探析一類不等式問題的命題思路*

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)

一 前言

導(dǎo)數(shù)壓軸試題的最后一步經(jīng)常涉及到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明.此類試題靈活多變,沒有固定的模式套路,學(xué)生往往不知從何下手,因此成為名副其實(shí)的難點(diǎn),使得眾多學(xué)生“望導(dǎo)興嘆”.事實(shí)上,對于此類試題,如果能夠透過試題表面挖掘試題深處隱含的命題規(guī)律,就能洞悉命題思路,領(lǐng)會命題意圖,實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)的突破和解題的高效,提高數(shù)學(xué)思維能力.

二 命題思路

此類與正整數(shù)n有關(guān)的導(dǎo)數(shù)壓軸不等式證明試題,命題者在命制試題時(shí),一般首先從某個(gè)不等式出發(fā),對不等式中的x取特殊值,得到n個(gè)不等式,然后累加或者累乘,得到一個(gè)新的不等式,再對該不等式進(jìn)行變形,構(gòu)造,從而命制出試題.常見的不等式模型有以下幾種.

模型(1)ex ≥x+1

命題思路由不等式ex ≥x+1 可知,當(dāng)x >0時(shí),x+1

對x+1分別取得

累加得

整理得

故有1n+1+2n+1+···+nn+1<(n+1)n+1.

命題分析由不等式x+1< ex出發(fā),兩邊同時(shí)取n+1 次方,得到(x+1)n+1<(ex)n+1.然后對x+1分別取得到n個(gè)不等式,最后累加,再經(jīng)過簡單的放縮,即可得到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式

命題1已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1,

(1)若f(x)在R 上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

(2)當(dāng)a >0時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證g(a)≤0.

(3)求證:對任意正整數(shù)n,都有1n+1+2n+1+3n+1+

模型(2)ln(x+1)≤x

命題思路當(dāng)x >0時(shí),用代替x,得ln即則有nln(n+1)-nlnn<1.兩邊同時(shí)加上ln(n+1),得(n+1)ln(n+1)-nlnn<1+ln(n+1).所以

累加得(n+1)ln(n+1)<(1+ln 2)+(1+ln 3)+···+(1+ln(n+1)),即nln(n+1)

命題分析由不等式ln(x+1)≤x出發(fā),用代替x得到nln(n+1)-nlnn <1,兩邊同時(shí)加上ln(n+1),得到(n+1)ln(n+1)-nlnn <1+ln(n+1).對n取特殊值1,2,...,n,得到n個(gè)不等式,最后累加,再兩邊同時(shí)消去ln(n+1),經(jīng)過簡單的變形,即可得到與正整數(shù)有關(guān)的不等式

命題2已知函數(shù)f(x)=ax-1-lnx,

(1)若f(x)≥0 對任意的x ∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)求證:對任意的n ∈N?,有

模型(3)

命題思路當(dāng)x >0時(shí),用代替x,得即所以1<2 ln 2,累加得

命題分析由不等式出發(fā),用代替x得到對n取特殊值1,2,...,n,得到n個(gè)不等式,最后累加即可得到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式

命題3已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+(x-1)2,

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)對任意n ∈N?有

模型(4)ln(x+1)>x2-x3,x>0.

命題思路當(dāng)x >0時(shí),用代替x,得即

命題分析由不等式ln(x+1)> x2-x3(x >0)出發(fā),用代替x,得

命題4已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+bln(x+1),b ?=0.

(1)若a=0,b=12,求f(x)在[1,3]上的最大值.

(2)若a=-,f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

(3)是否存在最小的正整數(shù)N,使得當(dāng)n ≥N時(shí),

模型(5)

命題思路當(dāng)x>0時(shí),在不等式的兩邊同時(shí)除以x+1,得即所以

累乘,得

故ln((n+2)Tn)<2 ln(n+2)-(n+1)ln 2-ln(n+1).

命題分析由不等式出發(fā),兩邊同時(shí)除以x+1 得到對x取特殊值1,2,...,n,得到n個(gè)不等式,最后累乘,得到最后兩邊同時(shí)乘以n+2,再取對數(shù),即可得到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式ln((n+2)Tn)<2 ln(n+2)-(n+1)ln 2-ln(n+1).

命題5已知函數(shù)f(x)=a(x+1)ln(x+1)-x2-ax(a>0)是減函數(shù).

(1)試確定a的值.

模型(6)

命題思路當(dāng)x ≥1時(shí),不等式成立.對x分別取1,2,···,n,得累加得

另一方面,當(dāng)x >1時(shí),lnx令得所以累加得

即

由(1),(2)可得ln((n+1)!·n!)

命題分析首先,由不等式出發(fā),對x分別取1,2,···,n,得到n個(gè)不等式,累加,然后兩邊同時(shí)加上ln(n+1),(再經(jīng)過簡)單的變形,得到(1)式.其次,再由不等式出發(fā),用代替x,得到不等式對k分別取1,2,···,n,累加后再經(jīng)過變形得到(2)式.最后綜合兩式得到

命題6已知函數(shù)f(x)=x+lnx,g(x)=ax2-2(a-1)x+a-1.

(1)求證:曲線y=f(x)與y=g(x)在(1,1)處的切線重合.

(2)若f(x)≤g(x)對任意x ∈[1,+∞)恒成立,(Ⅰ)求a的取值范圍.(ⅠⅠ)求證:

通過上述分析不難發(fā)現(xiàn),此類導(dǎo)數(shù)壓軸試題雖然表面復(fù)雜,看似無從入手,但是如果我們透過試題表面,逆向分析命題者命制試題的思路,就不難體會到此類試題的命制來源.在平時(shí)的教學(xué)中,教師一定要透過試題探析背后的命題思路,才能讓學(xué)生深刻體會試題的來龍去脈,真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想真諦,才能促進(jìn)深度學(xué)習(xí),舉一反三,觸類旁通.

三 配套練習(xí)

例題1(2013年高考全國大綱卷)已知:f(x)=

(1)當(dāng)x ≥0時(shí),f(x)≤0,求λ的最小值.

(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)求證:

解析(1)略.(2)由第(1)步可知f(0)= 0,λ的最小值為.當(dāng)時(shí),f(x)<0,即ln(1+x)<由已知有

又x >0時(shí),令得得證.

例題2(2010年高考湖北卷)已知c,a>0,的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x-1.

(1)用a表示出b,c.

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

解析(1-2)略.(3)由(2)可得用n代替x得即轉(zhuǎn)化成對n分別取1,2,···,n,得到n個(gè)不等式,累加,得

例題3已知函數(shù)f(x)=ax2-2xlnx-1.

(1)若x=時(shí),f(x)取極值,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析(1)略.(2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2-2xlnx-1.

易證當(dāng)x >1時(shí),f(x)>0.則當(dāng)x >1時(shí),有

上式中對n分別取1,2,···,n,得到n個(gè)不等式,累加,得

例題4已知函數(shù)f(x)=ax-2 lnx+2(1-a)+

(1)若f(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

解析(1)略.(2)由(1)可知當(dāng)a=1時(shí),f(x)=即當(dāng)x >1時(shí),有以下解法同練習(xí)3.