Neuman平均關(guān)于算術(shù)和調(diào)和平均的精確不等式

王君麗，徐會(huì)作，李少云

（1.臺(tái)州科技職業(yè)學(xué)院成人教育學(xué)院，浙江臺(tái)州318020；2.溫州廣播電視大學(xué)教師教學(xué)發(fā)展中心，浙江溫州325013；3.溫州廣播電視大學(xué)終身教育指導(dǎo)中心，浙江溫州325013）

對(duì) 于p ∈? 和a,b ＞0 且a ≠b，則p 階 冪 平 均[1]=。對(duì)于固定a,b ＞0和a ≠b關(guān)于p ∈? 是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)上升的。調(diào)和平均、幾何平均、算術(shù)平均和二次平均是冪平均的特殊情形：

分別是第一類Seiffert平均、Neuman-Sándor平均、第二類Seiffert平均、對(duì)數(shù)平均、第一類Yang平均和第二類Yang 平均[4]，并且有不等式L( a,b )＜V( a,b )＜P( a,b )＜U( a,b )＜NS( a,b )＜T( a,b )對(duì)所有a,b ＞0且a ≠b成立。

近年來(lái)，Schwab-Borchardt平均及其派生平均與不同階冪平均的凸組合或各種特殊組合的序關(guān)系研究，得到國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)研究者的關(guān)注，有關(guān)Schwab-Borchardt平均的新派生平均被提出，一些重要平均值不等式被發(fā)現(xiàn)，Neuman平均就是其中一種。

沈林昌等[6]證明了雙向不等式

對(duì)所有a,b ＞0 且a ≠b 成立當(dāng)且僅當(dāng)α1≤1∕3，β1≥1∕2，α2≤2∕3，β2≥π∕4，α3≤0，β3≥1∕2，α4≤0 和β4≥( π2-8 )∕[ 4( π-2 )]=0.409 4…。

根據(jù)不等式（4），可推得

對(duì)所有a,b ＞0且a ≠b成立。

何 曉 紅 等[7]證 明 了α ≤2log2=1.178 5… 和β ≥4∕3 是 雙 向 不 等 式Mα(a,b)＜NGQ(a,b)＜Mβ(a,b)對(duì)所有a,b ＞0且a ≠b成立的最佳參數(shù)。受不等式(5)的啟發(fā)，本文主要討論是否存在最佳參數(shù)α1,α2,β1,β2∈( 0,1 )使得雙向不等式

對(duì)所有a,b ＞0且a ≠b成立。

為了討論上述問(wèn)題，需要先介紹下面兩個(gè)引理。

下面分兩種情形討論：

（1）當(dāng)p=5∕6時(shí)，（7）式變?yōu)?/p>

對(duì)所有x ∈( 0,+∞ )成立，所以，由（6）、（8）式得到對(duì)所有x ∈( 0,+∞ )有f( x )＜0。

對(duì)所有x ∈(0,+∞)。

由（13）式可知存在λ0∈( 0,+∞ )使得當(dāng)x ∈( 0,λ0)時(shí)f2( x )＜0，當(dāng)x ∈( λ0,+∞ )時(shí)f2( x )＞0。由（10）、（12）式可知，當(dāng)x ∈( 0,λ0)時(shí)f1( x )＜0；當(dāng)x ∈( λ0,+∞ )時(shí)，f1( x )在區(qū)間( λ0,+∞ )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)上升且f1( λ0)＜0，易知存在λ1＞λ0使得當(dāng)x ∈( λ0,λ1)時(shí)f1( x )＜0，當(dāng)x ∈( λ1,+∞ )時(shí)f1( x )＞0。綜上可知，存在當(dāng)x ∈( 0,λ1)時(shí)f1( x )＜0；當(dāng)x ∈( λ1,+∞ )時(shí)f1( x )＞0。

同上分析，由（6）式并結(jié)合x(chóng) ∈( 0,λ1)時(shí)f1( x )＜0，x ∈( λ1,+∞ )時(shí)f1( x )＞0，易知存在λ ＞λ1使得當(dāng)x ∈( 0,λ )時(shí)f( x )＞0；當(dāng)x ∈( λ,+∞ )時(shí)f( x )＜0。

（1）如果p=5∕6，則對(duì)所有x ∈( 0,+∞ )有g(shù)( x )＜0；

（2）如果p=1∕2，則存在一個(gè)μ ∈( 0,+∞ )使得當(dāng)x ∈( 0,μ )時(shí)有g(shù)( x )＞0 和當(dāng)x ∈( μ,+∞ )時(shí)有g(shù)( x )＜0。

證明 簡(jiǎn)單計(jì)算可得

下面分兩種情形討論：

（1）當(dāng)p=5∕6時(shí)，等式（15）化簡(jiǎn)為

對(duì)所有x ∈( 0,+∞ )成立。所以，由（14）、（16）式得到對(duì)所有x ∈( 0,+∞ )有g(shù)( x )＜0。

（2）當(dāng)p=1∕2時(shí)，由（15）式可推得

由（20）式可知存在μ0∈( 0,+∞ )使得當(dāng)x ∈( 0,μ0)時(shí)g2( x )＜0，當(dāng)x ∈( μ0,+∞ )時(shí)g2( x )＞0。由（18）式可知，當(dāng)x ∈( 0,μ0)時(shí)g1( x )＜0；當(dāng)x ∈( μ0,+∞ )時(shí)，g1( x )在區(qū)間( μ0,+∞ )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)上升且g1( μ0)＜0，易知存在μ1＞μ0使得當(dāng)x ∈( μ0,μ1)時(shí)g1( x )＜0，當(dāng)x ∈( μ1,+∞ )時(shí)g1( x )＞0。綜上可知，當(dāng)x ∈( 0,μ1)時(shí)g1( x )＜0；當(dāng)x ∈( μ1,+∞ )時(shí)g1( x )＞0。

同上分析，由（18）和（19）式，結(jié)合x(chóng) ∈( 0,μ1)時(shí)g1( x )＜0，x ∈( μ1,+∞ )時(shí)g1( x )＞0，易知存在μ ＞μ1使得當(dāng)x ∈( 0,μ )時(shí)g( x )＞0；當(dāng)x ∈( μ,+∞ )時(shí)g( x )＜0。

下面給出本文的主要結(jié)論及證明。

定理1 雙向不等式α1A(a,b)+ ( 1-α1)H(a,b)＜NQG(a,b)＜β1A(a,b)+ ( 1-β1)H(a,b)對(duì)所有a,b ＞0且a ≠b成立當(dāng)且僅當(dāng)α1≤∕2=0.707 1…，β1≥5∕6。

證明 根據(jù)調(diào)和平均H(a,b)，算術(shù)平均A(a,b)和Neuman平均NQG( a,b )是對(duì)稱且一階齊次的，不失一般性，假設(shè)a ＞b ＞0，設(shè)p ∈( 0,1 )和x= ( a-b )∕∈( 0,+∞)，則由（1）～（4）式得到

其中f(x)同引理1中定義。

下面分4種情形證明。

（1）如果p=5∕6，由（22）～（24）式和引理1（1）可知NQG( a,b )＜A( a,b )+H( a,b )對(duì)所有a,b ＞0且ab成立。

（3）如果p ＜5∕6，x ＞0和x →0，則應(yīng)用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)得到

進(jìn)一步由（22）、（23）式知，存在一個(gè)充分小實(shí)數(shù)δ0=δ0( p )＞0使得對(duì)所有( a-b )∕∈( 0,δ0)恒有

證明 不失一般性，假設(shè)a ＞b ＞0。設(shè)p ∈( 0,1 )和x= ( a-b )∕∈( 0,+∞)，則由(21)式得到

（1）如果p=1∕2，由（28）式和引理2（2）知存在一個(gè)μ ∈( 0,+∞ )使得函數(shù)G( x )在x ∈( 0,μ )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)上升及在x ∈( μ,+∞ )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)下降。注意到G( x )=0，所以由（26）～（28）式和協(xié)同函數(shù)G( x)的分段單調(diào)性可知對(duì)所有a,b ＞0且a ≠b成立。

（2）如果p=5∕6，由（26）～（28）式和引理2（1）可知a,b ＞0且a ≠b成立。