一類 CVaR 約束優(yōu)化問題的漸近分析

張 杰，施 悅，李思穎

(遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029)

期望值約束的優(yōu)化問題，尤其是 CVaR(Conditional Value at Risk)約束優(yōu)化問題在經(jīng)濟學、工程學和管理學中有重要應用.本文關注如下的 CVaR 約束優(yōu)化問題：

(1)

其中，X?n是非空可行決策集合，ξ:Ω→Ξ?p是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機向量，f:X→R,G:X×Ξ→R是函數(shù)，α∈(0,1)，由文獻[1]可知對于隨機變量Z，CVaRα[Z]定義為

(2)

其中，[a]+=max{0,a}，E 表示數(shù)學期望. 注意到風險度量 VaR(Value at Risk)定義為

但VaR約束具有非光滑性和非凸性，而CVaR具有更好的性質，如次可微和凸性.Rockafellar和Uryasev在文獻[1]中已經(jīng)指出，

即VaRα[Z]≤CVaRα[Z], 所以CVaR約束是VaR約束的一個很好的凸近似.CVaR約束的優(yōu)化問題在實際中有很多應用，見文獻[2-3].本文關注問題(1)的一個近似問題的漸近分布.

1 模型近似

由問題(2)可知，問題(1)可以寫為如下問題:

(3)

(4)

在實際中，期望很難準確估計，通常利用文獻[4]中的樣本均值近似(SAA)方法處理期望，選取ξ的獨立同分布的樣本向量ξ1,ξ2,…,ξN,則問題(4)的SAA問題為

(5)

很多文獻關注問題(5)的解序列對于問題(1)的解的近似行為，本文關注問題(5)的解序列對于 (4)的解的近似行為，即若問題(5)的解序列{xN(ε)}收斂到x*(ε)，在什么條件下，隨機估計

依分布收斂到一個服從正態(tài)分布的量.

2 漸近分析

做如下假設：令X=n，σ(x,ξ(ω))是下列集合中的一個元素：

{gi(·,ξ(ω)),gi(·,ξ(ω)),2gi(·,ξ(ω))：i=1,2,…,m}.

考慮如下條件：

(A1) E[σ(x,ξ(ω))]是適定的，且對于x∈n,E[‖σ(x,ξ(ω))‖]是有限值的.

(A2) 存在一個正值的隨機向量C(ω)使得E[C(ω)]<+∞，對于所有的x1，x2∈n,ω∈Ω,下列不等式成立:

‖σ(x1,ξ(ω))-σ(x2,ξ(ω))‖≤C(ω)‖x1-x2‖.

(A3) 對于任意的x∈n,

f(·),gi(·,ξ(ω)),i=1,2,…,m,

在點x對于每個ω∈Ω是二階連續(xù)可微的.

以上的假設是隨機規(guī)劃最常見的條件.由文獻[4]中定理7.44和定理7.48可知:

E[gi(·,ξ(ω))],i=1,2,…m,

是以概率 1 成立的.進一步可以得到

關于(x,t)是二階連續(xù)可微的，且有對任意的ε,t,

是以概率 1 成立的.

由非線性規(guī)劃的理論可以知道，如果(x0,t0,λ0)∈n×m×m是問題(4)的Karash-Kuhn-Tucker(KKT)點當且僅當(x0,t0,λ0)滿足

令(x0,t0,λ0)∈n×m×m，需要如下條件:

(A4) 二階充分性條件(SOSC)在點(x0,t0,λ0)成立，如果

對每個滿足下式的非0向量d成立：

(A5) 線性獨立約束等式(LICQ)在點(x0,t0)成立，即

是線性無關的.

有關中小型水利工程管理方面的規(guī)章制度還不完善，導致很多項目工程啟動之后出現(xiàn)了一系列不規(guī)范但是又無法用法律強制規(guī)范的行為。而且在招標過程中隨機性很大，不可預控，很多中標的單位并不一定會認真履約合同上的要求，甚至還出現(xiàn)工程分包等情況，嚴重影響到監(jiān)理的正常發(fā)展。

(A6) 嚴格互補條件 (SCC) 成立，即

(λ0)i>0,i∈I(x0,t0):=J.

下列的命題來自文獻[5]的定理 3.1和定理 3.2.

命題2.1假設(A1)～(A3)成立.若(x0,t0,λ0)∈n×m×m是問題(4)的 KKT 對且(A4)(A5) 成立，那么存在(xN,tN,λN)滿足問題(5)的KKT條件，且有以概率1當N→∞時，(xN,tN,λN)→(x0,t0,λ0).

命題2.2假設(A1)～(A3)成立.如果(xN,tN,λN)是收斂到(x0,t0,λ0)的問題(5)的KKT序列對，且(A4)(A5)在點(x0,t0,λ0)成立，則

其中,(u,v)∈n+m×|J|為下列隨機二次規(guī)劃的 KKT 對：

其中,

滿足

定理2.1假設命題2.2中的條件成立.如果 (xN,tN,λN)是收斂到(x0,t0,λ0)的問題(5)的KKT序列對且(A6)成立，那么

證由命題 2.2 和假設(A6)，知道

其中，(u,v)滿足

由條件(A4) 可得，

是非奇異的且

則通過 Delta 定理結論得 (u,v) 服從多元正態(tài)分布N(0,Σ)，其中,Σ是協(xié)方差矩陣:

Hi(ξ(ω))=ε2xGi(x0,ξ(ω))xGi(x0,ξ(ω))T+

β1(ξ(ω))=x,tL(x0,t0,λ0,ε,ξ(ω))-x,tE[L(x0,t0,λ0,ε,ξ(ω))],

Σij=E[βi(ξ(ω))βj(ξ(ω))T],i=1,2,j=1,2.

證明完成.

給出的隨機估計式的極限正態(tài)分布，將為構造最優(yōu)解的置信域提供了理論保證，在接下來的研究中，將通過數(shù)值實驗來驗證這樣得到的置信域的可靠性.