工字型索網(wǎng)的幾何與力集成設(shè)計方法①

陳聰聰，李團(tuán)結(jié)*，唐雅瓊，李歡笑

(1.西安電子科技大學(xué)，西安 710071；2.中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

星載天線作為接收和反射電磁信號的載體，是實現(xiàn)深空探測、衛(wèi)星導(dǎo)航、衛(wèi)星通訊及電子偵察等任務(wù)的關(guān)鍵設(shè)備。為實現(xiàn)信號的遠(yuǎn)距離傳輸及獲取微小發(fā)射功率的信號，星載天線需具有較大的口徑；同時，受火箭運載能力和運載空間的限制，星載天線必須質(zhì)量輕且為可展開的形式。美國航空航天局(NASA)、俄羅斯宇航局、歐空局(ESA)、日本宇航科學(xué)研究所(JAXA)及中國空間技術(shù)研究院等科研機(jī)構(gòu)對各種類型的可展開天線進(jìn)行了相關(guān)研究。如圖1所示，根據(jù)結(jié)構(gòu)形式的不同，空間可展開天線可分為固面可展開天線、充氣式可展開天線、半剛性可展開天線及索網(wǎng)反射面可展開天線等[1-3]。

(a) 固面可展開天線 (b) 充氣式可展開天線

目前，在軌運行的大口徑天線主要為索網(wǎng)反射面天線。如圖1. (d)所示，該類天線主要由可展開支撐結(jié)構(gòu)、索網(wǎng)系統(tǒng)和金屬絲網(wǎng)三部分構(gòu)成。在支撐結(jié)構(gòu)的作用下，索網(wǎng)系統(tǒng)張成特定形狀的反射面，金屬絲網(wǎng)依附于索網(wǎng)系統(tǒng)上，實現(xiàn)電磁信號的反射與接收。為保證電磁波能夠有效的聚集，天線反射面的形面精度需有效保證。

由于索網(wǎng)系統(tǒng)不存在穩(wěn)定的無應(yīng)力狀態(tài)，需要施加一定的預(yù)張力才能使其張成滿足工作需求的形狀并具有一定的承載剛度?，F(xiàn)有天線反射面設(shè)計方法主要有兩種：一是節(jié)點與預(yù)張力分步設(shè)計方法，即首先根據(jù)一定的形面精度要求設(shè)計網(wǎng)面節(jié)點的幾何位置，然后尋求一組可使網(wǎng)面節(jié)點保持在設(shè)計位置的平衡預(yù)張力，常用的預(yù)張力設(shè)計方法有非線性有限元法、極小二范數(shù)、動力松弛法、逆迭代算法等；二是節(jié)點與預(yù)張力耦合設(shè)計方法，即利用張力與幾何的耦合關(guān)系實現(xiàn)索網(wǎng)的幾何設(shè)計的方法，常用的有Linkwitz和Schek等人[4]提出的力密度法及其演變方法[5]。

天線索網(wǎng)系統(tǒng)的幾何形狀和預(yù)張力相互牽制、相互耦合。一方面，當(dāng)預(yù)張力設(shè)計不合理時，往往會造成一定的網(wǎng)面誤差，影響天線精度；另一方面，當(dāng)幾何結(jié)構(gòu)設(shè)計不合理時，又會造成預(yù)張力的不均勻，影響反射面的穩(wěn)定性，甚至出現(xiàn)不存在使節(jié)點平衡的解的情況。

傘型索網(wǎng)反射面可展開天線(如圖2所示)結(jié)構(gòu)簡單可靠，反射面精度好，在我國成功應(yīng)用于多個型號中。本文針對傘型天線中廣泛應(yīng)用的工字型索網(wǎng)[6](如圖3所示)，提出一種幾何與力集成設(shè)計方法，該方法可有效控制背網(wǎng)面的張力水平且不受反射面及邊界條件對稱性的限制，具有較好的通用性。

圖2 嫦娥四號月球探測器中繼衛(wèi)星Fig.2 Relay satellite of Chang'e-4 lunar probe

圖3 工字型索網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 A schematic of I-shaped cable net structure

1 工字型索網(wǎng)幾何與力集成設(shè)計方法

1.1 工字型索網(wǎng)節(jié)點力平衡條件

單片工字型索網(wǎng)如圖4所示。為保證反射面的形面精度，前網(wǎng)面的節(jié)點均位于理想反射面上；張力陣與背網(wǎng)面共同作用為前網(wǎng)面成形提供必要的張力；邊界節(jié)點為索網(wǎng)與可展開支撐結(jié)構(gòu)的連接點。

圖4 單片工字型索網(wǎng)Fig.4 Single I-shaped cable net

索網(wǎng)上某節(jié)點i的力平衡方程為：

(1)

其中：Tij為索段的張力；lij為索段長度；j為與節(jié)點i相連的節(jié)點；(xi,yi,zi)，(xj,yj,zj)分別為節(jié)點i和節(jié)點j的坐標(biāo)值；fix,fiy,fiz為節(jié)點在x,y,z方向所受外力；ci為與節(jié)點i相連的索單元數(shù)。對于索網(wǎng)中的自由節(jié)點，當(dāng)其處于平衡狀態(tài)時所受外力為0，即fix=fiy=fiz=0。對于拓?fù)湫螤钜呀?jīng)確定的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，當(dāng)其在不受外載荷作用達(dá)到自平衡狀態(tài)時，結(jié)構(gòu)中所有非約束節(jié)點的力平衡方程是一個齊次線性方程組：

MT=0

(2)

其中：M為節(jié)點力平衡方程的系數(shù)矩陣，由索網(wǎng)節(jié)點位置和節(jié)點間連接關(guān)系唯一確定；T是索單元的張力向量。

對于平面工字型索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，當(dāng)前網(wǎng)面分段數(shù)為N時，整個索網(wǎng)的約束方程數(shù)為4(N-1)(前、背網(wǎng)面各N-1個自由節(jié)點，每個節(jié)點X,Y方向分別受力平衡)，未知索力數(shù)為3N-1，當(dāng)N>3時，未知變量數(shù)小于約束方程數(shù)，此時，節(jié)點平衡方程可能無解，即不能求得適當(dāng)?shù)乃髁χ?，使網(wǎng)面的所有節(jié)點均取得平衡。

特別的，對于邊界條件對稱的工字型索網(wǎng)(四個邊界節(jié)點位于矩形的四個角點上)，可直接將前網(wǎng)面節(jié)點及張力進(jìn)行對稱得到背網(wǎng)面節(jié)點及張力[7]。對于邊界條件不對稱的索網(wǎng)，多采用不斷迭代背網(wǎng)面節(jié)點坐標(biāo)的方式，尋找一組存在平衡張力的節(jié)點位置[8]。上述方法均可得到滿足一定精度要求的節(jié)點坐標(biāo)及平衡張力，但未考慮背網(wǎng)張力值水平。

為此，提出一種可直接考慮背網(wǎng)張力水平的工字型索網(wǎng)幾何與力集成設(shè)計方法。

1.2 背網(wǎng)面節(jié)點坐標(biāo)及張力計算

如圖5所示，背網(wǎng)面上節(jié)點i的坐標(biāo)為Si=(xi,yi,zi)，與其相連的三個節(jié)點分別為ui,i-1,i+1。

圖5 背網(wǎng)面坐標(biāo)及張力求解示意圖Fig.5 Solution diagram of coordinates and pretensions of back net

為使節(jié)點i平衡，則節(jié)點i、i-1、i+1、ui必須在同一平面上，該平面的方程為：

n(x-xi)+m(y-yi)+p(z-zi)=0

(3)

其中，(n,m,p)為平面的方向向量，可利用式(4)求解。

(n,m,p)=(xui-xi,yui-y,zui-zi)×

(xi-1-xi,yi-1-yi,zi-1-zi)

(4)

節(jié)點i+1的坐標(biāo)Si+1為節(jié)點i,i-1,ui坐標(biāo)Si、Sui、Si+1的函數(shù)，即：

Si+1=G(Si-1,Si,Sui)

(5)

節(jié)點i的平衡方程為：

fi+fi+1+fui=0

(6)

其中，fi,fui,fi+1是圖中對應(yīng)索段的張力向量，其大小分別fi,fui,fi+1。索力fi+1為索力fi,fui的函數(shù)：

fi+1=F(fi,fui)

(7)

所以，平衡時背網(wǎng)面節(jié)點坐標(biāo)為前網(wǎng)面節(jié)點坐標(biāo)和背網(wǎng)面第一根索張力的單值函數(shù)。

1.3 工字型索網(wǎng)幾何與力集成設(shè)計方法

對于xoy平面內(nèi)，張力陣沿y方向的平面工字型索網(wǎng)，若要求前網(wǎng)面節(jié)點位置不變，則根據(jù)平面投影原理，給定前網(wǎng)面張力沿水平方向的分量F1x，前網(wǎng)面和張力陣中的張力將唯一確定。

圖6 平面工字型索網(wǎng)迭代求解流程圖Fig.6 Flow chart of iterative algorithm of planar I-shaped cable net

稍加改進(jìn)，上述方法可推廣至前網(wǎng)面具有一定垂度的空間工字型索網(wǎng)的幾何與預(yù)張力設(shè)計中。由于金屬絲網(wǎng)張力等因素的影響，反射面邊界處的索網(wǎng)往往具有一定的垂度。網(wǎng)面設(shè)計過程中要求前網(wǎng)面節(jié)點位于理想反射面上且位置保持不變，張力陣在xoy面內(nèi)的投影平行于y軸。采用嵌套迭代的方式進(jìn)行求解，具體流程如圖7所示。

圖7 空間工字型索網(wǎng)迭代求解流程圖Fig.7 Flow chart of iterative algorithm of spatial I-shaped cable net

2 算例驗證

對于圖8所示的平面工字型索網(wǎng)，其前網(wǎng)面分為8段，張力陣沿豎直方向，圖中各節(jié)點坐標(biāo)如表1所示。

圖8 工字型索網(wǎng)節(jié)點編號Fig.8 Node number of I-shaped cable net

表1 平面工字型索網(wǎng)各節(jié)點坐標(biāo)Table 1 Node coordinates of planar I-shaped cable net

給定前網(wǎng)面張力的水平分量為10N，背網(wǎng)面張力水平分量為20N，算法迭代極限誤差為1×10-13，用進(jìn)退法進(jìn)行迭代求解。如圖9所示，經(jīng)過361步迭代，算法收斂，迭代總用時0.0275s。給定不同的背網(wǎng)面張力水平分量值，設(shè)計結(jié)果如圖10所示，可見，本文所提方法可很好的控制背網(wǎng)面的張力水平。

圖9 算法迭代曲線Fig.9 Algorithm iteration curve

圖10 不同背網(wǎng)面索力水平下的節(jié)點位置Fig.10 Node coordinates of back net under different pretension levels

使用ANSYS軟件對所提網(wǎng)面設(shè)計方法的正確性進(jìn)行驗證。使用不受壓桿單元LINK10對索網(wǎng)進(jìn)行建模，給定索網(wǎng)的彈性模量為40GPa，索網(wǎng)直徑為0.8mm，仿真結(jié)果如圖11所示。各節(jié)點的最大位移為0.705×10-13m，這說明索網(wǎng)各節(jié)點在給定張力作用下處于平衡位置，因此本文所提索網(wǎng)設(shè)計方法是有效的。

圖11 平面工字型索網(wǎng)變形云圖Fig.11 Deformation of planer I-shaped cable net

當(dāng)前網(wǎng)面在金屬絲網(wǎng)的作用下具有一定的垂度時，各節(jié)點坐標(biāo)如表2所示。

表2 空間工字型索網(wǎng)各節(jié)點坐標(biāo)Table 2 Node coordinates of Spatial I-shaped cable net

給定前網(wǎng)面張力的水平分量為10N，背網(wǎng)面張力水平分量為20N，算法迭代極限誤差為1×10-13，用進(jìn)退法進(jìn)行迭代求解。同樣使用ANSYS軟件進(jìn)行驗證，材料參數(shù)與上例相同，金屬絲網(wǎng)對索網(wǎng)的作用以外力的形式添加到前網(wǎng)面的節(jié)點上，仿真結(jié)果如圖12所示。各節(jié)點的最大位移為0.115×10-13m，驗證了所提方法的有效性。

圖12 空間工字型索網(wǎng)變形云圖Fig.12 Deformation of spatial I-shaped cable net

3 結(jié)論

幾何與預(yù)張力設(shè)計直接影響空間索網(wǎng)反射面天線的形面精度，進(jìn)而影響其電性能。本文提出一種適用于工字型索網(wǎng)的幾何與預(yù)張力集成設(shè)計方法，并進(jìn)行了算例驗證。所提設(shè)計方具有較高的精度，可實現(xiàn)對背網(wǎng)面張力水平的控制且不受反射面及邊界條件對稱性的限制，具有一定的應(yīng)用價值。