一般與特殊:極值點(diǎn)偏移難題的解法探究

廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)

極值點(diǎn)偏移問題是近年來高考題與模擬題中的熱點(diǎn)問題,研究這類問題的文章汗牛充棟[1-2],但是本文擬就一些難題談一談本人的一些心得體會(huì).通常來說我們有三種處理方法:構(gòu)造函數(shù)法,換元法與對(duì)數(shù)均值不等式法.下面,以一道常見的題為例.

題目已知函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2,求證:x1x2>e2.

(1)構(gòu)造函數(shù)法因?yàn)橛^察到的極值點(diǎn)剛好為e,構(gòu)造利用h(e)=0,再考慮h(x)的導(dǎo)數(shù)從而證明結(jié)論.

(2)換元法令x2=tx1(t>1),代入得故實(shí)現(xiàn)了二元變一元.

(3)對(duì)數(shù)均值不等式法利用常用的對(duì)數(shù)均值不等式[3]:其中x1,x2為不相等的正數(shù).本題中,lnx1=ax1,lnx2=ax2,

但是,實(shí)際在解題過程中,相信廣大師生會(huì)發(fā)現(xiàn)有三種主要的困難:

(1)有些題目所要證的并非x1+x2,x1x2大于或小于某個(gè)定值的結(jié)論,即不是一個(gè)常規(guī)的極值點(diǎn)偏移問題,使得我們產(chǎn)生這道題應(yīng)不應(yīng)該用極值點(diǎn)偏移的方法來做的困惑.

(2)有些題目里面含參變量有三個(gè):x1,x2,a,難以化成一元的函數(shù)或不等式來證明.

(3)有些題目并不是這三種方法都可行,可能只有一兩種方法是可行的,有時(shí)甚至要運(yùn)用一些其他的方法.

下面我們分別以一些例子來說明.

例1設(shè)F(x)= 2 lnx-x2-kx有兩個(gè)零點(diǎn)m,n(0< m < n),且m+n=2x0,問函數(shù)F(x)在x0點(diǎn)處的切線能否平行于x軸?

證明(代數(shù)變形+對(duì)數(shù)均值不等式法)

由題意得兩式相減得

評(píng)注本題若用構(gòu)造函數(shù)法和換元法,一般來說是無效的,因?yàn)檫@是一個(gè)開放性的問題,它不屬于常規(guī)的極值點(diǎn)偏移問題.

例2F(x)=x-lnx-a有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2.求證:

嘗試1 (構(gòu)造函數(shù)法)因?yàn)楸绢}中的極值點(diǎn)為x=1,F(1)=1-a.

由題意知a >1,x1<1< x2,所以x1+x2> a+1?x2>a+1-x1?F(x2)>F(a+1-x1).

構(gòu)造函數(shù)g(x)=F(x)-F(1+a-x),則只需證g(x)>0,x ∈(1,+∞),

所以g(x)≥g(1)<0! 并不能證明我們心目中所想的不等號(hào)方向,證明失敗了!

嘗試2 (代數(shù)變形+對(duì)數(shù)均值不等式法)

兩式相減得x1-x2=lnx1-lnx2,由對(duì)數(shù)均值不等式知

嘗試3 (換元法)

由于x1-lnx1=x2-lnx2=a,原不等式?x1+x2>x1-lnx1+1?x2+lnx1>1.

進(jìn)行換元法,令x2=tx1,(t >1)代入得x1-lnx1=tx1-ln(tx1),所以所以原不等式等價(jià)于

評(píng)注本題中F(x)的極值點(diǎn)并不是是兩個(gè)零點(diǎn),所以嚴(yán)格的來說,這并不是一道極值點(diǎn)偏移問題,而可以稱為零點(diǎn)偏移問題.我們歷經(jīng)了兩種失敗的方法,才終于找到一種可行的方法—-換元法,而且計(jì)算量也比較大,涉及到了對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),比通常的換元法困難很多.

例3已知函數(shù)f(x)=a--lnx(a ∈R),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1

證明(1)先證x1+x2>2,由題意得,所以

(2)再證x1+x2<3ea-1-1.因?yàn)閒(x)=0?h(x)=ax-1-xlnx=0,故x1,x2也是h(x)的兩個(gè)零點(diǎn),由h′(x)=a-1-lnx=0 得x=ea-1(記ea-1為p),易知p是h(x)的唯一最大值點(diǎn),故有h(p)>0,x1

故h(x)單增.當(dāng)x>p時(shí),t(x)>t(p)=0,當(dāng)0

即(x2+x1)(x2-x1)<(3ea-1-1)(x2-x1),于是x1+x2<3ea-1-1.

綜上所述,2

評(píng)析1 本題中的左端不等式易證,常規(guī)的三種方法都可以做出.

2 本題中不等式的右端比較難證,而關(guān)鍵之處又是難以想到題目中所給出輔助函數(shù)而實(shí)際上,當(dāng)我們把對(duì)數(shù)均值不等式中的x1變?yōu)閤,x2變?yōu)閜,不難得到這正是我們所構(gòu)造的函數(shù)! 歸根結(jié)底,這道題的本質(zhì)還是利用對(duì)數(shù)均值不等式對(duì)lnx進(jìn)行放縮,從而得到了右端這個(gè)看起來令人望而生畏的不等式.

結(jié)語以上三道例題分別對(duì)應(yīng)了我們常見的三種困難,從上述分析可知,如果要攻破極值點(diǎn)偏移問題中的難題,尤其是含參的問題,不僅需要我們掌握三種常規(guī)的方法,還需要慧眼識(shí)珠,認(rèn)清題目屬不屬于我們處理過的種類,如果屬于極值點(diǎn)偏移問題,我們應(yīng)該采取哪種策略比較可行,更需要靈活變通,在一種方法行不通的情況,能夠嘗試使用其他的方法.

最后,我們提供幾道練習(xí),供各位讀者使用.

練習(xí)

1.(2019 屆武漢市四月調(diào)研測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=(a為常數(shù)),在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)求證:x1+x2<2(1+lna).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)=b存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:

3.已知函數(shù)f(x)=x2+ln(x+a).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,求證: 無論實(shí)數(shù)a為何值都有