探討動態(tài)幾何壓軸題

胡海洋

點(diǎn)動、線動、面動構(gòu)成的問題稱為幾何動態(tài)問題，也一直是中考壓軸題命題的熱點(diǎn)。這類問題的特征是，以運(yùn)動中的幾何圖形為載體構(gòu)建成綜合題，把幾何、三角、函數(shù)、方程等知識集于一身，題型新穎，綜合性強(qiáng)，能力要求高。遇到這類問題，要把握好一般與特殊的關(guān)系;在分析過程中，要特別關(guān)注圖形的特殊性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置）。如何準(zhǔn)確、快速地解決此類問題呢？關(guān)鍵是把握解決此類題型的規(guī)律與方法——以靜制動。

例題 （2018.江蘇宿遷）如圖1，在邊長為1的正方形ABCD中，動點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上。將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)Ⅳ處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE=x。

（1）當(dāng)AM=-時(shí)，求x的值;

（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由;如不變，請求出該定值;

（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值。

【解析】（1）由折疊性質(zhì)可知BE=ME=x，結(jié)合已知條件知AE=1-x，在Rt△AME中，根據(jù)勾股定理，得（1一x）2+（1/2）2=x2，解得x=5/9。

（2）△PDM的周長不變，為定值2。

方法一：連接BM、BP，過點(diǎn)B作BH⊥MN，如圖2。根據(jù)折疊性質(zhì)知BE=ME，由等邊對等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠M BC=∠BMN，由全等三角形的判定AAS得Rt△ABM-Rt△HBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得AM=HM，AB=HB=BC，又根據(jù)全等三角形的判定HL得Rt△BH P≌Rt△BCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得HP=CP，由三角形周長和等量代換即可得出△PDM周長為定值2。

方法二：設(shè)AM=a，由EM2=AE2+AM2，得x2=（l-x）2+a2，∴a2=2x一1。

由△AEM-△DMP，得

△AEM周長AE l-x

△DPM周長 MD l-a

（3）方法一：過點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，連接BM。由折疊性質(zhì)可知∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，由等角的余角相等得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定ASA得Rt△ABM≌Rt△QFE，據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得AM=QE。設(shè)AM長為a，在Rt△AEM中，根據(jù)勾股定理，得（1-x）2+a2=x2，從而得AM=QE=

，根據(jù)梯形的面積公式代入即可得出S與x之間的函數(shù)表達(dá)式。又由（1一x）2+a2=x2，得x=a2+1/2=BE，BQ=CF=a2+1/2-a（O

∵0

方法二：設(shè)AM=a，MD=l-a，由勾股定理，得a2=2x-l。利用△AEM-△DMP-△NFP得比例式，求出FN。由FC=FN得S=1/2（FC+BE）.BC，表示成關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式求解。

方法三：連接FM、BM、BF。由折疊性質(zhì)知EF垂直平分BM，則FM=BF。

設(shè)AM=a，F(xiàn)C=y，則FD=l-y。由勾股定理，得a2=2x-l，x=a2+1/2，F(xiàn)C2+BC2=DF2+DM2，

圖形運(yùn)動問題一般與圖形變換相結(jié)合。圖形在運(yùn)動過程中只是位置發(fā)生變化，大小、形狀一般不變，因此我們在解答這類問題時(shí)往往可以運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、平行、全等、等腰三角形等知識。本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等、相似三角形、二次函數(shù)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，特別是第（3）問的解題思路，看似清晰，處理起來卻很困難且比較復(fù)雜。計(jì)算量大，即對計(jì)算技巧要求很高，因此處理復(fù)雜問題也是我們必備的能力。

（作者單位：江蘇省泗陽致遠(yuǎn)中學(xué)）