基于“四基”的“平方差公式”的教學(xué)設(shè)計

張美琳 王良偉 陳仿

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗.本文以“平方差公式”為載體，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探索與解決問題中，感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

【關(guān)鍵詞】四基;平方差公式;教學(xué)設(shè)計

宋乃慶教授稱，“四基”是對“雙基”的繼承與超越，基本活動經(jīng)驗獲得了與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想同等重要的地位，突出了新課程對能力性目標(biāo)、過程性目標(biāo)、情感性目標(biāo)的重視，以及對學(xué)生應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目標(biāo)指向[2].張奠宙先生稱，數(shù)學(xué)的四個“基”是不能分割的，沒有單純的知識，也沒有脫離知識的技能，數(shù)學(xué)思想方法建立在知識和技能之上，但也具有獨立的價值，而學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是以上述三基為載體，貫穿于整個學(xué)習(xí)過程中的[3].因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識的獲得、技能的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)方法的提煉是通過數(shù)學(xué)活動的發(fā)展互相交叉滲透的.

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和課程培養(yǎng)目標(biāo)來制訂具體的教學(xué)目標(biāo)，選擇教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)的過程[4].如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，在探索與解決問題的過程中，獲得基礎(chǔ)知識和基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、有效提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，合理的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計顯得尤為重要.本文以 “平方差公式”教學(xué)設(shè)計為例，加以說明.

一、教材分析與準(zhǔn)備

（一）教材分析

“平方差公式”選自人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊第14章第2節(jié)[5].本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運算、列代數(shù)式和整式的加減法與乘法之后，對特殊多項式的乘法更進(jìn)一步的探索，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從代數(shù)與幾何兩方面理解平方差公式的意義，體會從一般到特殊思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.平方差公式和后面的完全平方公式不僅為特殊多項式的乘法提供了簡便運算，并且為后續(xù)相關(guān)知識如因式分解的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

（二）學(xué)情分析

八年級的學(xué)生正處于好奇心和求知欲強烈的階段，并且已熟練掌握有理數(shù)的運算、代數(shù)式和整式的乘法，能用已有基本知識和方法分析和解決相關(guān)問題.但學(xué)生在計算多項式乘法時常常會遺漏某項或在確定某項符號時出錯，并且缺少用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題以及用數(shù)學(xué)的思維提出問題的意識，同時，學(xué)生可能存在無法透徹地理解平方差公式本質(zhì)的問題，也不能理解公式中字母的廣泛含義.

（三）教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：掌握平方差公式;理解公式結(jié)構(gòu)和其中字母“a”“b”的含義;理解平方差公式的幾何意義;能運用公式進(jìn)行簡單的計算;會推導(dǎo)和證明平方差公式.

過程與方法：經(jīng)歷探究平方差公式的過程，讓學(xué)生明確這一公式既來源于整式的乘法，又可用于整式的乘法;探索平方差公式的證明方法，體會數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法;感受利用公式解決實際問題的便捷;嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題.

情感態(tài)度與價值觀：感悟平方差公式具有強大的簡化運算的功能;體會數(shù)學(xué)與生活之間的密切關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

（四）教學(xué)重點與難點

重點：理解平方差公式以及公式的結(jié)構(gòu)特征，熟練地運用平方差公式進(jìn)行簡單計算.

難點：對公式中字母的廣泛含義和公式的幾何意義的正確理解.

（五）教學(xué)方法與用具

教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合，學(xué)生自主探究與演示相結(jié)合.

教學(xué)用具：幻燈片、黑板、粉筆、彩色卡紙、剪刀、磁鐵.

二、教學(xué)過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出主題

麥麥和兜兜是一對好朋友，麥麥買了10.2 kg 9.8元/kg的糖果，兜兜迅速算出需付99.96元.你知道兜兜是怎樣快速計算的嗎？這實際與我們今天要學(xué)習(xí)的一個乘法公式有關(guān).

【設(shè)計意圖】生活中類似的情景很多，看似是一個簡單的乘法運算，但這兩數(shù)都是小數(shù)，計算起來比較麻煩.這里用它來引出課題的主要目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)在生活中的重要意義.

（二）學(xué)習(xí)活動一：復(fù)習(xí)演練，探索歸律

請學(xué)生用多項式與多項式相乘的法則計算下列多項式的積，并以前后四人為小組討論后面的問題.

（1） （x+1）（x-1）=;

（2） （m+2）（m-2）=;

（3） （2x+1）（2x-1）=.

問題1：等式左邊的兩個多項式有什么特點？

問題2：等式右邊的多項式有什么規(guī)律？

問題3：你能用一句話歸納出上述等式的規(guī)律嗎？

問題4：對于上述歸律，你有什么問題嗎？

請一名學(xué)生分享討論的結(jié)果，其他學(xué)生補充說明，最后教師帶領(lǐng)全班學(xué)生總結(jié)歸律，等式左邊的多項式都是兩項的和乘以這兩項的差，右邊是這兩項的平方差，總結(jié)得出兩項的和與這兩項的差的積，等于這兩項的平方之差，這兩項分別用字母“a”“b”表示，結(jié)論符號化，這個公式叫做（乘法的）平方差公式.再用代數(shù)的方法也就是多項式乘法法則證明并板書過程.

最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式的特征， 這實際是多項式乘法（a+b）（a-b）中p=a，q=-b的特殊情況，教師再進(jìn)一步強調(diào)平方差公式的特點：兩項和與這兩項差的積等于這兩項的平方差，其中等式左邊有兩個相同的項a，另外兩項b和-b互為相反數(shù)，（這里稱a為“相同項”，稱b為“相反項”）等式右邊是相同項與相反項的平方差a2-b2.利用該公式簡化計算時，關(guān)鍵就要找出多項式中誰是“相同項”、誰是“相反項”，這里一般需要利用加法交換律變形之后來確定.如果多項式?jīng)]有上述特征，則仍需用多項式的乘法法則進(jìn)行計算.

【設(shè)計意圖】在前面學(xué)生已學(xué)習(xí)了多項式的乘法法則，因此從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，選擇合適的知識生長點.組織學(xué)生小組合作討論這幾個問題，一是學(xué)生之間可以相互校對計算結(jié)果，有問題的及時更正，有利于學(xué)生之間互幫互助，培養(yǎng)合作精神，更進(jìn)一步地掌握多項式相乘的法則;二是對于前兩個問題，學(xué)生是可以通過觀察得出答案的，第三個問題則需要概括歸納，這樣設(shè)計有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而問題4的設(shè)置有利于培養(yǎng)學(xué)生，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.教師借助“相同項”和“相反項”，對公式的特征進(jìn)行概括歸納，實現(xiàn)文字語言和符號語言之間的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)發(fā)展學(xué)生的符號意識.

（三）學(xué)習(xí)活動二：合作探究，解決問題

問題1：你能用下面圖形（如圖1所示）的面積說明平方差公式嗎？請同學(xué)們動手拼圖、動腦思考，小組間合作交流、實踐探討.

改變圖形的位置而面積不變，利用不同的表示方法得出平方差公式.請學(xué)生代表上臺演示拼圖過程， 最后教師再次用網(wǎng)絡(luò)畫板演示并講解證明過程（如圖2所示）.

問題2：現(xiàn)在大家能說出平方差公式的幾何意義了嗎？

請學(xué)生答，并利用追問的方式使學(xué)生自己逐步準(zhǔn)確描述出平方差公式的幾何意義：長為a+b、寬為a-b的長方形的面積等于邊長為a的正方形減去邊長為b的正方形的面積.這種利用面積相等來證明平方差公式的方法就叫做等面積法，這個方法能夠解決許多類似的數(shù)學(xué)問題.

【設(shè)計意圖】利用拼圖這個活動來鍛煉學(xué)生的動手能力，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊意識和合作意識，在實際操作中親身體會平方差公式的幾何意義，通過鼓勵學(xué)生展示成果增強學(xué)生的表達(dá)能力和自我效能感，用不同的方法來表示相同的面積培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.最后，教師再次演示并逐一說明各部分圖形面積的表示方法有利于學(xué)生進(jìn)一步理解平方差公式的幾何意義.問題2的提出主要是培養(yǎng)學(xué)生的理解歸納和表達(dá)能力.

（四）學(xué)習(xí)活動三：例題學(xué)習(xí)，應(yīng)用新知

例1 用平方差公式計算：

（1） （2x+3）（2x-3）;（2） （-2x-y）（2x-y）.

例2 街心花園有一塊邊長為a（m）的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要加長2 m，而東西方向縮短2 m，請問改造后的長方形草坪的面積是多少？

學(xué)生獨立思考，完成練習(xí)，之后教師講解.

第（1）問，首先關(guān)鍵是找出誰是“a”，誰是“b”，并且在書寫時需注意2x是一個整體，要加括號，然后利用平方差公式計算即可.另外可做補充說明，“a”“b”可以表示數(shù)、單項式、多項式、甚至更復(fù)雜的多項式.第（2）問有多種解法，鼓勵學(xué)生思考探索，嘗試用多種方法思考問題，深刻理解公式的含義并熟練運用.

【設(shè)計意圖】例1的設(shè)計有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的整體意識和換元思想，發(fā)展學(xué)生的符號意識.例2的設(shè)計有利于發(fā)展學(xué)生的模型思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，增強利用數(shù)學(xué)問題來解決實際問題的應(yīng)用意識.

（五）學(xué)習(xí)活動四：急速挑戰(zhàn)，應(yīng)用反饋

本環(huán)節(jié)主要設(shè)置一個數(shù)學(xué)活動，如以砸金蛋的方式呈現(xiàn)，每個金蛋對應(yīng)例如選擇、判斷、巧算等不同類型的數(shù)學(xué)問題，主要是為檢測學(xué)生對本節(jié)知識掌握的情況，還可以起到提高學(xué)生注意力和活躍課堂氛圍的作用.

（六）學(xué)習(xí)活動五：反思回顧，升華總結(jié)

首先，回到起初拋出的問題，鼓勵學(xué)生分享觀點，問題中的兩數(shù)都接近10，并且與10都相差0.2，把這兩數(shù)的乘積看成（10-0.2）（10+0.2），用平方差公式便可迅速算得結(jié)果.

其次，從知識層面、過程與方法層面、數(shù)學(xué)思想層面進(jìn)行總結(jié)并引導(dǎo)學(xué)生討論分享如下問題：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我掌握了哪些知識？對于這節(jié)課我喜歡哪些地方？哪些地方我還不太清楚？我做得好的地方以及需要改進(jìn)的地方有哪些？我學(xué)會的解題方法是什么？這種解題方法可以推廣應(yīng)用到哪些地方？本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容與以前學(xué)習(xí)過的知識有哪些聯(lián)系等等.

【設(shè)計意圖】通過回顧反思，讓學(xué)生更深刻地感受知識的發(fā)生、發(fā)展的過程，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

（七）布置作業(yè)

必做題：教材中對應(yīng)的練習(xí)題.

選做題：（1）化簡：（x+y）（x-y）（x2+y2）（x4+y4） ;

（2）解不等式：（3x+4）（3x-4）<9（x-2）（x+3）.

思考題：你還有其他方法證明平方差公式嗎？

【設(shè)計意圖】考慮到學(xué)生的個體差異，因此作業(yè)分層設(shè)計，增強學(xué)生的動口、動手能力，促進(jìn)學(xué)生多向交流，培養(yǎng)學(xué)生主動探索能力.

三、總結(jié)

（一）教學(xué)設(shè)計步驟明確

教學(xué)過程首先是一種特殊的認(rèn)知過程，是為傳承知識文化、師生之間相互作用的認(rèn)識活動，并且是師生之間、生生之間通過交流、溝通而促進(jìn)學(xué)生身心發(fā)展、追求與實現(xiàn)價值目標(biāo)的過程[5].傳統(tǒng)的教學(xué)過程設(shè)計主要以教師講授知識、學(xué)生練習(xí)鞏固為主，這樣便導(dǎo)致學(xué)生對于知識的掌握僅知其然而不知其所以然，知識的發(fā)生發(fā)展全然不知，缺乏基本的活動經(jīng)驗以及基本的數(shù)學(xué)思想方法.本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程設(shè)計緊扣以學(xué)生為中心，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識為主，使其在基本數(shù)學(xué)活動中積累經(jīng)驗、感悟思想.

本節(jié)教學(xué)設(shè)計包括教材分析與準(zhǔn)備和教學(xué)過程設(shè)計兩部分.具體包括教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)分析、教學(xué)重難點分析、教學(xué)方法與用具、教學(xué)過程設(shè)計.具體的教學(xué)過程設(shè)計根據(jù)授課內(nèi)容明確三維教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點適當(dāng)選取學(xué)生認(rèn)知的生長點，選擇合適的教學(xué)方法，設(shè)置有效的學(xué)習(xí)探究活動，讓學(xué)生在問題探究與親身感知中快樂學(xué)習(xí).

（二）遵循五大原則

創(chuàng)造性教學(xué)并無固定模式，因此教學(xué)過程設(shè)計也并無固定程式，但必須要讓學(xué)生經(jīng)歷明確問題、深入探究、做出結(jié)論、驗證結(jié)論、運用知識、鞏固知識的基本階段.案例設(shè)計遵循了以下原則：一是目標(biāo)明確.布魯姆的教育目標(biāo)分類學(xué)將教育目標(biāo)分為認(rèn)知領(lǐng)域、情感領(lǐng)域和動作技能領(lǐng)域，在實際教學(xué)中，認(rèn)知、情感、動作技能這三方面基本是同時發(fā)生的，因此應(yīng)從這三方面以及教學(xué)內(nèi)容來設(shè)置適宜的教學(xué)目標(biāo).二是內(nèi)容準(zhǔn)確.有許多教師在講授某些數(shù)學(xué)概念時會增加一些內(nèi)容，尤其是剛上任的教師對教學(xué)內(nèi)容理解不透徹很容易犯錯.例如，本節(jié)內(nèi)容中課本沒有明確的定義“相同項”“相反項”，因此在用這種說法歸納平方差公式的特征時，一定要闡述什么是“相同項”，什么是“相反項”.三是方法恰當(dāng).選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法能夠有效地提高教學(xué)效率，但在實際的教學(xué)過程設(shè)計中教師往往將多種教學(xué)方法結(jié)合在一起使用.四是組織形式合理.比如在進(jìn)行實驗教學(xué)或者探究式教學(xué)時需明確學(xué)生應(yīng)獨立學(xué)習(xí)還是小組合作學(xué)習(xí)，教師要適當(dāng)?shù)鼐幣抛?、明確分組.五是問題設(shè)置有效、簡明.有效問題的設(shè)計有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自己逐步建構(gòu)知識，無效的問題不僅浪費課堂時間而且無法有效完成教學(xué)目標(biāo).總之，要重視系統(tǒng)性知識的傳授與學(xué)生直接經(jīng)驗積累的平衡，重視掌握知識與培養(yǎng)思想品德和提高能力并重，有效發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用，為培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能、豐富學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和基本數(shù)學(xué)思想方法、提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力和分析問題、解決問題的能力進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.

（三）回顧反思

回顧本節(jié)課，第一，在創(chuàng)設(shè)問題情境中，利用學(xué)生在生活中熟悉的情境引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)在生活中的強大作用，激發(fā)學(xué)生的求知欲.第二，通過回顧和應(yīng)用上節(jié)的知識引導(dǎo)學(xué)生觀察探究、類比歸納出本節(jié)內(nèi)容的要點，充分考慮學(xué)生已有的知識和能力，抓住新知的生長點，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生積極思考、討論，培養(yǎng)學(xué)生觀察歸納和發(fā)現(xiàn)問題的能力.第三，通過實際操作和演示，學(xué)生能夠積累“做數(shù)學(xué)”的基本技能和基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，其中滲透著轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.第四，例題的設(shè)計進(jìn)一步強調(diào)了平方差公式中的整體思想和換元思想，“反思回顧 升華總結(jié)”環(huán)節(jié)注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，因為“教是為了不教”.第五，分層作業(yè)的布置關(guān)注學(xué)生的個體差異，以必做題及時鞏固新知，更熟練地掌握平方差公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;以選做題深化提高，感受數(shù)學(xué)之美，增強應(yīng)用意識;思考題注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，增強創(chuàng)新意識.本節(jié)課的設(shè)計基于落實“四基”，培育“四能”的新教育理念，注重數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和滲透，在“雙基”基礎(chǔ)上突出基本思想、基本活動經(jīng)驗的積累，在“雙能”的基礎(chǔ)上注重對發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)，突出數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系.

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