一個(gè)三角形面積公式在解析幾何中的應(yīng)用

廣西省東興市東興中學(xué)

圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)必考的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),主要是考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義及其性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力,對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的要求比較高.所以學(xué)生需要掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧、運(yùn)算技巧,以便提高運(yùn)算速度.比如,多利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系整體代換,達(dá)到“設(shè)而不求,減少計(jì)算”;涉及到共線、垂直或夾角時(shí),利用向量解決;涉及中點(diǎn)與直線斜率問題,利用“點(diǎn)差法”等.

三角形面積問題又是圓錐曲線問題中重要的考點(diǎn)之一.處理三角形問題的一般步驟為:聯(lián)立方程,寫出根與系數(shù)的關(guān)系,然后根據(jù)題目要求使用弦長(zhǎng)公式或點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式(底乘高的一半)轉(zhuǎn)化成x1x2,x1+x2(或y1y2,y1+y2)的關(guān)系式,運(yùn)算求得結(jié)果.而本文另辟蹊徑給出了不同于傳統(tǒng)求法的方法.這里需要用到一個(gè)與向量有關(guān)的三角形面積公式.現(xiàn)在先給出該三角形面積公式的推導(dǎo).

定理在三角形ABC中,已知設(shè)S為三角形ABC的面積,證明:S=

證明

又因?yàn)?/p>

所以

應(yīng)用舉例

例1已知橢圓過點(diǎn)且它的焦距是短軸長(zhǎng)的倍.

(1)求橢圓C的方程.

(2)若A,B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB的斜率分別為k1,k2,問是否存在非零常數(shù)λ,使當(dāng)k1k2=λ時(shí),三角形OAB的面積S為定值? 若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析對(duì)于第(2)問,由于橢圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),所以可設(shè)A(2 cosα1,sinα1),B(2 cosα2,sinα2),然后根據(jù)面積公式可得,三角形OAB面積故只需根據(jù)條件k1k2=λ,判斷λ的值使得|sin(α2-α1)|為定值即可.

解(1)(略).(2)設(shè)存在非零常數(shù)λ,使當(dāng)k1k2=λ時(shí),三角形ABC的面積S為定值.因?yàn)闄E圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),所以可設(shè)A(2 cosα1,sinα1),B(2 cosα2,sinα2)則由k1k2=λ得

點(diǎn)評(píng)按照傳統(tǒng)的解法,本題的解法過程繁雜,需要大量的運(yùn)算以及多項(xiàng)式的化簡(jiǎn),同時(shí)還需要較高處理技巧.而新方法則過程簡(jiǎn)潔優(yōu)美,運(yùn)算量較少,沒有復(fù)雜的化簡(jiǎn)過程.可以說該三角形面積公式完美的解決這一定值問題.

接下來(lái)再給出幾個(gè)例子說明該三角形面積公式的實(shí)用性.

例2已知P為橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P的直線l與C交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M在第一象限,且若O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)三角形OMN的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析設(shè)點(diǎn)P(Xp,0),類似于例1,首先由橢圓C的參數(shù)方程假設(shè)點(diǎn)面積公式得然后根據(jù)已知條件得到與Xp的關(guān)系,最后轉(zhuǎn)化成Xp的函數(shù)求解.

解設(shè)點(diǎn)P(Xp,0),則-2≤Xp ≤2,因?yàn)闄E圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),所以可設(shè)點(diǎn)

以上兩式平方后相加,得10+6 cos(α2-α1)=又因?yàn)?/p>

所以由面積公式得

例3(2016年高考全國(guó)ⅠⅠ卷)已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k >0)的直線交E于點(diǎn)A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.求當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),三角形AMN的面積.

分析由橢圓C的參數(shù)方程假設(shè)點(diǎn)

解當(dāng)t=4時(shí),橢圓E的參數(shù)方程為

A(-2,0),設(shè)點(diǎn)

從而sinα1sinα2≤0.又因?yàn)閨AM|=|AN|,所以

整理得,(cosα1+cosα2+8)(cosα1-cosα2)= 0.因?yàn)閏osα1+cosα2+8?=0,所以cosα1=cosα2,從而sinα1=-sinα2.結(jié)果代入,得7 cos2α1+8 cosα1+1=0,解得從而由面積公式得,三角形AMN的面積

例4(2015年高考浙江卷)已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線對(duì)稱.O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)求三角形AOB的面積的最大值.

分析根據(jù)橢圓參數(shù)方程(α為參數(shù)),設(shè)從而由面積公式,得再由條件兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線對(duì)稱可得α1與α2的三角函數(shù)關(guān)系,結(jié)合該關(guān)系得到最大值.

解(1)略.

則因?yàn)锳,B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,又由已知易得m=0時(shí)不滿足條件.所以

由題意,可知sinα1-sinα2?=0,所以

由面積公式,得三角形AOB的面積

點(diǎn)評(píng)以上例題都是與橢圓有關(guān)的題型.它們的傳統(tǒng)解法都需要大量的運(yùn)算以及化簡(jiǎn),還有較高的處理技巧.而新方法確避免了這些情況.由此看出,該三角形面積公式在解決與橢圓有關(guān)的三角形面積問題時(shí)確實(shí)是可行的,并且比傳統(tǒng)方法的運(yùn)算量更小,過程步驟更固定.當(dāng)然,為了能直接體現(xiàn)點(diǎn)是在橢圓上的以及直接反映點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系,解法中都利用橢圓的參數(shù)方程假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo).事實(shí)上,除了能解決與橢圓有關(guān)的三角形面積問題,該公式也可以解決與拋物線、雙曲線有關(guān)的三角形面積問題的.

例5已知拋物線C:x2=2py(p >0)的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A(x,)在C上,且點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為.

(1)求C的方程.

(2)設(shè)直線l與C交于P,Q兩點(diǎn),若線段PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,求三角形OPQ的面積的最大值.

分析設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)由面積公式得

再由線段PQ的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1 討論得x1x2的范圍,從而轉(zhuǎn)化成函數(shù)f(x)=8x2-2x3,-4≤x ≤4的最值問題.

解(1)F(0),準(zhǔn)線方程為:y=因?yàn)辄c(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為所以

故曲線C的方程為:x2=4y.

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

且y1+y2=2,因?yàn)樗詮亩?4≤x1x2≤4.由面積公式,得

令f(x)= 8x2-2x3,-4≤x ≤4,則f′(x)= 2x(8-3x),所以f′(x)= 0的解為x=[0 或x ∈[-4,0)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以為f(x)的極大值,而所以

例6(人教版選修4-4)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過雙曲線上一點(diǎn)M作兩條漸近線的平行線,與兩漸近線的交點(diǎn)分別為A,B.探求平行四邊形OAMB的面積,由此可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?

解雙曲線的漸近線方程為:不妨設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則直線AM的方程為:

同理可得,點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以

由面積公式,得