骰子的組合數(shù)探究

四川省宜賓市南溪區(qū)第一中學(xué) 張玄逸

如果能夠僅僅通過(guò)交換而不改變數(shù)值得到的組合只算作一個(gè)組合，比如——

那么這一組骰子可以擲出多少不同的組合？

可惜的是作者并沒(méi)有給出證明過(guò)程。

骰子與組合無(wú)法直接建立特定倍數(shù)關(guān)系，因?yàn)轺蛔觽凕c(diǎn)數(shù)的種類和數(shù)量都是變量。

本文試從公式出發(fā)倒推證明過(guò)程，最終回歸組合。

一、排序

首先必須把每個(gè)數(shù)列中的數(shù)字重排。有序數(shù)組更易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。將其記為ai。

二、構(gòu)造數(shù)組

構(gòu)造bi，b1表示有幾個(gè)1，b2表示有幾個(gè)2，以此類推。上述組合可以改寫為：0 2 1 0 2 1，

另外有很明顯的幾點(diǎn)：a1≥1 ；a6≤6 ；ai-1≤ai。

看似平常的三點(diǎn)可以啟發(fā)我們構(gòu)造另一個(gè)數(shù)組：

令ci=ai-ai-1，即ci為ai的差分?jǐn)?shù)組。

經(jīng)驗(yàn)證，兩個(gè)數(shù)組均可以推導(dǎo)得到公式，因此下文就以更難一點(diǎn)的差分?jǐn)?shù)組來(lái)證明。

三、規(guī)定

差分?jǐn)?shù)組的含義為當(dāng)前數(shù)字比前一個(gè)多了多少，那么c0該等于幾？根據(jù)后面的ci范圍為[0，5]，類比得到c0=1，c1∈[0，5]，否則下一步操作無(wú)法等價(jià)進(jìn)行。

四、隔板法

現(xiàn)在已經(jīng)類似于隔板法了，因?yàn)樽詈笠粋€(gè)數(shù)最多比c0多5，所以有5 個(gè)小球。因?yàn)樽詈笠粋€(gè)數(shù)不一定為6，因此隔板仍需6 塊，而相鄰兩隔板間的距離即為ci。但會(huì)導(dǎo)致此種情況。以上文2 2 3 5 5 6 為例。

隔板法不允許兩隔板置于相同空隙中。

抽象數(shù)組仍需使用隔板法，只是兩隔板間距含義為使用該數(shù)字的個(gè)數(shù)，且使用數(shù)字總數(shù)確定，因此需要(6+5)個(gè)小球和5 塊隔板。