曲線凹凸性分析方法及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用

王勁松

摘 要：本文針對(duì)函數(shù)曲線的凸凹性分析方法進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，文章圍繞在教學(xué)過程中，教師如何基于提出問題-分析問題-解決問題的方法為學(xué)生樹立基本的函數(shù)凹凸性概念以及解題方法的問題進(jìn)行討論。同時(shí)，通過對(duì)典型例題的分析，加深學(xué)生對(duì)于基本概念與方法的理解。

關(guān)鍵詞：凹凸性;拐點(diǎn);思維方法

“思維是由疑問、好奇以及驚訝開始的”，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，如何引發(fā)學(xué)生的好奇心，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣顯得格外重要。所以在教學(xué)中，教師需要盡力構(gòu)建學(xué)生主體性氛圍，使學(xué)生在自覺、主動(dòng)、深層次下參與到主觀學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)。函數(shù)凸凹性教學(xué)是高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)之一，其不僅僅體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用范圍，更是可以作為橋梁連接代數(shù)分析與幾何問題之間的關(guān)系。因此，這一章節(jié)的教學(xué)就顯得格外重要。

首先學(xué)生需要明確函數(shù)凹凸性的定義：對(duì)于函數(shù)y=f（x），若其在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則如果曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)任意點(diǎn)的切線總位于曲線的下方，則稱曲線y=f（x）在（a，b）上是凹的;如果曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)任意點(diǎn)的切線總位于曲線的上方，則稱曲線y=f（x）在（a，b）上是凸的。同時(shí)，對(duì)于連續(xù)曲線，其上凹與凸的分界點(diǎn)即為曲線上的拐點(diǎn)。為了引起學(xué)生的好奇心，可以讓學(xué)生們自己從圖中找到曲線凹凸性的規(guī)律，如下圖所示，學(xué)生可以通過直觀觀察，自己挖掘出曲線凹凸性的區(qū)別。

接著，教師可以基于學(xué)生的觀察，繼續(xù)發(fā)問是否有方法可以通過計(jì)算直接判斷函數(shù)的凹凸性，并借此引出基于二次導(dǎo)數(shù)的函數(shù)凹凸性判斷方法，同時(shí)進(jìn)一步提高學(xué)生們的興趣。簡(jiǎn)單地，如果函數(shù)y=f（x）在[a，b]內(nèi)連續(xù)且在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)，則可以使用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的凹凸性，如果在（a，b）內(nèi)

f "（x）>0，則曲線y=f（x）在（a，b）上是凹的，如果在（a，b）內(nèi)f "（x）<0，則稱曲線y=f（x）在（a，b）上是凸的。同時(shí)，對(duì)于函數(shù)y=f（x）的拐點(diǎn)，其兩側(cè)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)必然相反，且有點(diǎn)（x0，y0）是曲線拐點(diǎn)的充分不必要條件為。

進(jìn)一步，基于函數(shù)凹凸性的計(jì)算方法以及拐點(diǎn)的判斷方法，教師可以自然而然地讓學(xué)生思考對(duì)于一般函數(shù)，是否可以找到一種對(duì)于函數(shù)凹凸性以及拐點(diǎn)位置判斷的標(biāo)準(zhǔn)策略，在討論后，教師可以對(duì)其進(jìn)行總結(jié)概述，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于方法的理解。對(duì)于一般函數(shù)，如果希望對(duì)其凹凸性進(jìn)行分析，則首先需要確定函數(shù)的定義域，并在定義域上求出f "（x）=0或者f "（x）不存在的點(diǎn)，以對(duì)定義域進(jìn)行切割，最后，將上述點(diǎn)作為分點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，并針對(duì)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)進(jìn)行分析討論，從而確定函數(shù)的凹凸區(qū)間以及拐點(diǎn)。通過將以上的標(biāo)準(zhǔn)化流程與自己討論得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生可以針對(duì)函數(shù)凹凸性的分析方法有更好地理解。

最后，教師可以以一兩個(gè)例題為引，為學(xué)生今后解題方法做出范例，如例題1所示：

通過對(duì)于以上問題的解析，學(xué)生可以對(duì)函數(shù)凹凸性的求解方法有比較深入的理解，同時(shí)，與課上教師所講解的內(nèi)容相互呼應(yīng)，通過這樣層層推進(jìn)的方式，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)在問題上的應(yīng)用更有興趣。

羅素說：“教育就是在教師的指導(dǎo)下學(xué)會(huì)自我思考?！蓖ㄟ^問題調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，通過對(duì)問題的思考使學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)雜知識(shí)的時(shí)候不感到枯燥。本文所介紹的層層推進(jìn)的教學(xué)方式，不僅僅是在教會(huì)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的方法，更是在培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，鍛煉學(xué)生對(duì)于問題的思考能力。如果學(xué)生可以在未來的學(xué)習(xí)與生活中積極、科學(xué)、進(jìn)取地提出問題，解決問題，用自己的頭腦思考世界，感悟世界。那么，學(xué)生的未來一定會(huì)更加豐富多彩。