重構具有“生長力”概念課堂的實踐

【摘要】本文以“倍的認識”概念教學為例，論述小學數(shù)學教師在概念教學中讓學生不斷獲得發(fā)展的途徑，認為教師應以學生發(fā)展為本，立足概念教學，設計合理的教學活動，讓學生在自主學習、共同探究、互教互學中建構概念。

【關鍵詞】概念教學 生長的力量 小學數(shù)學 倍的認識

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）45-0052-05

《倍的認識》這節(jié)課是在學生學習了除法的意義以及表內乘除法基礎上的進一步教學。在小學數(shù)學概念中，“倍”是一個抽象且重要的概念，理解并掌握“倍”的概念，有利于學生解決生活中的一些實際問題，也為學生后續(xù)學習分數(shù)、比例等知識奠定基礎。三年級的學生以具體形象思維為主，他們憑借已有知識經(jīng)驗對抽象的“倍”的概念的理解往往是模糊不清的。本文筆者以學生學習本課之前的知識經(jīng)驗基礎、打破傳統(tǒng)的說教概念課堂為切入點展開研究，建構具有“生長力”的概念課堂，讓學生通過親身經(jīng)歷概念形成的過程，對“倍”有完整認知，以此促進學生思維“成長”。

一、課前調研，質疑分析——課堂前測

為了了解學生對“倍”的概念是否理解、是否知道“倍”是表示兩者之間的關系，筆者在課前對學生進行了前測。結果顯示，95.6%的學生認為自己在生活中認識“倍”，但在表述心中的“倍”時，只有22.2%的學生能用“誰是誰的幾倍”的句式來表述自己知道的“倍”;有11.1%的學生能用“誰是多少，誰是多少，誰就是誰的幾倍”的句式表述“倍”;其余學生的表述不是很清楚，有些學生甚至表述錯誤。由此看來，學生在生活中認識的“倍”與數(shù)學中的“倍”還是有差距的。在第二題“圈一圈，填一填”中，受相差關系的影響，有26.7%的學生認為橘子比蘋果多6倍。在第三題“畫一畫”中，有26.7%的學生把“正方形的個數(shù)是三角形個數(shù)的4倍”理解成“正方形的個數(shù)比三角形的個數(shù)多4個”，所以畫了6個正方形，還有17.8%的學生畫了4個正方形。由此可見，學生對“倍”的概念沒有太多的認知和感受，對“倍”的概念認識模糊不清。學生的已有認知與“倍”的概念之間出現(xiàn)了知識“斷層”。

二、教材解讀，溝通聯(lián)系——內容整合

“倍”是一個比較抽象的概念，學生學習“倍”要經(jīng)歷認知結構上的轉變，從原先兩個量之間的“差比”結構轉變?yōu)椤氨侗取苯Y構。改變原有的認知結構是學生學習上的難點。為了優(yōu)化“倍”的教學結構，筆者選取了北師大版、人教版、蘇教版、浙教版四個版本的教材，分析不同教材的編排有哪些異同，從中獲得啟示與思考，進而在教學中完善學生對“倍”的認知。

北師大版教材以“快樂的動物”為情境，抓住動物數(shù)量之間的比較，通過畫一畫、圈一圈、認一認、填一填等活動，把3只小猴圈在一起看作一份，小鴨有6只，可以圈2份，用除法表示6÷3=2，6里面有2個3，就說小鴨的只數(shù)是小猴的2倍。

蘇教版教材以“小朋友數(shù)花”為情境，通過問題“你能比一比這三種花的朵數(shù)嗎”展開教學。教材先采用學生以前學過的“比多比少”的方法進行比較，接著通過圈一圈，用“倍比”的方法進行比較，得出黃花的朵數(shù)是藍花的3倍。

人教版教材以“小兔子數(shù)蘿卜”為情境，先數(shù)一數(shù)，接著圈一圈，把2根胡蘿卜看作1份，紅蘿卜可以圈這樣的3份，紅蘿卜的根數(shù)里包含3個2，就說紅蘿卜的數(shù)量是胡蘿卜的3倍;白蘿卜可以圈這樣的5份，白蘿卜的根數(shù)里包含5個2，就說白蘿卜的數(shù)量是胡蘿卜的5倍。

浙教版教材以“游藝室里掛氣球”為情境，把2個紅氣球看作一份，藍氣球有這樣的3份，我們就說藍氣球的個數(shù)是紅氣球的3倍。接著教材還通過不同的掛氣球方式來呈現(xiàn)“標準量”“比較量”“倍數(shù)”之間變與不變的關系。

（一）四個版本教材編排異同

四個版本的教材都沒有直接給“倍”下定義，而是創(chuàng)設具體的情境，利用幾何直觀，通過數(shù)一數(shù)、圈一圈等操作活動將新知“嫁接”在原先“幾個幾”和“份數(shù)”的基礎上，幫助學生建構對“倍”的含義的認知。

北師大版教材將“倍”與“除法”建立聯(lián)系，除法不僅可以表示平均分，還可以表示兩個數(shù)量之間的“倍”數(shù)關系;蘇教版教材呈現(xiàn)了兩種比較的方法，通過比較讓學生在認知結構上發(fā)生改變，學生對兩個數(shù)量的比較的認知從原先的“差比”過渡到“倍比”。人教版和浙教版教材都沒有呈現(xiàn)差比關系，而是在“幾個幾”和“份數(shù)”的認知基礎上讓學生理解“倍”的含義，教材沒有很好地體現(xiàn)“‘倍表示的是兩個量的比較關系”這一知識點。浙教版教材通過掛氣球個數(shù)的變化，呈現(xiàn)了“標準量”“比較量”“倍數(shù)”之間的變化關系。

（二）啟示與思考

1.立足經(jīng)驗

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）明確指出：“教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎?！苯處煈鶕?jù)教材內容關注學生現(xiàn)有的知識發(fā)展水平，立足學生已有的知識和生活經(jīng)驗。通過創(chuàng)設具體生動的生活情境，將“倍”的知識嫁接在原有“幾個幾”和“份數(shù)”的認知基礎上，讓學生在積極地探究活動中理解“倍”的內涵。

2.注重操作

“倍”是一個比較抽象的概念，三年級的學生以具體形象思維為主，理解抽象的概念存在一定的困難。為了幫助學生完善認知，有效建構“倍”的模型，教師在教學中要注重讓學生操作，可以通過圈一圈、擺一擺、畫一畫等活動，讓學生在活動中完成對“倍”的認知。

3.滲透思想

為了讓學生理解“倍”的本質含義，教師可以通過數(shù)量的增減變化，讓學生在變化中找不變，在不變中找變化。例如：“標準量不變，比較量變了，倍數(shù)也變了”“標準量變了，比較量變了，倍數(shù)卻不變”“標準量變了，比較量不變，倍數(shù)變了”，通過上述三種變化活動，讓學生體會“變”與“不變”的函數(shù)思想。

4.溝通聯(lián)系

“倍”不是一個數(shù)，它表示的是兩個數(shù)量之間的一種關系。從原先的“差比”關系到本節(jié)課的“倍比”關系，知識結構發(fā)生了改變，所以學生的認知也發(fā)生了改變。為了突破學生的認知沖突，教學要加強前后概念間的溝通與聯(lián)系，以便完善學生對“倍”的知識建構。

三、經(jīng)驗改造，重構課堂——教學實踐

筆者根據(jù)各版本教材的優(yōu)缺點，重新設計了教學方案（如圖2所示）。

（一）經(jīng)驗入手，引入“倍”的學習

教學要以生為本，關注學生已有的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗。在學習本節(jié)課之前，學生對“倍”不是一無所知，他們在生活中看到過也聽說過“倍”，教師可讓學生說一說他們心中的“倍”，進而在原先“差比”關系認知沖突中，引出“倍比”關系。

【片段1】說一說：了解學生“已知的倍”

師：大家聽說過“倍”嗎？說說你心中認識的“倍”。

生1：我媽媽叫我加倍學習，期末給我獎勵。

生2：我在電視上看到“產值翻倍增長”?！氨丁本褪呛芏嗟囊馑?。

生3：爸爸的年齡是我的4倍。

師：你能解釋一下這句話的意思嗎？

生3：爸爸的年齡比我大4倍。

師：他理解的“倍”對嗎？有不同的想法嗎？

……

師：剛才同學們都分享了生活中自己所理解的“倍”，那數(shù)學中的“倍”又是怎樣的呢？

【片段2】比一比：從“差比”關系過渡到“倍比”關系

師：湖邊來了一群可愛的小動物。（教師通過電腦出示圖片）有多少只小動物呢？請你數(shù)一數(shù)。

（學生說，教師板書）

師：誰來比一比小松鼠和小雞的只數(shù)？

生1：小雞比小松鼠多6只。

生2：小松鼠比小雞少6只。

師：是的，我們在二年級時學過比多比少，我們可以用比多比少的方法對兩個量進行比較。

師：我們還可以用其他的方法進行比較嗎？

（學生沉默）

師（提示）：我們還可以用倍的方法進行比較。

師：今天這節(jié)課，咱們就一起來研究有關“倍”的知識。

（教師板書課題：“倍”的認識）

（二）操作感悟，建構“倍”的模型

雖然學生在生活中對“倍”有所了解，但他們對概念的理解是模糊的。本節(jié)課是學生第一次學習“倍”，也是學生認知上的一次改變。所以，教師在教學中可以借助“比一比，說一說”“圈一圈，填一填”“想一想，擺一擺”等操作活動，讓抽象的“倍”在具體的活動中變?yōu)樾蜗罂筛兄母拍睿箤W生通過活動體驗建構“倍”的模型。

1.比一比，說一說

語言是思維的外殼，筆者通過具體的例子讓學生用語言表述“倍”的概念，對“倍”有一個初步的感知。

【片段3】

師：我們用倍的方法比一比，小松鼠的只數(shù)是小雞的只數(shù)的幾倍呢？

師：如果把3只松鼠看作一份，小雞可以平均分成這樣的幾份？

生：小雞可以平均分成3份。

師：小雞的只數(shù)有小松鼠這樣的幾份？

生：小雞的只數(shù)有小松鼠這樣的3份。

師：所以我們可以說，小雞的只數(shù)是小松鼠的3倍。

師：誰能像老師剛才說的這樣再來說一說。

……

2.圈一圈，填一填

學生通過具體活動理解“倍”的本質內涵，即通過“圈一圈，填一填”活動，能明確“以誰為標準”，建立1倍數(shù)的概念，形象地感知“幾份數(shù)”，理解“一個數(shù)里面包含幾個幾，這個數(shù)就是另一個數(shù)的幾倍”。

【片段4】

師（提問）：猴子的只數(shù)是孔雀的幾倍？

（練后反饋）

師：把誰看作1份？

生：把2只孔雀看作1份。

師：小猴的只數(shù)是孔雀的幾倍？

生：小猴的只數(shù)是孔雀的3倍。

師：你是怎么想的？

生：小猴有6只，2只1倍，2只1倍，6里面有3個2，所以小猴的只數(shù)是孔雀的3倍。

[教師板書：6里面有（3）個2，所以6是2的（3）倍]

3.想一想，擺一擺

通過“比一比，說一說”，學生理解了“倍”的表象，通過“圈一圈，填一填”，學生對“倍”的內涵有了進一步的理解，接著筆者創(chuàng)設了四次擺卡片活動，使學生明白標準量1份數(shù)的重要性。在擺一擺中，學生感知1倍數(shù)、幾倍數(shù)、倍數(shù)三者之間的變與不變的關系，從而對“倍”有一個完整的認知。

【片段5】

師：調皮的小動物們歡快地嬉戲著，小鴨子和小猴子陸陸續(xù)續(xù)地來了一只又一只，老師將他們的只數(shù)用表格做了記錄。請你用學具擺一擺，每一次猴子的只數(shù)是鴨子的幾倍？

師：仔細觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師（提示）：觀察上下兩行鴨子和猴子的數(shù)量，以及它們之間的倍數(shù)關系，想一想什么變了、什么沒變，請你任意選擇兩行比一比?？梢愿愕耐澜涣饕幌?。

（學生同桌交流）

師：誰先來說說你的想法？

生1：第一次和第二次，鴨子的只數(shù)沒變，猴子的只數(shù)變了，倍數(shù)變了。

師（追問）：鴨子只數(shù)沒變，為什么這個倍數(shù)會變了呢？

生1：因為第一次6里面包含3個2，第二次8里面包含4個2，所以它們的倍數(shù)會不一樣。

生2：雖然鴨子的只數(shù)沒變，但是猴子的只數(shù)變了，所以倍數(shù)就變了。

……

師（小結）：是的，1倍數(shù)不變，但是與1倍數(shù)比較的這個數(shù)量變了，所以倍數(shù)也就變了。

師：誰還有不同的發(fā)現(xiàn)？

生3：第二次和第三次，鴨子的只數(shù)變了，猴子的只數(shù)沒變，倍數(shù)變了。

師（追問）：剛才與1倍數(shù)比較的猴子的只數(shù)變了，所以倍數(shù)變了，現(xiàn)在猴子的只數(shù)沒變，為什么倍數(shù)也變了呢？

生3：因為把鴨子看作1份，這個1倍數(shù)變了。

師：是的，我們還發(fā)現(xiàn)1倍數(shù)增加了，倍數(shù)反而減少了。誰能解釋一下這個“奇怪”的現(xiàn)象。

生4：雖然鴨子的只數(shù)都增加了，但是猴子包含鴨子的份數(shù)沒有增加。

生5：因為第二次把2只鴨子看作1份，8只猴子里面包含4個2，而第三次把4只鴨子看作1份，8只猴子里面只包含2個4，所以倍數(shù)變少了。

……

師（小結）：是的，同學們說得非常好。雖然與鴨子比較的猴子的數(shù)量沒變，但1倍數(shù)鴨子的數(shù)量變了，所以倍數(shù)就變了。

師：再仔細看看第三次和第四次，鴨子和猴子的數(shù)量都變了，倍數(shù)為什么會不變呢？

生6：因為8是4的2倍，12也是6的2倍。

生7：猴子和鴨子的數(shù)量變了，但是猴子包含鴨子的份數(shù)沒變，所以還是2倍。

生8：這個倍數(shù)跟猴子和鴨子數(shù)量的多少沒有關系，要看猴子的只數(shù)里面包含幾個鴨子的只數(shù)。

……

師（小結）：通過剛才的“擺一擺，填一填”我們發(fā)現(xiàn)，倍數(shù)跟兩個數(shù)量的多少沒有直接關系，而是要看一個量里面包含幾個另一個量，誰就是誰的幾倍。

（三）鞏固提升，深入理解“倍”的內涵

教學一個概念時，教師必須幫助學生區(qū)分概念的內涵與外延、本質屬性與非本質屬性，以及該概念與相關聯(lián)的概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，只有這樣，學生才能在頭腦中建立清晰的概念?！安畋取焙汀氨侗取笔莾蓚€不同的知識結構，通過比較練習，能使學生明白“差比”結果是一個具體的量，而“倍比”的結果“幾倍”不是具體的量，是兩個量之間的一種關系。

【片段6】比一比，說一說

（教師出示練習題，學生練后反饋）

師：通過比一比，我們發(fā)現(xiàn)兩題相差的個數(shù)一樣嗎？

生1：不一樣，第一題相差3個，第二題相差4個。

師：兩題相差的個數(shù)不一樣，答案為什么都是2倍呢？

生2：因為把圓形看作一份，三角形都有2份。

師：這個倍數(shù)跟相差的個數(shù)有關系嗎？

生2：倍數(shù)跟相差的個數(shù)沒有關系。

師：這個2表示什么意思？跟3和4表示的意義又有什么區(qū)別呢？

生3：這個2表示的是三角形有圓形的2份，表示的是份數(shù)。

生4：2倍表示的是2份，3和4表示的是相差的個數(shù)。

師：是的，這個2表示三角形和圓形的關系，是2倍的關系，它不表示確切的個數(shù);而3和4表示的是相差數(shù)，表示的是確切的數(shù)。

（四）質疑問難，解析“倍”的疑惑

古人云：“學貴有疑?！彼荚从谝桑蓡柺情_啟思維的源泉，筆者在課末創(chuàng)設了讓學生質疑的環(huán)節(jié)，學生通過質疑、分析、解決問題，從而加深對“倍”的理解。

【片段7】質疑問難

師：通過今天的學習，你對“倍”還有什么疑問嗎？

生1：老師，12是4的3倍，能倒過來說4是12的3倍嗎？

生2：4小一些，怎么可能是12的3倍呢？

生3：我知道，倒過來的話應該說，4比12少3倍。

生4：不對，倒過來的話應該說4比12少2倍。

師：同學們剛才說的對不對呢？接下來請拿出筆和紙圈一圈、畫一畫，看看你有什么發(fā)現(xiàn)。把你的發(fā)現(xiàn)分享給你的同桌。

……

生5：老師，我發(fā)現(xiàn)反過來的話把12個三角形看作1倍，4個圓就不夠1倍了。

生6：我發(fā)現(xiàn)，誰是誰的幾倍，不能反過來說。

生7：我發(fā)現(xiàn)小數(shù)不能說是大數(shù)的幾倍。

師：那又該如何表示小數(shù)和大數(shù)的關系呢？在后續(xù)的分數(shù)學習中，咱們會進一步探究這個問題。

四、收獲成果，提煉反思——建構具有“生長力”的課堂

傳統(tǒng)的概念教學，是以教師圍繞關鍵詞講解概念、學生在教師的引導下記背概念為主的一種教學模式。學生被動學習，認為概念課枯燥且乏味。通過教學實踐，建構具有“生長力”的概念課堂可以改變傳統(tǒng)的教學現(xiàn)狀，激發(fā)學生的學習興趣，促進學生“成長”。教師以學生的發(fā)展為本，立足概念教學，設計合理的教學活動，讓學生在自主學習、共同探究、互教互學中建構概念，從而打造具有“生長力”的概念課堂。

（一）經(jīng)驗為“根”——立足概念課堂“生長”的“根基”

“我們要用自己的經(jīng)驗做‘根，以這經(jīng)驗所發(fā)生的知識做‘根，然后別人的知識才能接得上去?！惫P者借鑒陶行知先生的話，在概念教學中以“根”為基礎，準確分析學生已有的生活概念和原有的知識經(jīng)驗，為概念課堂找準教學起點。

“倍”是生活中的一個常用概念，學生接觸過，但是對概念的理解是模糊的。如何將“生活中的倍”轉化為“數(shù)學中的倍”是本節(jié)課的教學重點?！氨兜恼J識”這節(jié)課是在學生認識平均分與除法意義的基礎上進行的，“倍”表示兩個數(shù)量間的比較關系，是從“絕對數(shù)量比多少”到“相對數(shù)量比多少”的轉變。因此，筆者將教學建立在學生已掌握的“差比”關系的基礎上，引出“倍比”關系，把新知“嫁接”在原有知識經(jīng)驗基礎上，引出新知。

（二）活動為“線”——經(jīng)歷概念課堂“生長”的“階梯”

概念的形成是由外到內、從具體到抽象，不斷深化的過程。在概念教學時要關注概念的實際背景以及概念形成的思維過程。抽象的數(shù)學概念的形成可以借助有形的數(shù)學活動，通過活動打通概念與學生思維的通道，幫助學生有效建立概念。學生掌握概念的過程也是一個不斷發(fā)展的過程，往往經(jīng)歷幾個階段。

1.建立概念的表象

概念的表象是指對概念具有鮮明形象的感知，將頭腦中的概念經(jīng)過外部信息進行轉化，是對概念進行知識表征的過程?！氨丁笔且粋€很抽象的概念，它表示的是兩個量之間的關系。雖然學生在生活中對“倍”有初步的感知，但對概念的理解比較模糊，無法用準確的語言描述什么是“倍”。所以筆者創(chuàng)設了動物樂園的情境，通過具體的例子表征“倍”的含義，讓學生在具體的情境中，結合實例說一說，用語言表征“倍”的含義，在頭腦中建立“倍”的表象。

2.抽象概念的本質

概念是事物本質屬性的反映。概念的形成是一個從具體到抽象的思維活動，教師可在學生通過感覺獲得概念表象的基礎上，引導學生通過分析、綜合、概括，從具體到抽象逐步探尋概念的本質。在“倍”的概念教學中，筆者通過創(chuàng)設“比一比，說一說”“圈一圈，填一填”“想一想，擺一擺”等操作活動，讓學生多種感官參與活動，在探究活動中積累活動經(jīng)驗，抽象出“倍”的本質。

學生在“想一想，擺一擺”等四個層面的操作活動中積累經(jīng)驗，確定比的標準，建立“1份”的概念，溝通“倍”與“份數(shù)”之間的聯(lián)系;接著，學生想一想，從“直觀體驗”順利過渡到“抽象思維”，挖掘“倍”的本質，理解“一個數(shù)里面包含幾個幾”就是“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”，明確“倍”隱藏著“包含”的關系。學生獨立完成對“倍”的本質理解。

3.厘清概念知識結構

數(shù)學概念是高度概括的抽象化數(shù)學語言，而小學生的思維能力、理解能力相對較弱，他們在理解與建構概念時存在困難。因此，教師在概念課上不能孤立地講解概念，要將概念與實例相結合，借助例子讓學生形象地感知概念的本質特征，從而厘清概念知識結構。

教材用“誰是誰的幾倍”這種結構化的語句來表征概念，突出兩個數(shù)量相互比較，把其中較小的量看作1份作為標準，另一個量里面包含這樣的幾份就是幾倍。只要1份的數(shù)確定了，另一個量有幾份就是幾倍。由此可知，這個1份數(shù)標準量在“倍”的認識中起著關鍵性的作用。教師在教學時要幫助學生厘清“倍”的結構關系，如1倍數(shù)、倍數(shù)、幾倍數(shù)，尤其要建立1倍數(shù)的概念。

4.辨析概念間的關系

概念與概念之間不是孤立的，而是存在一定的關系。根據(jù)結構功能上有沒有關聯(lián)，筆者將概念之間的關系分為相關聯(lián)關系和不相關聯(lián)關系（也可稱為異同關系）。辨析概念間的異同關系，可以避免混淆概念，有利于學生對概念的正確理解與建構，以及運用概念正確分析、判斷、推理與解決問題。

通過練習，學生知道兩個量進行比較的時候，可以用相差關系比較，也可以用倍比關系比較，但它們表示的意義不一樣。由此，學生進一步明確“倍”的實質意義，“倍”表示的只是一種倍比關系，跟表示相差關系是有區(qū)別的，這個倍數(shù)是相對量，而不是準確值。

（三）留白為“缺”——留給概念課堂“生長”的“空間”

教師在課堂的最后可以留一個“缺口”，讓學生有思考、討論、交流、質疑問難的時間與空間，讓學生能夠循著這個“缺口”持續(xù)“生長”。

面對學生提出的問題，筆者沒有直接回答對或者不對，而是留給學生一個思維的“缺口”，讓學生自己畫圖思考、討論交流。學生繼而發(fā)現(xiàn)了一些“倍”的相關知識。以大數(shù)作為1倍，小數(shù)是不夠1倍的，所以小數(shù)不能說是大數(shù)的幾倍，這時怎么辦？還能用“倍”來表示兩者的關系嗎？如果不能，又該怎樣表示呢？為后續(xù)學習分數(shù)留下懸念。

“生長”的概念課堂，是師生和諧發(fā)展的課堂，它以學生的經(jīng)驗為根，讓學生在探究概念的過程中不斷“生長”，并在課堂最后留給學生持續(xù)“生長”的“缺口”，既讓學生牢牢掌握概念，促進學生思維發(fā)展，又為后續(xù)教學做好鋪墊。

作者簡介：沈建芳（1975— ），浙江杭州人，大學本科學歷，高級教師，研究方向為數(shù)學教學研究、教育管理。

（責編 劉小瑗）