逆向看問題 解題更迅疾

都穎

【摘要】逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中有著舉足輕重的地位，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也起到了重要作用.本文將從逆向思維的對立方向和對立角度出發(fā)，旨在引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中學(xué)會從正向和逆向靈活地看待問題，并熟練運用該思維解決問題.

【關(guān)鍵詞】逆向思維;中學(xué)數(shù)學(xué);解題運用

數(shù)學(xué)思維根據(jù)其思維的方向可以分為正向思維和逆向思維[1].一般對學(xué)生而言，他們習(xí)慣于從正向來看待問題，這也是解題的一般思路，但有時順著思維正向解題時，會感到有分類討論種類煩瑣、計算篇幅長且復(fù)雜等各種各樣的困惑，甚至有些題目干脆顯示此路不通，這時如果加以引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生體會從逆向解決問題的益處，不僅能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率及正確率，還能夠為他們邏輯思維能力的提升打下堅實基礎(chǔ).這么說來，在如今的中學(xué)數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，培養(yǎng)逆向思維的重要性就不言而喻了.

顯而易見，逆向思維也就是一種從對立的方向或?qū)α⒌慕嵌热タ紤]問題的思維方式，在如今的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，出現(xiàn)了很多的解題方法如反證法、分析法、逆否命題法等，都是這種思維方式的折射[1]，教師要善于將這種思維方法植入到學(xué)生的腦海中去，讓學(xué)生在日常的解題過程中靈活運用，做到出奇制勝.而筆者也將從該思維入手，從“逆向思維之對立方向”和“逆向思維之對立角度”兩個方面來談?wù)勀嫦蛩季S在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的神奇作用，旨在引導(dǎo)學(xué)生碰到此類問題能夠舉一反三，利用逆向思維快速解決問題.

一、運用逆向思維從對立方向解決問題

“對立方向”即“反方向”，在日常數(shù)學(xué)解題過程中，大多數(shù)學(xué)生都會存在一種正向的定式思維，也就是當(dāng)他們拿到題目時，會先由各個已知條件得出其中隱藏的深意，再將這些隱藏的內(nèi)容一一羅列，最終證明或解答，這也是我們常見的演繹思維中的“由因溯果”的解題策略.但有時，特別在一些證明題中，從那些已知條件入手，很難明白出題者想要考查學(xué)生哪些知識點，找不著點也就做不出題，但倘若從問題出發(fā)，反推出我們所需要的條件，然后在已知條件中對應(yīng)尋找這些所需條件，題目的考查點和解題思路都會變得清晰可見，可知，“執(zhí)果溯因”更能使解題過程暢通無阻.

（一）逆向巧解代數(shù)問題

在函數(shù)、不等式、方程等代數(shù)類問題的解題過程中，公式的選擇較為繁多，計算的步驟較為復(fù)雜，許多學(xué)生開始琢磨不透何時何地該選擇怎樣的概念與怎樣的公式才能快準(zhǔn)狠地解決問題，為了在解題過程中少走些彎路，我們可以根據(jù)概念的逆運用與公式的逆運用，從結(jié)論出發(fā)，快速找出題設(shè)所需要的概念定理.

例1?設(shè)a，b∈R+且a≠b，求證：a3+b3>a2b+ab2.

分析?按照證明不等式的一般步驟，應(yīng)為移項，然后合并同類項，令不等式大（?。┯?即可，或者左右兩邊相除，比值大（小）于1即可，但此題采用這樣的形式解題，在解題過程中會出現(xiàn)很多問題，比如，合并同類項時應(yīng)以a，b中哪個為未知數(shù)，哪個為常數(shù)，在做比值時怎樣判斷分子大還是分母大等等.此時，不如從結(jié)論出發(fā)，要證明a3+b3>a2b+ab2成立，就要證（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立，因為a，b∈R+，a+b>0，只需要證a2-ab+b2>ab成立，即（a-b）2>0成立，很顯然上式是成立的.

證明?上述分析已經(jīng)從反方向推導(dǎo)出了令題中不等式成立的條件，于是在證明時，只要把我們反向推導(dǎo)出的結(jié)論當(dāng)作條件，逆向推出題中要證明的不等式即可，證明如下：因為（a-b）2>0，所以a2-ab+b2>ab，又因為a，b∈R+且a+b>0，所以（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b），即a3+b3>a2+ab2[2].

（二）逆向巧解幾何問題

無論是初中的相似全等，還是高中的點線面關(guān)系，又或者是空間幾何等問題，都會大量運用到這種逆向思維，因為在幾何問題中給出的已知條件幾乎都是在圖形中已經(jīng)存在的邊角關(guān)系，學(xué)生很難在這些邊角關(guān)系中正向整理出出題者想要考的那個知識點，反而從結(jié)論出發(fā)，倒推出解題所需要的知識點，直至推到已知條件，這樣做會顯得更加快捷方便.

例2?如圖所示，在矩形ABCD中，將∠ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，BC的對應(yīng)邊B′C′交CD邊于點G.連接BB′，CC′，若AD=7，CG=4，AB′=B′G，則CC′BB′為多少？

分析?此題涉及了幾何圖形中線段長度的比值問題，常規(guī)思路就是分別計算CC′與BB′長度，然后作比，但是在這個幾何圖形中，發(fā)現(xiàn)所要求的兩條線段不在一個規(guī)則的圖形當(dāng)中，可以說是相差甚遠(yuǎn)，那怎么把它們聯(lián)系起來呢？于是，和大多數(shù)幾何題類似，反過來思考，嘗試從問題出發(fā)，在中學(xué)階段求兩條線段之比，除了在三角形中解出長度再作比，很容易想到的就是圖形的相似，那么CC′與BB′就在兩個相似三角形中，由于圖中BB′只存在于△ABB′中，而線段BB′所對應(yīng)的角度恰好是一個旋轉(zhuǎn)角，C′也是由C轉(zhuǎn)過一個相同的角度后得到的，旋轉(zhuǎn)中心為A，于是很容易聯(lián)想到連接AC，AC′，這時會發(fā)現(xiàn)△ABB′與△ACC′相似，則CC′BB′=ACAB，也就是矩形對角線與寬之比，問題也就轉(zhuǎn)換成了求矩形的寬，已知CG=4，求出DG的長即可，于是令DG=x，要求線段長度，必定放在三角形中去求，于是又連接AG，構(gòu)造直角三角形，由題意可知，AG=2AB′，AB′=AB=CD=4+x，于是在△ADG中可以解出x，求出矩形的寬.

解答?連接AC，AG，AC′，設(shè)DG=x，AB=AB′=B′G=DC=4+x，因為∠AB′G=90°，所以AG=2（4+x），在△ADG中，72+x2=2（4+x）2，解得x=1，所以AB=DC=5，AC=74.又因為∠BAB′=∠CAC′，ABAC=AB′AC′，所以△ABB′與△ACC′相似，所以CC′BB′=ACAB=745.

二、運用逆向思維從對立角度解決問題

“對立角度”即“反方面”，這也是逆向思維的另一個要義，也可以稱作為“求異思維”.如今很多的中高考題，為了評估學(xué)生的實際運用能力，考題中都會加上些實際情境，要求學(xué)生根據(jù)情境自主討論，然后盡可能從正面給出完整的解答，但有時情境情況一復(fù)雜，學(xué)生就會條理紊亂，錯情況的事件常常發(fā)生，如若嘗試著從反面進(jìn)行解答，求其補集，再得正解，這樣的做法會顯得干凈利落、準(zhǔn)確無誤.這種解題思想在排列組合的題型中出現(xiàn)得比較多，而反證法也是該思想的典型代表.

（一）逆向巧解排列組合問題

在高考中，排列組合及計數(shù)原理這一模塊運用反面求解的題型比較常見，在一個整體為“1”的事件中，若符合條件的正面事件出現(xiàn)的次數(shù)比較繁多且復(fù)雜，這時不妨嘗試著從對立角度看待問題，找出不符合條件的對立事件，用整體“1”減去這個對立事件的概率，得到的就是符合條件的事件概率.

例3?某公司有男演員6人，女演員4人，其中男、女隊長各1人.現(xiàn)要選派5人外出演戲.問：在下列情形中各有多少種選法？

（1）至少有1名女演員;（2）隊長中至少有一人被選派外出.

正面分析?（1）至少有1名女演員被選派外出包括了以下幾種情況：第一種，1名女演員4名男演員，即C14C46=60（種）;第二種，2名女演員3名男演員，即C24C36=120（種）;第三種，3名女演員2名男演員，即C34C26=60（種）;第四種，4名女演員1名男演員，即C44C16=6（種）.利用分類加法計數(shù)原理，可得至少有1名女演員被選派外出的選法有60+120+60+6=246（種）.（2）隊長中至少有一人被選派外出包括了以下幾種情況：第一種，只有男隊長被選派外出，即C48=70（種）;第二種，只有女隊長被選派外出，即C48=70（種）;第三種，男、女隊長都被選派外出，即C38=56（種）.利用分類加法計數(shù)原理，可得隊長中至少有一人被選派外出的選法有70+70+56=196（種）.

反面分析?（1）“至少有1名女演員”的反面為“全是男演員”，于是，只要從整體中扣除“全是男演員”的情況即可.整體的情況為從10人中任選5人，即共有C510=252（種），“全是男演員”的情況共有C56=6（種），則至少有1名女演員被選派的情況有252-6=246（種）.（2）“至少有1名隊長”的反面為“沒有隊長”，于是，只要從整體中扣除“沒有隊長”的情況即可.整體的情況為從10人中任選5人，即共有C510=252（種）.“沒有隊長”的情況共有C58=56（種）;則隊長中至少有一人被選派的情況有252-56=196（種）.

說明?根據(jù)上述正反分析，容易看出從對立面解決問題能省去許多不必要的分類討論.而在高考中，許多排列組合的題目都與此題類似，題目中總喜歡有“至少”“至多”等詞語的出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)乩梅疵媲樾伍g接求解，體會逆向解題的快捷方便.

（二）逆向巧解綜合實踐問題

綜合實踐類問題主要是體現(xiàn)逆向思維在實際生活中的巧妙運用，實際應(yīng)用問題不比精心設(shè)計過的純數(shù)學(xué)題，存在更加復(fù)雜的討論以及讓人琢磨不透的不確定因素，從正面解答往往會導(dǎo)致思維的混亂，結(jié)合數(shù)軸、集合等工具從反面解決問題有時會讓自己豁然開朗.

例4?某年級有50名學(xué)生參加了鋼琴、象棋興趣班，在學(xué)校舉辦的鋼琴、象棋技能大賽中，在鋼琴比賽中獲獎的有40人，在象棋比賽中獲獎的有31人，兩個比賽都沒有獲獎的有4人，問：兩個比賽都獲獎的有多少人？

正面分析?通過對題目的分析，我們發(fā)現(xiàn)，本題包含了四種人：鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎的人、鋼琴比賽得獎但象棋比賽沒得獎的人、鋼琴比賽沒得獎但象棋比賽得獎的人、鋼琴比賽沒得獎且象棋比賽也沒得獎的人.根據(jù)已知題目條件，我們可以羅列出四個恒等式：四種人數(shù)之和=50、鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎人數(shù)+鋼琴比賽得獎但象棋比賽沒得獎人數(shù)=40、鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎人數(shù)+鋼琴比賽沒得獎但象棋比賽得獎人數(shù)=31、鋼琴比賽沒得獎且象棋比賽也沒得獎人數(shù)=4.于是，根據(jù)上述四種人與四個恒等式，我們可以聯(lián)想到設(shè)未知數(shù)解方程，所以，設(shè)鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎人數(shù)x名、鋼琴比賽得獎但象棋比賽沒得獎人數(shù)y名、鋼琴比賽沒得獎但象棋比賽得獎人數(shù)z名，則有x+y+z+4=50，x+y=40，x+z=31，解出x=25，即為兩個比賽都獲獎的人數(shù).

反面分析?“鋼琴比賽中獲獎的有40人”的反面為“鋼琴比賽中沒獲獎的有10人”，“象棋比賽中獲獎的有31人”的反面為“象棋比賽中沒獲獎的有19人”，由于兩個比賽都沒有獲獎的有4人，那么至少有一個比賽沒獲獎的有10+19-4=25（人），則剩下的人數(shù)就為兩個比賽都獲獎的人數(shù)，即為50-25=25（人）[3].

說明?根據(jù)上述正反分析，可知當(dāng)題目中涉及的變量比較多時，可嘗試使用逆向求解的方法.此題的反面求解法也運用到了集合的思想，如果用Venn圖加以輔助說明，此題條理會變得更加清晰.

三、結(jié)束語

綜上所述，逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中的巧妙應(yīng)用不僅可以提高學(xué)生的解題速度和正確率，還可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時逆向看待題目少了些彎彎繞繞，可以讓學(xué)生體會到解題成功的成就感，提高他們的解題興趣，讓他們愛上數(shù)學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

[1]許衛(wèi)俊.逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（4）：52-53.

[2]王明禮.逆向思維在解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)版），2007（7）：19-20.

[3]白北平.逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（12）：85-86.