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    類比探索求新知 自主歸納促提升

    2020-03-27 11:28:50陳國琴
    青年生活 2020年5期
    關(guān)鍵詞:類比思想

    陳國琴

    摘要:初中數(shù)學(xué)的類比思想方法是課堂教學(xué)過程中教師引導(dǎo)學(xué)生探究新知常用的思相方法,是幫助學(xué)生聯(lián)系新舊知識、解決問題、完善知識建構(gòu)的重要方法,也是開發(fā)學(xué)生思維、提高學(xué)生思考能力的重要形式。本文以《一元一次不等式(1)》為例,通過類比思想方法探究新知,以促進(jìn)學(xué)生自主歸納來體現(xiàn)類比思想的重要性。

    關(guān)鍵詞:一元一次不等式;類比思想;自主歸納

    J.S.布魯納認(rèn)為,掌握基本數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶,領(lǐng)會基本的數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。[2]類比思想是數(shù)學(xué)中一種解決問題的重要思想方法,能培養(yǎng)學(xué)生的自主歸納能力,能幫助學(xué)生從“學(xué)會”變成“會學(xué)”,是落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重要方法。那么如何在課堂教學(xué)中更多的利用類比思想來提升學(xué)生能力呢?筆者以浙教版八年級《3.3 一元一次不等式(1)》第一課時為例,談?wù)剶?shù)學(xué)類比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略。

    一、教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)解讀

    (一)內(nèi)容解讀

    浙教版數(shù)學(xué)八上內(nèi)容有不等式的概念與不等式的基本性質(zhì),一元一次不等式與一元一次不等式組,和列一元一次不等式解應(yīng)用題。本章內(nèi)容作為初中階段數(shù)與代數(shù)中不等式的開始,是后續(xù)更深入學(xué)習(xí)不等式的證明和解法的重要著力點。眾所周知,現(xiàn)實世界里不但有數(shù)不清的等量關(guān)系,而且有著各式各樣的不等關(guān)系。不等式是用來表示不等關(guān)系的方法,與方程相同,不等式也是一種描述客觀世界必不可少的數(shù)學(xué)模型,它在生活和生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用。本章內(nèi)容之間的相互聯(lián)系可以用如下結(jié)構(gòu)框圖表示:

    如上面的結(jié)構(gòu)框圖所示,本章第三課“一元一次不等式”在整個單元里是承上啟下的樞紐。學(xué)生雖然會利用不等式來描述客觀世界中不等數(shù)量關(guān)系以及知曉不等式的性質(zhì),但學(xué)生不免會產(chǎn)生這樣的疑問“為什么要學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)?”不過第三課時的內(nèi)容恰好回答了學(xué)生的疑問,而且也讓學(xué)生明白解一元一次不等式的依據(jù)恰恰就是不等式的性質(zhì),由此促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)內(nèi)涵與素養(yǎng),繼而提高課堂效率。

    (二)目標(biāo)解讀

    “3.3 一元一次不等式” ,可以這樣解讀:

    2、這樣的數(shù)還有嗎?繼續(xù)列舉,如何表示這些數(shù)?

    模仿、類比解答 解有關(guān)一元一次不等式 簡單的一元一次不等式

    在數(shù)軸上表示不等式的解 掌握

    根據(jù)課標(biāo),本節(jié)課的學(xué)習(xí)重心如下:即學(xué)生能夠?qū)⑺o的各個不等式和一元一次方程作比較,用自己的語言得出一元一次不等式的特征:①兩邊都是整式;②只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是一次,從而得出一元一次不等式的概念并且理解“元”和“次”的含義;再以3x>30為例,列舉能使不等式成立的未知數(shù)的值,并嘗試用前面所學(xué)的不等式或數(shù)軸來表示這些未知數(shù)的值。這是本課的教學(xué)重點,也是難點。為什么是難點?因為不等式的解與方程的解有著較大的不同。在浙教版的教材中,不等式的解的定義是能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體,是不等式解集的簡稱,因此不等式的解實際上就是滿足不等式的所有數(shù)值的集合,這種形式的數(shù)學(xué)概念對學(xué)生來講是好懂卻十分抽象的。因此,除了類比遷移,還需通過判定、列舉、表達(dá),幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念的本質(zhì);最后通過模仿一元一次方程的解法,類比得到一元一次不等式的解法,而且促使學(xué)生體會到解一元一次不等式中每一個步驟都是根據(jù)不等式的性質(zhì),讓學(xué)生領(lǐng)悟算理和解題步驟是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要支撐。根據(jù)上述分析,本課學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定如下:

    1.學(xué)生經(jīng)歷類比一元一次方程,理解一元一次不等式的概念;

    2.學(xué)生能用不等式或數(shù)軸來表示3x>30的解,并理解一元一次不等式的解的概念;

    3.學(xué)生會用不等式的基本性質(zhì)解簡單的一元一次不等式;

    4.學(xué)生會在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解并且利用數(shù)軸解決特殊解問題。

    5.使學(xué)生經(jīng)歷用類比遷移的過程,引發(fā)他們自主專研的興致,加強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

    二、課堂教學(xué)實踐

    (一)類比探索促數(shù)學(xué)概念生成

    一元一次方程和一元一次不等式具備相關(guān)聯(lián)系,不過沒有構(gòu)成上、下位關(guān)系,因此課堂的關(guān)鍵是幫助學(xué)生尋找一元一次不等式與已有知識脈絡(luò)中的有關(guān)知識的生長點,通過類比一元一次方程的概念,從而歸納遷移獲取一元一次不等式的定義,這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)里描述性定義的一種重要方法。

    【復(fù)習(xí)交流 疑點反思】

    出示:5x-3=7x+1

    師:這個等式叫什么?什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?你會解一元一次方程嗎?(絕大部分學(xué)生都能回答這幾個問題,而且還回顧了一元一次方程的三個特點:①兩邊都是整式②只含有一個未知數(shù)③未知數(shù)的最高次數(shù)是1)

    設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)概念,為后續(xù)的類比學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

    【聚焦概念 找尋關(guān)鍵】

    幻燈片依次呈現(xiàn)三個不等式:5x-3≥7x+1;5x-3≤7x+1;5x-3>7x+1;

    師:那這些式子叫什么?

    生:一元一次不等式。

    師:你們能不能“借用”一元一次方程的概念,來給一元一次不等式下個定義?

    生:不等號的兩邊都是整式,而且只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是一次,這樣的不等式叫做一元一次不等式.

    設(shè)計意圖:以學(xué)生觀察的方式,在過程中滲透類比思想,,發(fā)現(xiàn)一元一次不等式和一元一次方程是“同胞”兄弟,發(fā)現(xiàn)一元一次不等式的特征,形成一元一次不等式的概念。

    【簡單應(yīng)用 方法反思】

    幻燈片呈現(xiàn)六組數(shù)學(xué)式子,讓學(xué)生判斷哪些是一元一次不等式:

    ①2x+3>3y-1? ? ? ②x2+10≥16? ? ?③3/x>10

    ④ 3x=10? ? ? ? ? ?⑤3x>10? ? ? ? ?⑥

    【合作學(xué)習(xí) 探究新知】

    師:判斷當(dāng)x1=9,x2=10,x3=10.1時,哪些未知數(shù)的值能使3x=10成立?(學(xué)生答10)

    幻燈片將方程3x=10切換成不等式3x>10

    師:以上三個數(shù),哪些能使3x>30成立?(學(xué)生答10.1,我將10.1寫到黑板上)

    師:滿足這個一元一次不等式的x的值還有嗎?(此時有學(xué)生回答只要x>10就都滿足,我將x>10寫到黑板上)

    師:也就是說x=9,x=9.8都不滿足這個一元一次不等式是嗎?(我將9,9.8也寫在黑板上)

    師:也就是說x=10.5,x=11都滿足這個一元一次不等式是嗎?(學(xué)生答是的,并且表示對x>10這個“標(biāo)準(zhǔn)”答案的肯定,我將10.5,11也寫在黑板上)

    對于3x>30這類簡單的不等式,學(xué)生根據(jù)實際生活經(jīng)驗,能夠輕易地得到正確的答案,但是前面提到過,不等式的解的定義是能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體,是不等式解集的簡稱,因此不等式的解實際上就是滿足不等式的所有數(shù)值的集合,這種形式的數(shù)學(xué)概念對學(xué)生來講是好懂卻十分抽象的。這也是我在磨課中遇到的一個難題,如何讓學(xué)生在已有的生活經(jīng)驗下,理解不等式解的概念,是本堂課要突破的一個難點。

    師:像這樣的數(shù)舉得完嗎?(學(xué)生搖搖頭,表示舉不完,我將黑板上的三個數(shù)10.1,10.5,11三個數(shù)圈起來,如下圖)

    師:我們舉不完,那么老師畫了一個圈,把這些數(shù)都圈起來,你們認(rèn)為圈圈表示的數(shù)是什么?(學(xué)生答10)

    師:除了老師的這種方法,以及你們剛剛提到過x>10的方法來表示這些舉不完的數(shù)以外,我們還學(xué)過哪類數(shù)學(xué)方法能表示這些數(shù)。(有學(xué)生答數(shù)軸)

    師:很好,那我們一起來用數(shù)軸表示,你們說步驟,老師來畫。

    生:第一步先畫數(shù)軸;第二步在10的點上畫空心圓;第三步方向朝右邊;

    師:看來大家對前面的知識掌握的不錯,而且還能運(yùn)用已學(xué)的知識來解決剛剛的問題,那么,這三種表示方法,你更喜歡哪一種呢?(學(xué)生都表示是x>10更方便,簡潔)

    師:像x>10這樣的我們叫做一元一次不等式解的形式,是我們解一元一次不等式要達(dá)到的最終要求。

    那么什么是一元一次不等式的解呢?

    生:能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體稱為不等式的解集,簡稱為不等式的解。

    設(shè)計意圖:以類比與思考的方法,使學(xué)生理解一元一次不等式的解通常有無數(shù)個,掌握不等式的解的概念。另外,設(shè)計并提出符合學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知水平的相關(guān)課堂追問,讓學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與課堂探究內(nèi)容產(chǎn)生沖突,因而激發(fā)學(xué)生的求知欲,也將探究不等式的解法做了鋪墊。

    (二)類比探索促解題方法生成

    通過前面幾個環(huán)節(jié)對一元一次不等式的概念和不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)進(jìn)一步理解領(lǐng)悟了類比思想,所以,在一元一次不等式解法的教學(xué)中,筆者激發(fā)學(xué)生主動應(yīng)用類比思想直接從解一元一次方程的五個步驟(求分母、去括號、移項、合并同類型、系數(shù)化1)遷移歸納了一元一次不等式的解法,因而體驗了探究數(shù)學(xué)問題中由通性求通解的代數(shù)思想。

    【嘗試解疑 問題反思】

    幻燈片呈現(xiàn)三個不等式,讓學(xué)生嘗試去解并且把解表示在數(shù)軸上。

    ①4x<10? ? ? ? ②-3x/5>1.2? ? ? ?③x+1≥3

    (教師巡視, 2分鐘左右時幾乎所有學(xué)生均已完成任務(wù)。)

    師:你們覺得解不等式難嗎?(學(xué)生表示不難)

    生:和解方程差不多。

    師:那解不等式的過程中你們用到了哪些性質(zhì)呢?

    生:不等式的基本性質(zhì)(板書:(1)解不等式就是利用不等式的基本性質(zhì)。)

    師:很好,剛才同學(xué)們說的“差不多”,實際上是說出了方程和不等式有某些相同或類似的屬性。譬如:方程的概念和不等式的概念有某些相同或類似,等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)也有某些相同或類似,實際上,大家已經(jīng)運(yùn)用了類比的方法來學(xué)習(xí)不等式。

    那么等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)有哪里不同?

    在解不等式的過程中我們要注意什么?

    生:等式兩邊都乘以或都除以同一個的數(shù)或式(除數(shù)不能為0),所得結(jié)果仍是等式。

    不等式的兩邊都乘或都除以同一個正數(shù)時,不等號的方向不變;

    不等式的兩邊都乘或都除以同一個負(fù)數(shù)時,不等號的方向改變。(板書:(2)兩邊同乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù),不等號的方向要改變。)

    師:在解不等式的過程中,除了要注意剛剛我們說的除以負(fù)數(shù),不等號方向要改變以外,解不等式時,移項法則同樣適用。即:移項時項的符號要改變,不等號的方向不變。(板書)

    【例題學(xué)習(xí) 應(yīng)用反思】

    幻燈片呈現(xiàn)問題。

    例1解不等式7x-2≤9x+3,并反解表示在數(shù)軸上。

    師:并求出不等式的負(fù)整數(shù)解。

    (教師巡視, 2分鐘左右時幾乎所有學(xué)生均已完成任務(wù),并請三位同學(xué)將各自的答案在黑板上板演)

    師:你們認(rèn)可哪位同學(xué)的做法?其他兩位同學(xué)錯誤的原因你們覺得是什么?

    生:沒有畫數(shù)軸。

    師:很好,因此我們在求一元一次不等式的特殊解時,一定要借助數(shù)軸這個重要的工具幫助我們理解和分析。

    【顆粒歸倉 總結(jié)反思】

    三、反思

    波利亞指出:沒有類比,在初等數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)中就不會有發(fā)現(xiàn),其他學(xué)科中也不會出成果。[黃旭、劉云.類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用*——以“分式的加減第一課時”為例[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2018:35-38.]實際上,學(xué)生學(xué)習(xí)知識的重要資源是課本,發(fā)生遷移的主要載體是知識,教師是知識的傳授者,是課堂的引領(lǐng)者,合理規(guī)劃教學(xué)進(jìn)度,縮小學(xué)生與教材之間的差異,所以筆者從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)思想方法的三個視域初步探究學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的有效形式,實際上在課堂教學(xué)過程中依舊受許多因素的影響,間接、甚至直接影響課堂學(xué)習(xí)。

    (一)類比應(yīng)用

    本課的特別之處有兩點:1.通過元認(rèn)知問題的設(shè)計和問答來啟發(fā)學(xué)生,讓學(xué)生主動地運(yùn)用類比來研究一元一次不等式的概念和解法,并通過追問,讓學(xué)生說出運(yùn)用類比的方法來研究一元一次不等式的思考過程。讓學(xué)生從親身經(jīng)歷的探索思考過程中獲得對類比方法的體驗,過程中,學(xué)生不但領(lǐng)悟到類比方法的運(yùn)用,而且使類比的方法深深地印在他們的腦海中,久而久之,學(xué)生就會靈活應(yīng)用類比的方法來研究問題。

    (二)再教設(shè)計

    如果重新進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,筆考會給學(xué)生留出更大的思考空間,讓他們在探索和碰撞下對類比的學(xué)習(xí)方法產(chǎn)生更深的印象,其次,充分利用“手機(jī)同屏”這類輔助教學(xué)工具,幫助學(xué)生理解和比較解題方法。

    參考文獻(xiàn)

    [1]費(fèi)曉芳.基于初中數(shù)學(xué)核心概念及其思想方法的概念教學(xué)設(shè)計——“一元一次不等式”的設(shè)計[J] .上海中學(xué)數(shù)學(xué),2017:94-97.

    [2]米萌.新課標(biāo)下中學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知中的遷移研究[D] .延安大學(xué),2011.

    [3]黃旭、劉云.類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用*——以“分式的加減第一課時”為例[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2018:35-38.

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