時標(biāo)上二階脈沖動力方程邊值問題正解的存在性

武利猛，張 娟，李素紅，石瑞書

(河北科技師范學(xué)院，a 數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，b 科研處，河北 秦皇島，066004)

脈沖現(xiàn)象是連續(xù)變化的動態(tài)在某一時刻受到突然變化的影響使得能量驟增或驟減的突變現(xiàn)象。作為描述脈沖現(xiàn)象的脈沖微分方程是描述狀態(tài)變量具有連續(xù)和跳躍混合的動力方程理論，在生命科學(xué)方面有著重要應(yīng)用[1～10]。

2015年，F(xiàn)en等[5]考慮了二階脈沖邊值問題

給出了至少存在1個正解的準(zhǔn)則。

2016年，Li等[6]考慮了二階脈沖邊值問題

給出了該邊值問題至少存在1個及3個正解的條件。

時標(biāo)理論發(fā)展至今，其內(nèi)容已逐漸豐富，尤其是有關(guān)時標(biāo)上動力方程的研究已趨于成熟，但有關(guān)時標(biāo)上脈沖動力方程的研究還較少，筆者將研究時標(biāo)上脈沖動力方程解的情況。

考慮時標(biāo)上二階脈沖邊值問題

(1)

(2)

(3)

將利用twin不動點(diǎn)定理，得到邊值問題(1)～(3)至少存在2個正解的判別條件，其中

0

φp(s)是p-Laplacian算子，且

始終假設(shè)以下條件成立：

(A1)f∈C([0,T]×[0.tif,+∞),[0.tif,+∞));

(A3)ω(t)∈Cld([0,T]T×[0.tif,+∞)),且在[0,T]T上不為0，其中表達(dá)式Cld([0,T]T×[0,+∞))表示從T到[0.tif,+∞)所有的左稠密連續(xù)函數(shù)的集合，T為時標(biāo)；

(A5) ?y∈P, 存在常數(shù)ck使得|Ik(y)|≤ck,k=1,2,…,m。

1 預(yù)備知識

為簡化原問題的計算，考慮如下二階脈沖動力方程邊值問題

引理1假定條件(A2)和(A4)成立，若h(t)∈Cld[0,T],h(t)≥0,則y(t)是邊值問題

(4)

(5)

(6)

的解當(dāng)且僅當(dāng)

(7)

且y(t)≥0。

故有

(8)

(9)

又由式(6)可知，

進(jìn)一步

(10)

將式(10)代入式 (9) 得

又已知h(t)≥0,由(A2)和(A4)，易知y(t)≥0。

引理2若y(t)滿足引理1，則y(t)是遞增的凹函數(shù)。

定義全連續(xù)算子A∶P→E,且

(11)

?y∈P,由(A1),(A3),A的定義及引理1的證明可知

(12)

則?y∈P,Ay是凹的，且遞增非負(fù)，即Ay∈P,故A是P→P的算子。

引理4若(A1)～(A5)成立，則A∶P→P是全連續(xù)的。

證明因為ω,f,Ik均是連續(xù)的，所以A∶P→P也是連續(xù)的。

下面證明A:P→P是一致有界的。對任意常數(shù)d>0,定義閉球Bd={y∈P:‖y‖≤d},由(A5)及算子A的定義，對任意y∈Bd有

接下來證明族{Ay:y∈Bd}是等度連續(xù)的。令t,t1∈[0,T]T,

Bd={y∈P:‖y‖≤d}

因此族{Ay∶y∈Bd}是等度連續(xù)的。進(jìn)一步，由Ascoli-Arzela定理可知，A∶P→P是全連續(xù)的。

γ(x)≤θ(x)≤α(x),‖x‖≤Mγ(x)

(B1)γ(Fx)>c,x∈?P(γ,c),

(B2)θ(Fx)

(B3)P(α,a)≠?且α(Fx)>a,x∈?P(α,a),

a<α(x1),θ(x1)

2 邊值問題的正解存在性

則邊值問題 (1)～(3) 至少存在2個正解y1,y2,滿足

證明已知0<ξ1<ξn-2

P(ρ,c)={y∈P∶ρ(y)

(1)驗證引理5中的條件(B1)成立。選取y∈?P(ρ,c),則ρ(y)=y(ξ1)=c,從而y(t)≥c,t∈[ξ1,ξn-2]。又易知

ρ(Ay)=Ay(ξ1)

=c

因此，引理5中的條件(B1)成立。

θ(Ay)=Ay(ξ1)

=b

引理5中的條件(B2)成立。

ω(Ay)=Ay(ξn-2)

=a

故引理5中的條件(B3)成立。

a<ω(y1),θ(y1)

3 舉例

令T=[0,1]考慮邊值問題

(13)

則邊值問題 (13) 至少有2個正解存在。

(1)當(dāng)(t,y)∈[0,1]×[0,2]時，f(t,y)=50,此時，

(2)當(dāng)[0,1]×[0,40]時，f(t,y)=50,又

因此，由定理1可知邊值問題 (13) 至少有2個正解。