二元一次方程組解法兩種方法研究

羅岳昭

【摘要】? 湘教版七年級下冊數(shù)學第二章的學習內容為《二元一次方程組》，教材安排為：二元一次方程組的數(shù)學概念、二元一次方程組的解題思路、二元一次方程組的實際應用。本文以湘教版教學大綱為出發(fā)點，致力于培養(yǎng)初中生良好的消元思維，促進二元一次方程組教學進程良好展開。

【關鍵詞】? 二元一次方程組 解題思路 消元

【中圖分類號】? G633.6? ?? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）05-069-01

引言

二元一次方程組的解題思路，主要分為兩種：代入消元法，加減消元法;在實際初中數(shù)學教學過程中，兩種解題思路之間并不存在絕對的教學順序，旨在培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維，鍛煉其正確的消元思想，解決實際問題;消元數(shù)學思維，有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力，成為教學大綱的設立依據(jù)。

1.二元一次方程組的數(shù)學概念

生活中，某一領域、事物之間，涉及多組未知數(shù)，此種現(xiàn)象較為普遍;未知數(shù)據(jù)之間，存在一定的數(shù)量關系;通過列舉數(shù)量關系，獲取所需信息。例如，較為經典的數(shù)學討論題“雞兔同籠”，給出籠子中的總腳數(shù)n、總頭數(shù)m，來計算雞、兔的數(shù)量;雞兔同籠屬于典型的二元一次方程組解題案例，假設雞數(shù)量為a，兔數(shù)量為b，方程組為：①a+b=m，②2a+4b=n;解題思路為：利用①關系，簡化②關系，進而求得結果;方法一：2a+4×（m-a）=n，4m-2a=n;由于m，n為已知數(shù)，即可求得a值;利用①式關系，求得b值;方法二：2×（m-b）+4b=n，2m+2b=m，求得a、b值。利用兩個未知數(shù)的相互關系，實現(xiàn)消元的解題過程，簡化數(shù)學關系，求得所需信息，是二元一次方程組的核心數(shù)學概念。

2.探索二元一次方程組多種解法

2.1二元一次方程組的教學設計

湘教版七年級下冊數(shù)學教學設計，主要內容包含：二元一次方程組、整式乘法、因式分解、平行線與相交線、軸對稱問題、數(shù)據(jù)分析;在此教學設計中，充分明確了二元一次方程組的核心地位;在二元一次方程組數(shù)學知識之前的數(shù)學課程，均在為二元一次方程組做鋪墊，培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯思維，提升學生對二元一次方程組的理解能力;在二元一次方程組之前的數(shù)學知識內容為：一元一次不等式組，利用一元一次方程為學生引入二元一次方程組，建立學生良好的數(shù)學邏輯性;在七年級上冊，代數(shù)式的數(shù)學知識，為學生解題二元一次方程組奠定了良好基礎;利用代數(shù)數(shù)學思想，引入消元數(shù)學概念，提升學生對消元的理解能力，促進二元一次方程組教學順利完成。數(shù)學知識具有一定邏輯性，數(shù)學學習是一種螺旋上升的體驗;合理規(guī)劃教學內容，促進初中生獲得優(yōu)異的數(shù)學成績，讓數(shù)學教學事半功倍。

2.2二元一次方程組的解題過程

第一，代入消元法，是一種數(shù)學思維，用以計算數(shù)學問題，屬于高斯消元法的簡化應用;代入消元法的解題思路為：將二元一次方程組中2個未知數(shù)，x、y，將x用y表示，或者用x表示y，實現(xiàn)消元，獲取未知數(shù)的解;正如雞兔同籠案例中，雞數(shù)量為a、兔數(shù)量為b，a+b=m，代入消元法的具體表現(xiàn)為：2a+4×（m-a）=n，2×（m-b）+4b=n;通過代入消元，將二元一次方程組簡化為一元一次方程組，降低解題難度，獲取解題答案。

第二，加減消元法，是數(shù)學運算的一種方式;將兩個二元一次方程組中，判斷同一個未知數(shù)的系數(shù)，利用方程式相加、相減方式，實現(xiàn)消元目標，將二元一次方程組簡化成一元一次方程組。

案例1，用代入消元法求解二元一次方程組：①3x+5y=21，②2x-5y=-11.解題過程為：①+②，得出方程式：（3x+5y）+（2x-5y）=21+（-11）;數(shù)學化簡得：5x=10，由此可知：x=2;將x=2代入方程式①式中，3×2+5y=21，5y=15，計算得出y=3;求得方程組的解：x=2，y=3.在此案例中，亦可將x=2代入方程式②式中，獲取結果。

案例2，用加減消元法求解二元一次方程組：①2x-5y=7，②2x-3y=-1.解題過程為：②-①，得出方程式：（2x-5y）-（2x-3y）=-1+7;數(shù)學化簡得：8y=-8，由此可知：y=-1;將y=-1代入方程式①式中，2x+5=7，計算得出x=1;求得方程組的解：x=1，y=-1.

案例3，選擇適宜的方式求解二元一次方程組：①2x+3y=12，②3x+4y=17.解題過程為：①×3，得出方程式：③6x+9y=36;②×2，得出方程式：④6x+8y=34;計算③-④，得出方程式：（6x+9y）-（6x+8y）=36-34;數(shù)學化簡得：y=2;將y=2代入①，獲得x=3;求得方程組的解：x=3，y=2.

第三，通過案例分析可知，加減消元法是通過方程組之間的運算，實現(xiàn)未知數(shù)消元的過程，計算其中一個未知數(shù)的結果，再求得方程組的解;加減消元法的解題思路為：判斷未知數(shù)系數(shù)的絕對值，是否能夠實現(xiàn)消元目標;如若系數(shù)為相反數(shù)，采用方程式相加的解題思路;如若系數(shù)相同，采用方程式相減的解題思想;如若系數(shù)之間不存在相互關系，將兩邊方程式乘以對方未知數(shù)一個系數(shù)，讓兩個方程式系數(shù)絕對值相等，實現(xiàn)消元過程，求得方程組的解。

第四，代入消元法與加減消元法的計算原理，均是以消元為目的，簡化二元一次方程組的難度系數(shù)，實現(xiàn)二元一次方程組的解題過程。在雞兔同籠案例中，利用的是代入消元法;代入消元法的優(yōu)勢在于，利用兩個未知數(shù)相互關系，實現(xiàn)消元過程;加減消元法的數(shù)學思維相對強勢，將方程式左右兩端，分別計算，實現(xiàn)消元過程。從數(shù)學學習角度來說，兩種消元方式，均在不程度地培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維，有助于鍛煉其邏輯思考能力。

結論

綜上所述，二元一次方程組用以解決數(shù)學問題，具有良好的應用效能;將數(shù)學問題延伸至生活中，有利于提升初中生的生活技能;利用消元數(shù)學概念，培養(yǎng)初中生良好的數(shù)學思維，鍛煉其邏輯思考能力，有助于核心素質教育的發(fā)展。因此，初中數(shù)學教師應關注二元一次方程組的教學設計，促進學生獲得好成績。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]付依婷.基于歷史發(fā)生原理的求解二元一次方程組教學設計[D].閩南師范大學，2018.

[2]楊良畏.關于二元一次方程組解法的教學順序思考[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2017（22）：32-34.