調(diào)諧慣容阻尼器對斜拉索振動控制的研究

郜輝, 汪志昊

(華北水利水電大學 土木與交通學院,河南 鄭州 450045)

大跨度斜拉橋的斜拉索極易在外界環(huán)境激勵下產(chǎn)生多種有害振動,持續(xù)、大幅的斜拉索振動不僅會引起拉索的疲勞損傷,而且會破壞斜拉索的防腐系統(tǒng),進而降低斜拉索的服役壽命,并增加整個橋梁結構的維護成本。因此,有必要研究有效的斜拉索振動控制技術來降低斜拉索振動帶來的危害。安裝外置黏滯阻尼器(Viscous Damper,VD)是一種應用最為廣泛的斜拉索減振措施,但其減振效果受到安裝高度的制約[1-4],對超長斜拉索提供的附加阻尼有限。

為提升VD對斜拉索的減振效果,基于磁流變(Magnetorheological,MR)阻尼器的智能、半主動控制措施被逐漸提出[5-8]。研究結果表明[9-12]:負剛度阻尼器可以顯著提升斜拉索的減振效果。近幾年，具有負剛度效應的慣質(zhì)阻尼器得到了較多關注:LU Lei等[13]、SHI Xiang等[14]開展了黏滯慣質(zhì)阻尼器(Viscous inertial Mass Damper,VMD)對斜拉索減振控制的仿真分析和參數(shù)優(yōu)化研究;汪志昊等[15]采用電磁式慣質(zhì)阻尼器試驗驗證了VMD對斜拉索的減振提升效果,并指出VMD的減振性能提升主要歸功于慣容單元有助于放大阻尼單元的位移,從而實現(xiàn)了VMD整體耗能能力的提升。

為進一步提升斜拉索的減振效果,本文基于“阻尼-慣容-彈簧”三元被動減振理論[16],開展了調(diào)諧慣容阻尼器(Tuned Inerter Damper,TID)對斜拉索減振性能的提升研究?；趶湍B(tài)理論,分析了TID慣容比、阻尼比、頻率比對斜拉索模態(tài)阻尼比的影響,獲得了TID的最優(yōu)調(diào)諧參數(shù)與斜拉索的最大附加模態(tài)阻尼比。通過對比TID、VMD和VD對斜拉索的減振效果,闡明了TID對斜拉索減振控制的優(yōu)越性。最后，基于耗能效率揭示了TID對斜拉索的減振增效機理。

1 斜拉索-TID系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

忽略斜拉索垂度和抗彎剛度的影響,斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的分析模型如圖1所示,其中TID由阻尼單元并聯(lián)彈簧單元后再串聯(lián)慣容單元構成。參照文獻[4],斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的振動微分方程可表示為:

(1)

式中:m為斜拉索單位長度的質(zhì)量;u(x,t)為斜拉索在t時刻x位置處的橫向位移;T為斜拉索的張力；xd為TID的安裝位置距離斜拉索左側錨固端的距離;δ(·)為Dirac Delta函數(shù);FTID為TID作用于斜拉索的橫向力。FTID可表示為:

(2)

圖1 斜拉索-TID耦合系統(tǒng)分析模型

采用有限差分法,考慮斜拉索兩端的邊界條件:

(3)

式中l(wèi)為斜拉索的長度。斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的運動微分方程可表示為:

(4)

M=maIn,C=0n，

(5)

(6)

式中:M、C、K分別為斜拉索的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；In為n階單位矩陣;n為離散斜拉索的內(nèi)節(jié)點個數(shù);a=l/N,為斜拉索單元長度;N為斜拉索的單元個數(shù),N=n+1;u和f分別為斜拉索的位移向量和外荷載向量;γ為TID的作用位置向量；ui和fi分別為斜拉索第i個節(jié)點的位移和外荷載;γi由TID的安裝位置決定。當TID安裝在斜拉索第k個節(jié)點時,有

(7)

當在x=xd位置安裝VMD或VD時,斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的運動微分方程可表示為:

(8)

式中:Md=M+γbdγT、Cd=C+γcdγT，分別為斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣；bd和cd分別為VMD的慣容系數(shù)和阻尼系數(shù),且bd=0時VMD將退化為VD。

為形成斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的運動微分方程,將式(2)中的FTID重寫為:

(9)

綜合式(4)和式(9),斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的運動方程可表示為:

(10)

(11)

方程(8)和(11)的狀態(tài)空間方程可表示為:

(12)

對于VMD和VD有:

(13)

對于TID有:

(14)

2 斜拉索-TID耦合系統(tǒng)復模態(tài)分析

2.1 耦合系統(tǒng)模態(tài)阻尼比

設斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)自由振動時狀態(tài)向量可表示為:

z=Zexp(pt)。

(15)

式中：Z為狀態(tài)向量z的幅值；p為矩陣A的特征值。將式(15)代入式(12)并移去外荷載,可得斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的特征方程如下：

AZ=pZ，

(16)

(17)

式中：ωk和ζk分別表示斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)第k階模態(tài)的振動圓頻率和阻尼比。

根據(jù)式(17),斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的第k階模態(tài)的振動圓頻率和模態(tài)阻尼比可分別表示為:

(18)

式中Re(p)和Im(p)分別為p的實部和虛部。

對于VD和VMD,斜拉索第k階模態(tài)的附加模態(tài)阻尼比可直接由式(18)計算。對于斜拉索-TID系統(tǒng),TID的調(diào)諧作用將使斜拉索的某一階模態(tài)轉化為斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的2個相近模態(tài),為有效抑制斜拉索振動,應取2個相近模態(tài)的附加模態(tài)阻尼比的較小值作為TID提供的斜拉索附加模態(tài)阻尼比。

2.2 參數(shù)分析

TID的阻尼系數(shù)、彈簧剛度和慣容系數(shù)均會影響斜拉索-TID耦合系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比,為使分析更具普適性,引入下列無量綱參數(shù):

(19)

式中:μ為TID的無量綱慣容比；ωd為TID自身的振動圓頻率；f為TID的無量綱頻率比；ξd為TID的無量綱阻尼比。

圖2為斜拉索附加模態(tài)阻尼比隨TID阻尼比和頻率比的變化曲線。由圖2可知:斜拉索附加模態(tài)阻尼比隨TID阻尼比和頻率比的變化呈先增大后減小的變化趨勢,存在最優(yōu)的阻尼比和頻率比;隨著TID阻尼比的變化,TID最優(yōu)頻率比基本保持不變。

圖2 斜拉索附加模態(tài)阻尼比隨TID阻尼比和 頻率比的變化關系(μ=0.5,xd/l=0.02)

在此基礎上,圖3給出了TID最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比以及斜拉索獲得的最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比隨TID慣容比的變化關系。

圖3 TID最優(yōu)頻率比、阻尼比以及斜拉索最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比隨TID慣容比的變化關系(xd/l=0.02)

圖3(a)表明,TID各階模態(tài)最優(yōu)頻率比隨慣容比的增大而變化的情況分為3個階段:第1階段,TID的最優(yōu)頻率比隨著慣容比的增大而緩慢增大至最大值;第2階段,TID的最優(yōu)頻率比隨著慣容比的增大從最大值迅速下降至0;第3階段,TID的最優(yōu)頻率比始終保持為0,此時TID將退化為一種新阻尼器,即由阻尼單元串聯(lián)慣容單元構成的SVMD。為了闡述方便,將TID最優(yōu)頻率等于0時對應的慣容比稱為臨界慣容比。

圖3(b)表明:當TID慣容比小于臨界值時,TID最優(yōu)阻尼比隨著慣容比的增大而增大;當TID慣容比大于臨界值時,TID最優(yōu)阻尼比隨著慣容比的增大而減小。TID的最優(yōu)阻尼比在臨界慣容比位置不可導,這主要是由于TID退化為SVMD后,兩種阻尼器為斜拉索提供的附加模態(tài)阻尼比隨阻尼器阻尼系數(shù)的變化規(guī)律不同。

圖3(c)表明:當慣容比小于最優(yōu)值時,TID的附加最優(yōu)模態(tài)阻尼比隨著慣容比的增大而增大；當TID退化為SVMD后,斜拉索的最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比隨著慣容比的增大而減小,最終穩(wěn)定至VD為斜拉索提供的最大附加模態(tài)阻尼比。當慣容比接近臨界值時,對斜拉索的附加最優(yōu)模態(tài)阻尼比最大,即TID的最優(yōu)慣容比接近其臨界值。由圖3可知:斜拉索前4階模態(tài)獲得的最大附加模態(tài)阻尼比基本相同,TID最優(yōu)慣容比隨著模態(tài)階次的增大而減小,TID的最優(yōu)頻率比和阻尼比隨著模態(tài)階次的增大而增大。

3 TID對斜拉索減振控制的仿真分析

3.1 復模態(tài)分析結果驗證

為驗證復模態(tài)分析結果的適用性,以昂船洲大橋的某根斜拉索(參數(shù)見表1)為例開展了TID、VMD和VD對斜拉索減振控制的數(shù)值仿真分析。首先進行斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)目標模態(tài)的穩(wěn)態(tài)激勵,待斜拉索振動響應達到一定值后,去除外激勵,然后計算此時斜拉索的自由衰減振動響應。假定激勵荷載為:

(20)

式中:k為斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的模態(tài)階次；ωk為斜拉索-阻尼器耦合系統(tǒng)的第k階模態(tài)的振動圓頻率；ti為激勵持續(xù)時間；H(ti-t)為單位階躍函數(shù)，

(21)

表1 斜拉索主要參數(shù)值

基于MATLAB/Simulink工具箱,仿真時將斜拉索離散為200個均勻單元,且所有阻尼器安裝位置距離斜拉索錨固端2%的斜拉索長度。

圖4為TID慣容比μ等于0.5、阻尼比和頻率比取為最優(yōu)值時斜拉索第1階模態(tài)穩(wěn)態(tài)激振的跨中位移時程響應。采用指數(shù)函數(shù)擬合斜拉索自由衰減區(qū)段的位移峰值,識別得到的斜拉索附加模態(tài)阻尼比為2.67%,與復模態(tài)分析結果的2.678%吻合良好。

圖4 斜拉索第1階模態(tài)穩(wěn)態(tài)激振跨中時程曲線(μ=0.5)

在此基礎上,圖5對比了斜拉索前兩階最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比的仿真和復模態(tài)分析結果發(fā)現(xiàn),二者吻合良好。因此,可采用復模態(tài)分析進行TID對斜拉索附加模態(tài)阻尼比的計算。

圖5 斜拉索最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比的復模態(tài)分析與仿真分析結果對比(xd/l=0.02)

3.2 TID、VMD和VD減振效果對比分析

圖6對比了TID、VMD和VD控制時斜拉索第1階模態(tài)的最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比,其中VMD的慣容系數(shù)的取值與TID的相同。

圖6 TID、VMD和VD最優(yōu)附加模態(tài)阻尼比對比

由圖6可知:TID為斜拉索提供的附加模態(tài)阻尼比遠大于相同慣容系數(shù)的VMD和最優(yōu)控制的VD所提供的。此外,隨著慣容比的增大,TID為斜拉索提供的附加模態(tài)阻尼比始終大于VD所提供的,而VMD慣容系數(shù)較大時可能會引起斜拉索減振效果的下降。綜上,TID可以為斜拉索提供更高的附加模態(tài)阻尼比,且較大的慣容系數(shù)也不會引起斜拉索減振效果的嚴重下降。

圖7為TID、VMD和VD為斜拉索第1階模態(tài)提供的附加模態(tài)阻尼比隨阻尼器阻尼系數(shù)變化的關系曲線,其中，TID的慣容比取為0.5,頻率比取其最優(yōu)值,VMD的慣容系數(shù)與TID的相同。

由圖7可知:TID的阻尼系數(shù)遠小于VMD和VD的,但其為斜拉索第1階模態(tài)提供的附加模態(tài)阻尼比遠大于VMD和VD的,表明在一定程度上采用TID減振是一種更加經(jīng)濟有效的斜拉索減振措施。

圖7 TID、VMD和VD提供的斜拉索第1階附加模態(tài)阻尼比隨阻尼系數(shù)的變化關系

圖8和圖9分別為TID、VMD和VD最優(yōu)控制對應的斜拉索第1階模態(tài)穩(wěn)態(tài)激振的跨中位移時程曲線和振動總能量。其中斜拉索的振動總能量由下式計算:

(22)

圖8 斜拉索第1階模態(tài)跨中時程對比

圖9 斜拉索第1階模態(tài)振動能量對比

結合圖8和圖9可知:在相同荷載激勵下,與VD和VMD相比,TID能進一步降低斜拉索的穩(wěn)態(tài)振動位移幅值和振動能量。

4 TID斜拉索減振控制增效機理

由于慣容單元和彈簧單元均不耗散能量,TID完全依賴于其阻尼元件耗能。TID阻尼單元在一個完整周期T內(nèi)的耗能為：

(23)

式(23)表明:TID耗散的振動能量與阻尼元件的阻尼系數(shù)和運動速度均相關。為了同時考慮阻尼系數(shù)和阻尼元件運動速度對阻尼器耗能效率的貢獻,引入?yún)?shù)φc表示阻尼器的耗能效率，

(24)

為探討TID調(diào)諧作用對其耗能效率的影響,圖10對比了TID阻尼系數(shù)相同時頻率調(diào)諧和非調(diào)諧2種狀態(tài)下TID的耗能效率時程曲線。由圖10可見，頻率調(diào)諧的TID的耗能效率幅值遠大于相應失諧狀態(tài)的。因此,TID卓越的減振性能主要在于內(nèi)部調(diào)諧作用放大了阻尼單元的位移,提升了TID的整體耗能能力。

圖10 TID頻率失諧和調(diào)諧狀態(tài)對應的耗能效率時程對比(μ=0.5)

5 結論

1)TID為斜拉索各階模態(tài)提供的最大附加模態(tài)阻尼比基本相同,TID最優(yōu)慣容比隨著模態(tài)階次的增大而減小,TID的最優(yōu)頻率比和阻尼比隨著模態(tài)階次的增大而增大。

2)與VMD和VD相比,TID可為斜拉索提供更高的附加模態(tài)阻尼比,并顯著降低了斜拉索在相同荷載激勵下的振動位移幅值和振動能量。

3)TID卓越的減振性能歸功于調(diào)諧作用對內(nèi)部阻尼元件位移的放大效應。