怎樣的四面體能夠補(bǔ)成長(zhǎng)方體?—-談補(bǔ)形法求解四面體外接球問題

湖南省懷化市鐵路第一中學(xué)

近年來(lái)求多面體的外接球問題在高考試題、各地模擬試題中頻頻出現(xiàn),成為了熱點(diǎn)問題,其中四面體的外接球問題最具代表性.求四面體外接球問題的兩種常用方法一是截面法,即找球心求半徑;二是補(bǔ)形法,即將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體(四面體的所有頂點(diǎn)均為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)),也就是等價(jià)轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球問題.通過檢索大量的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn),寫四面體外接球問題的文章不少,而且必然會(huì)提到上述兩種常用解法.關(guān)于補(bǔ)形法,絕大多數(shù)文章都只是列舉幾種常用的可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體的四面體,普遍存在類型不全、歸類不準(zhǔn)確、重復(fù)等問題,而且沒有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.那么,到底什么樣的四面體能夠補(bǔ)成長(zhǎng)方體呢?

類型一“墻角”四面體(過某頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直)

圖1

結(jié)論1過某頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直的四面體能補(bǔ)成長(zhǎng)方體.

結(jié)論1 是顯然成立的.如圖1,四面體ABCD可以補(bǔ)成以AB、BC、BD為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體.

例1(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為()

解析如圖2,因?yàn)镃E ⊥EF,所以CE ⊥PB.作AC的中點(diǎn)G,連接PG、BG,由于PA=PC,ΔABC是正三角形,則AC ⊥PG,AC ⊥BG,從而AC ⊥平面PGB,所以AC ⊥PB.

圖2

又AC ∩CE=C且AC,CE ?平面PAC,所以PB ⊥平面PAC,則ΔPAB,ΔPAC為等腰直角三角形,得PA=PC=又AC=2,所以PA ⊥PC.從而,三棱錐P-ABC過點(diǎn)P的三條棱PA,PB,PC兩兩垂直,所以可以補(bǔ)成以PA,PB,PC為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體(實(shí)際上是正方體),則外接球半徑外接球的體積為

評(píng)注此題通過所給條件可以得到三棱錐P-ABC過點(diǎn)P的三條棱PA,PB,PC兩兩垂直,即三棱錐P-ABC是個(gè)“墻角”四面體.于是由結(jié)論1 可以將三棱錐補(bǔ)成正方體,轉(zhuǎn)化為正方體的外接球問題,正方體的體對(duì)角線即是其外接球的直徑,從而使得問題的求解變得極為簡(jiǎn)便.

類型二“鱉臑”四面體(四個(gè)面均為直角三角形)

《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.

圖3

結(jié)論2四個(gè)面均為直角三角形的四面體的能補(bǔ)成長(zhǎng)方體.

結(jié)論2 也是顯然成立的.如圖3,四面體ABCD可以補(bǔ)成以AB、BC、CD為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體.

例2(2008年高考浙江卷第14題)如圖4,已知球O點(diǎn)面上四點(diǎn)A,B,C,D,DA ⊥平面ABC,AB ⊥BC,DA=AB=BC=則球O的體積等于____.

圖4

解析 球O為四面體ABCD的外接球.因?yàn)镈A ⊥平面ABC,則ΔABD、ΔACD為直角三角形,且DA ⊥BC,又AB ⊥BC,得到BC ⊥平面ABD,從而BC ⊥BD,所以ΔABC、ΔBCD也是直角三角形,則四面體ABCD四個(gè)面均為直角三角形,即四面體為“鱉臑”四面體,所以能補(bǔ)成以AB、BC、AD為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體,其外接球的直接為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,則球O半徑為于是球O的體積為

評(píng)注通過研究四面體的線面關(guān)系,發(fā)現(xiàn)四面體的四個(gè)面均為直角三角形,即為“鱉臑”四面體,由結(jié)論2 知,該四面體能補(bǔ)成長(zhǎng)方體,于是不難求出其外接球的體積.

類型三 對(duì)棱相等的四面體

圖5

結(jié)論3對(duì)棱相等的四面體能補(bǔ)成長(zhǎng)方體.

證明設(shè)四面體ABCD三組對(duì)棱長(zhǎng)分別為x、y、z,要證四面體ABCD能補(bǔ)成長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體,則只要證方程組有解,變形得故只要證即只需證明四面體ABCD的四個(gè)面為銳角三角形.

因?yàn)樗拿骟wABCD的對(duì)棱相等,則四個(gè)面是四個(gè)全等三角形,令a、b、c的對(duì)角分別為α、β、γ則α+β+γ=180°.任取一頂點(diǎn),考慮由α、β、γ組成一個(gè)三面角,在三面角中,任意兩面角之和大于第三個(gè)面角,所以α < β+γ,則2α<α+β+γ=180°,所以α<90°,即α為銳角.同理可證明β、γ均為銳角.這就證明了四面體ABCD的四個(gè)面為銳角三角形,從而證明了對(duì)棱相等的四面體能夠補(bǔ)成長(zhǎng)方體.事實(shí)上,正四面體能補(bǔ)成正方體只是類型三的特殊情況.

例3(2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江預(yù)賽第10題)在四面體P-ABC中,已知?jiǎng)t四面體的外接球半徑是____.

解析不難發(fā)現(xiàn)四面體P-ABC的三對(duì)對(duì)棱相等,則可以將該四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體,假設(shè)補(bǔ)成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z,則于是長(zhǎng)方體的外接球半徑也即四面體P-ABC的外接球半徑.

評(píng)注此題的突破口在于發(fā)現(xiàn)四面體P-ABC的三對(duì)對(duì)棱相等,由結(jié)論3,將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體,利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線求四面體的外接球半徑.

類型四 有三個(gè)面為直角三角形且所有直角三角形的斜邊為一組對(duì)棱的四面體

圖6

結(jié)論4有三個(gè)面為直角三角形且所有直角三角形的斜邊為一組對(duì)棱的四面體能補(bǔ)成成方體,且其中最長(zhǎng)的棱(其中兩個(gè)直角三角形的公共斜邊)為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.

證明1如圖6,對(duì)棱AD、BC為直角三角形的斜邊,且AB ⊥AC,AB ⊥BD,AC ⊥CD.設(shè)AB=a,AC=b,BC=x,BD=y,CD=z,要證四面體ABCD能補(bǔ)成的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體,只要證方程組有解,變形為因?yàn)锳B ⊥AC,AB ⊥BD,AC ⊥CD,有a2+b2=x2,a2+y2=b2+z2,兩式相加得2a2=x2+z2-y2,兩式相減得2b2=x2+y2-z2.那么只要證2c2=y2+z2-x2,即只需證y2+z2-x2>0,只要證明∠BDC為銳角即可.

即∠BDC為銳角.這就證明了有三個(gè)面為直角三角形且所有直角三角形的斜邊為一組對(duì)棱的四面體能補(bǔ)成方體.不難看出,四面體的棱AD即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.

證明2如圖7,過點(diǎn)D作平面ABC的垂線DE,垂足為E,則DE ⊥AB,DE ⊥ AC.又因?yàn)锳B ⊥BD,AC ⊥CD,而BD,DE ?平面BDE,且BD ∩DE=D;CD,DE ?平面CDE,且CD ∩DE=D.所以AB ⊥平面BDE,AC ⊥平面CDE,則AB ⊥BE,AC ⊥CE.

圖7

所以四邊形ABEC為矩形,從而可以補(bǔ)成以AB、AC、DE為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體.此時(shí)AD即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.

從檢索到的文獻(xiàn)來(lái)看,幾乎都沒提及類型四的四面體,唯文[1]將這種類型的四面體表述為“有不共點(diǎn)的相互垂直的三條棱”,不準(zhǔn)確.文章也只粗略地給出了圖示,并沒給出這種類型的四面體能補(bǔ)成成方體的嚴(yán)格證明.

例4 如圖8所示,四面體ABCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD==CD=1,另一個(gè)側(cè)面ABC是正三角形,則四面體ABCD的外接球的側(cè)面積為.

圖8

解析因?yàn)锽C=AB=所以ΔBCD也是直角三角形,且斜邊為BC,從而四面體ABCD中有三個(gè)直角三角形ΔABD、ΔACD、ΔBCD,且所有的直角三角形的斜邊為四面體的一組對(duì)棱AD、BC,所以該四面體能夠補(bǔ)成長(zhǎng)方體,且棱AD為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.故四面體的外接球半徑為其外接球表面積為S=4πr2=3π.

評(píng)注通過分析四面體的棱長(zhǎng),發(fā)現(xiàn)了三個(gè)直角三角形且所有直角三角形的斜邊為一組對(duì)棱,由結(jié)論4 知該四面體能補(bǔ)成長(zhǎng)方體,于是問題由此得解.

另一方面,除了上述四種類型的四面體外還有其他的四面體能補(bǔ)成長(zhǎng)方體嗎? 為了解除這個(gè)疑問,可以換個(gè)角度來(lái)思考,看看從長(zhǎng)方體中可以取出哪些類型的四面體?

由對(duì)稱性,在長(zhǎng)方體中取四面體只有兩種情況:一是在一對(duì)對(duì)面上其中一個(gè)面上取三個(gè)頂點(diǎn),另一個(gè)面上取一個(gè)頂點(diǎn);二是在一對(duì)對(duì)面上各取兩個(gè)頂點(diǎn).

圖9

情況一:如圖9,在底面上取三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C,則ΔABC必為直角三角形,若在其對(duì)面上取頂點(diǎn)E,得到的四面體就是類型一;若在其對(duì)面上取頂點(diǎn)D或F,得到的四面體就是類型二;若其對(duì)面上取頂點(diǎn)G,得到的四面體就是類型四.

情況二:在一對(duì)對(duì)面上各取兩個(gè)頂點(diǎn),則各面上所取得兩頂點(diǎn)必在該面的對(duì)角上,否則與情況一重復(fù).如圖9,在底面上取兩頂點(diǎn)A、C,則在對(duì)面上只能取頂點(diǎn)E、G,此時(shí)得到的四面體就是類型三.

綜上所述,從長(zhǎng)方體中只能取出上述的四類四面體,所以以上四類四面體即為所有能夠補(bǔ)成長(zhǎng)方體的四面體.

總結(jié) 只有以上四種類型的四面體能夠補(bǔ)成長(zhǎng)方體.所以,在求解四面體外接球問題時(shí),如果符合以上四種類型,則可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體,利用長(zhǎng)方體體對(duì)角線求外接球半徑,會(huì)使得問題的求解更為簡(jiǎn)便;否則,只能通過其他方法求解.