、調(diào)整、形成過程,教師沿著學生思維軌跡因勢利導,克服盲目性,提高自覺性,進行適度引申和變式練習,結(jié)合具體問題不失時機地突出數(shù)學思想方法,并逐步內(nèi)化為學生的能力.

4.3 建立核心素養(yǎng)的整體意識高中階段的數(shù)學核心素養(yǎng)包括六個要素,從歷年的高考真題來看,高考試題不是孤立的強調(diào)考查某一種素養(yǎng).如全國Ⅰ卷文科第19題,首先考查對立體圖形的讀圖、識圖能力,即直觀想象的素養(yǎng),隨后的證明過程考查邏輯推理的素養(yǎng),最后的計算過程考查數(shù)學運算的素養(yǎng).在考查邏輯思維時,要經(jīng)常與運算結(jié)合考查,通過具體的計算推導或證明問題的結(jié)論.同時在計算中要較多地糅合邏輯推理的成分,邊推理邊計算,考生解決問題的過程是綜合運用各種素養(yǎng)的過程.因此,高考復習中要注重建立核心素養(yǎng)的整體意識,這就要求教師理解概念,掌握數(shù)學的本質(zhì),認真研究大型考試試題、高考真題,分析試題時不要就題論題,要注意高考試題與教材中的例題、習題的聯(lián)系,并且要對高考試題進行適度引申和變式練習,選取能體現(xiàn)事物之間聯(lián)系、發(fā)展變化等觀點的素材,科學的創(chuàng)設(shè)問題情境,讓學生綜合所有的科學、技術(shù)、工程以及數(shù)學內(nèi)容,并在多種知識間建立聯(lián)系,解決問題.在試題和習題的選取過程中,要選取材料的呈現(xiàn)方式應該是多種多樣、不同復雜程度和結(jié)構(gòu)差異、綜合應用各種知識和方法的試題和習題.