一類數(shù)列求和問題方法探究

廣東省廣州外國語學校

數(shù)列求和是數(shù)列考查的熱點問題,而周期數(shù)列求和是數(shù)列求和中較常見的一類問題,根據(jù)周期性求數(shù)列和一般都比較容易.對于一些與周期數(shù)列結合的非周期數(shù)列求和問題又如何解決? 我們不妨稱其為“類周期數(shù)列求和”問題.本文通過與周期數(shù)列求和類比,介紹“類周期數(shù)列求和”的方法技巧,希望對大家有所幫助.

一 周期數(shù)列的概念及求和方法

首先我們通過具體的例子介紹周期數(shù)列的一般求和方法.我們定義:對于數(shù)列{an},如果存在一個正整數(shù)T,使得對任意的正整數(shù)n ≥n0恒有an+T=an成立,則稱數(shù)列{an}是從第n0項起的周期數(shù)列,且周期為T,T的最小值為最小正周期,簡稱周期.周期數(shù)列求和是數(shù)列問題中常見的一類問題,如何求周期數(shù)列{an}的前n項和Sn?

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=2,求其前30 項和S30.

解因為an+1=所以an+2所以,數(shù)列{an} 是以3 為周期的周期數(shù)列.因為a1=2,所以

an=其中k ∈N?.

下面求前30 項的和S30.

方法一(并項求和)

數(shù)列每一個周期的和為a3k-2+a3k-1+a3k=前30 項和共包含10 個周期,所以

方法二(分組求和)

所以S30=T1+T2+T3=15.

評注周期數(shù)列的求和一般可以從并項求和或分組求和兩種思路出發(fā).并項求和步驟是先每個周期進行求和,將求和問題轉化為多個周期和的問題,然后再進行整體求和;分組求和就是先將相等的項組合在一起求和然后整體求和.

二 類周期數(shù)列求和

類型一 通項公式為an=(-1)n ·bn類型求和,其中{bn}是一般數(shù)列

例2已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n·(2n-1),求數(shù)列{an}的前n項和.

分析顯然數(shù)列cn=(-1)n是以2 為周期的數(shù)列,稱數(shù)列為類周期數(shù)列{an}.

解法一 (并項求和)先將同一周期的兩項求和得:a1+a2=2,a3+a4=2,···,a2k-1+a2k=(-1)2k-1(2(2k-1)-1)+(-1)2k(4k-1)=-(4k-3)+4k-1=2,所以

當n=2m,則S2m=2m;

當n=2m-1,則S2m-1=S2m-a2m=2m-4m+1=-2m+1.所以

解法二(分組求和)

當n=2m-1時,S2m-1=S2m-a2m=-2m+1.所以

評注對于an=(-1)n ·bn的類周期數(shù)列求和可從兩種角度出發(fā):

(1)并項求和:將一個周期的項數(shù)相加,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律;

(2)分組求和:若周期為T的數(shù)列的前Tn項的和,可每隔T項取出項數(shù)求和,即先求1,2,···,T),則

變式1(2016年高考天津卷文科第18題)已知{an}是等比數(shù)列,前n項和為Sn(n ∈N?),且63.

(1)求{an}的通項公式;

(2)若對任意的n ∈N?,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列的前2n項和T2n.

思路(1)根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式易得an=2n-1,過程略;

(2)首先

(-1)滿足類型一問題,所以可以并項求和.

所以

評注對于通項公式為an=(-1)n ·bn的數(shù)列,數(shù)列cn=(-1)n顯然是以2 為周期的數(shù)列,所以可稱{an}為“類周期數(shù)列”.因其有一定的周期性,所以可類比周期數(shù)列的求和方法進行求和并項或分組求和,一般情況優(yōu)先選擇并項求和.

類型二 通項公式為an=bn·f(n)類型求和,其中{bn}以T為周期的周期數(shù)列

例3(2012年高考福建卷理科第11題)數(shù)列{an}的通項公式an=n·cos,其前n項和為Sn,則S2012等于().

A.1006 B.2012 C.503 D.0

分析顯然數(shù)列是以4 為周期的數(shù)列,同樣稱數(shù)列{an}為類周期數(shù)列,所以可以進行并項求和或分組求和.

解法一 易知a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=2,所以

解法二設所以S2012=S1+S2+S3+S4=2·503=1006.

變式2數(shù)列{an}的通項其前n項和為Sn,則S30=____.

分析先化簡通項公式發(fā)現(xiàn){an}是以3 為周期的類周期數(shù)列,可以并項求和或分組求和.

解因為且是以3 為周期的數(shù)列,所以數(shù)列{an}為類周期數(shù)列(.)

方法一因為所以S30=

方法二

所以S30=S1+S2+S3=470.

變式3(2016年江西贛中南五校聯(lián)考理科第15題)數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n(2n+1)sin+1,前n項和為Sn,則S100=____.

分析數(shù)列bn=(-1)n(2n+1)sin是類型一、二的結合體,可以先分組消去(-1)n的影響,然后再并項求和.因為

設

所以S100=T1+T2+100=200.

評注例2 中的cos變式2 中的cos都是周期數(shù)列,所以對于形如an=bn ·cos(ωn)或an=bn ·sin(ωn)的數(shù)列求和,可以先求出cos(ωn)或sin(ωn)的周期,然后再并項求和或分組求和;變式3 是采取降維的思想,先分組求和消除其中一種周期的影響,再并項轉化為常見數(shù)列的求和問題.

類型三 通項公式滿足an+T-an=f(n)類型,其中T ∈N?

例4(2015年湖北4月模擬文科第14題)已知Sn是數(shù)列{an}的前n和,a1=1,a2=2,a3=3,數(shù)列{an+an+1+an+2}是公差為2的等差數(shù)列,則S25=____.

分析令bn=an+an+1+an+2,所以bn+1-bn=an+3-an=2,所以數(shù)列{a3k-2}、{a3k-1}、{a3k}是公差為2的等差數(shù)列,所以分組求和即可.

所以S25=T1+T2+T3=81+72+80=233.

又因為是“類周期數(shù)列”,所以也可以并項求和:

a3n-2=1+2×(n-1)=2n-1,

a3n-1=2+2×(n-1)=2n,

a3n=3+2×(n-1)=2n+1,

所以a3n-2+a3n-1+a3n=6n.所以S25=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+···+(a22+a23+a24)+a25=6×

例5(2012 高考課標卷文科第12題)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60 項和為()

A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

分析因為數(shù)列bn=(-1)n是以2為周期的周期數(shù)列,但不滿足an+2-an=f(n)的形式,所以直接并項不能解決問題,但可以先按奇、偶項分成兩組,然后再求和.

解法一當n=2k時,

當n=2k-1時,

(1)+(2)得a2k+1+a2k-1=2,所以a2k+1+a2k+3=2,所以a2k-1=a2k+3,所以a1=a5=···=a61,所以-a1+a2+a3+···+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+···+(a60+a61)= 3+7+11+···+(2×60-1)=

解法二當n=2k-1時,

當n=2k時,

當n=2k+1時,

(4)-(3)得a2k+1+a2k-1=2,(4)+(5)得a2k+a2k+2=8k,設T1=(a1+a3)+(a5+a7)+···+(a57+a59)=2×15=30;

所以S60=T1+T2=30+1800=1830.

三 總結提升

類比周期函數(shù)an+T-an=0,當數(shù)列遞推公式經(jīng)過運算滿足an+T-an=f(n)形式時,我們都可以稱數(shù)列{an}為“類周期數(shù)列”.通過以上的例子說明類周期數(shù)列求和的一般策略是將其轉化為一個新數(shù)列{bn}的求和問題來處理,其方法是將連續(xù)的一個周期內(nèi)的項進行并項求和構造易于求和的新數(shù)列{bn},或先按周期T將Sn分成T組S1,S2,···,ST,先求出Si,再整體求和.

數(shù)列求和是高考中的難點也是熱點,(類)周期數(shù)列這個概念盡管在目前的高中教材中沒有定義過,但與(類)周期數(shù)列有關的問題卻在高考和模擬試題中屢見不鮮.在平時的學習、教學中,要善于類比、總結,記住一些常見問題的解題方法和步驟,靈活運用方法技巧,可以起到觸類旁通、化繁為簡的效果,在復習備考中值得我們重視和研究.