絕對值與一元一次方程

祁妍碩

絕對值是七年級數(shù)學(xué)非常重要的概念之一能與數(shù)學(xué)中許多知識組合出新的問題。今天我們重點研究絕對值符號中含有未知數(shù)的方程，即絕對值方程。解決這一問題需要從絕對值的性質(zhì)、幾何意義出發(fā)，方可成功“拿下”。

在解絕對值方程之前，需要回顧以下知識點。（1）絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。（2）絕對值的幾何意義：表示數(shù)軸上數(shù)a與b所對應(yīng)的點之間的距離。

一、提出問題

例1解方程：|x-3|=2?！惧e解】解：x-3=2，故x=5。

【解析】方法1：從絕對值的性質(zhì)出發(fā)，將這個方程看成是絕對值等于2的數(shù)有哪些？當(dāng)然是±2，即x-3=±2，所以x=5或1。

方法2：從絕對值的幾何意義出發(fā)，如圖1，方程左邊|x-3|表示一個數(shù)x到3的距離。借助數(shù)軸，整個方程表示數(shù)軸上一個數(shù)x到3的距離等于2個單位，這個數(shù)分布在3的左側(cè)和右側(cè)，故這個數(shù)x為5或1，即x=5或1。

二、變式問題

例2求滿足方程|x+3|+|2-x|=5的所有整數(shù)解。

【解析】解決絕對值方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，我們可以根據(jù)絕對值的性質(zhì)對x+3和2-x與0的關(guān)系進(jìn)行分類討論。也可絕對值的幾何意義出發(fā)，如圖2，借助數(shù)軸，解決這類方程會更為快捷。先需要將方程改成|x-（-3）|+|x-2|=5，即：此方程看作一個數(shù)x到-3的距離與它到2的距離的和等于5，這樣的x在數(shù)軸上的什么位置？

如圖2，這個數(shù)x只要在-3和2之間都滿

足條件。其中滿足條件的整數(shù)為-3，-2，-1，0，1，2。

例3解方程：|x+3|-2|x-2|=0。

【解析】從幾何意義出發(fā)，原方程表示x到-3的距離等于它到2的距離的2倍，借助數(shù)軸，記-3表示點A，2表示點B，點P記為x，即PA=2PB，又知道AB=5，如圖3和圖4可知，分兩類討論得到x=7或13。

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學(xué)校）