模態(tài)綜合法在航天器動(dòng)力學(xué)仿真中的精度分析①

蔡一波，杜 冬，周愛明

(上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109)

0 引言

在航天器向大型化、模塊化、平臺(tái)化以及不同研制單位分工合作的時(shí)代潮流下，模態(tài)綜合法具有廣闊的應(yīng)用前景。模態(tài)綜合法最早起源于20世紀(jì)60年代，Hurty[1]在1960年確立了這一概念，Gladwell[2]于1964年在Hurty的基礎(chǔ)上提出了子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(Component Mode Synthesis)，即CMS方法。隨后模態(tài)綜合法逐步發(fā)展出了以CBH(Craig-Bampton-Hurty)法[3]為代表的固定界面模態(tài)綜合法、自由界面模態(tài)綜合法和混合界面模態(tài)綜合法等方法，并在國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究中不斷改進(jìn)和豐富。

模態(tài)綜合法的基本思想是“化整為零，積零為整”，能夠大幅度縮減整體結(jié)構(gòu)特性矩陣的階數(shù)，同時(shí)還能夠保持計(jì)算分析精度，有著諸多優(yōu)點(diǎn)：(1)提高計(jì)算效率，節(jié)約成本；(2)可以在不泄露子結(jié)構(gòu)幾何和材料信息的情況下實(shí)現(xiàn)各研制方的有效對(duì)接，保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán)。因此，模態(tài)綜合法在航空航天、船舶制造等需要解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的大型工程領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用。

本文主要針對(duì)CBH固定界面模態(tài)綜合法進(jìn)行精度分析，從理論公式分析其誤差來源，再通過實(shí)際的航天器模型仿真，以有限元法為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)比不同主模態(tài)截?cái)喾椒▽?duì)固定界面模態(tài)綜合法精度的影響。

1 主模態(tài)截?cái)喾椒?/h2>

固定界面模態(tài)綜合法將整體結(jié)構(gòu)按照結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分割成A、B兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)A、B在界面上進(jìn)行連接，定義二者節(jié)點(diǎn)自由度的交集為界面自由度集，界面自由度集 內(nèi)的所有自由度固定，但A、B的內(nèi)部自由度集iA、iB原有約束維持不變。單個(gè)子結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中m為質(zhì)量陣，k為剛度陣，x為位移坐標(biāo)，fj表示界面力，gi、gj分別表示作用在子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度集、界面自由度集上的其它外部擾動(dòng)力。

主模態(tài)截?cái)嗟臏?zhǔn)則是，如何既最大程度上的縮減結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由度，又能滿足精度要求。在以往研究中應(yīng)用的方法有：頻率截?cái)喾╗4,5,6]、有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)喾╗7,8]、勢(shì)能判據(jù)截?cái)喾╗9]等。下面結(jié)合matlab編程和有限元仿真的方式對(duì)于這三種方法進(jìn)行對(duì)比，建立了某衛(wèi)星的有限元模型，下部分為平臺(tái)子結(jié)構(gòu)1，上部分為載荷子結(jié)構(gòu)2，如圖1所示。

圖1 衛(wèi)星有限元模型Fig.1 Satellite finite element model

圖1中有限元模型底部固支，施加基礎(chǔ)加速度激勵(lì)，計(jì)算響應(yīng)點(diǎn)A的加速度響應(yīng)。

1.1 頻率截?cái)喾?/h3>

主模態(tài)頻率截?cái)喾ㄊ侨∷P(guān)心最高模態(tài)頻率的某一倍數(shù)，對(duì)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)截?cái)唷，F(xiàn)關(guān)心圖1衛(wèi)星模型200Hz以內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性，并采用1～3倍關(guān)心頻率對(duì)各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行主模態(tài)截?cái)?，觀察其保留主模態(tài)階數(shù)和最高精確結(jié)構(gòu)頻率(誤差小于0.5%)，如表1所示。

表1 不同頻率截?cái)嘟Y(jié)果Tab.1 Truncation results based on different frequencies

在表1中，Sf表示所關(guān)心頻率(200Hz)的倍數(shù)。

由表1可知，當(dāng)Sf=1時(shí)，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為95Hz，不滿足200Hz的要求，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留4階主模態(tài)；當(dāng)Sf=2時(shí)，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為328Hz，滿足200Hz的精度要求，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留17階主模態(tài)；當(dāng)Sf=3時(shí)，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為491Hz，滿足200Hz的精度要求，子結(jié)構(gòu)1保留17階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留52階主模態(tài)。由上述可見，頻率截?cái)喾梢杂行p少子結(jié)構(gòu)主模態(tài)數(shù)，極大降低了動(dòng)力學(xué)計(jì)算的工作量，且當(dāng)Sf=2～3倍時(shí)，能較精確地反映衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻模態(tài)特性。

圖2為不同頻率截?cái)啾稊?shù)下，衛(wèi)星系統(tǒng)A點(diǎn)的加速度響應(yīng)曲線。

圖2 頻率截?cái)嗟募铀俣软憫?yīng)Fig.2 Acceleration response for truncation at different frequencies

由圖2可知，當(dāng)Sf=1時(shí)，在0～85Hz激勵(lì)范圍內(nèi)，A點(diǎn)的加速度響應(yīng)與無截?cái)嗟臉?biāo)準(zhǔn)響應(yīng)比較一致；當(dāng)Sf=2時(shí)，在0～340Hz激勵(lì)范圍內(nèi)，A點(diǎn)的加速度響應(yīng)與無截?cái)嗟臉?biāo)準(zhǔn)響應(yīng)比較一致；當(dāng)Sf=3時(shí)間，在0～450Hz激勵(lì)范圍內(nèi)，A點(diǎn)的加速度響應(yīng)與無截?cái)嗟臉?biāo)準(zhǔn)響應(yīng)比較一致?？梢?，當(dāng)Sf=2～3倍時(shí)，頻率截?cái)喾梢暂^高精度地反映衛(wèi)星系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，且隨著截?cái)囝l率增大，高頻激勵(lì)下的響應(yīng)精度也會(huì)增大。

1.2 有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)喾?/h3>

David等人[8]采用有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)喾ㄟM(jìn)行主模態(tài)的選取，定義子結(jié)構(gòu)第 階主模態(tài)的模態(tài)參與因子為：

其中ΦiK為第K階主模態(tài)，定義第K階主模態(tài)有效模態(tài)質(zhì)量和總有效模態(tài)質(zhì)量分別為

(3)

Me的對(duì)角元素表示各主模態(tài)在每個(gè)界面自由度上的有效模態(tài)質(zhì)量之和，則MeK與Me的比值，即有效模態(tài)質(zhì)量比，可反映子結(jié)構(gòu)各階主模態(tài)之間的相對(duì)重要性。

現(xiàn)取0.1,0.01,0.001作為有效模態(tài)質(zhì)量比的閾值，分別計(jì)算截?cái)嗪蟮谋Ａ糁髂B(tài)階數(shù)和最高精確結(jié)構(gòu)頻率，如表2所示。

表2 不同有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)嘟Y(jié)果Tab.2 Truncation results based on different effective mode mass

在表 2中，Sm=0.1為有效模態(tài)質(zhì)量比的閾值。由表 2得，當(dāng) 時(shí)，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為318Hz，子結(jié)構(gòu)1保留9階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留7階主模態(tài)；當(dāng)Sm=0.01時(shí)，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為338Hz，子結(jié)構(gòu)1保留66階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留10階主模態(tài)；當(dāng)Sm=0.001時(shí)，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為653Hz，子結(jié)構(gòu)1保留74階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留62階主模態(tài)?？芍行B(tài)質(zhì)量截?cái)喾梢杂行Эs減保留主模態(tài)數(shù)，提高計(jì)算效率；同時(shí)隨著截?cái)嚅撝档脑黾?，高階模態(tài)頻率的計(jì)算精度下降，但在低頻區(qū)間仍有較高的計(jì)算精度。

圖3為不同截?cái)嚅撝登闆r下，衛(wèi)星系統(tǒng)A點(diǎn)的加速度響應(yīng)曲線。觀察可知，當(dāng)截?cái)嚅撝捣謩e取0.1、0.01、0.001時(shí)，在0～400Hz范圍內(nèi)，A點(diǎn)的加速度響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)曲線比較一致。因此，有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)喾ㄒ部梢员ＷC模態(tài)綜合計(jì)算所得的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性在低頻區(qū)間有較高的精度。

圖3 有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)嗟募铀俣软憫?yīng)Fig.3 Acceleration response for truncation at different effective mode mass

1.3 勢(shì)能判據(jù)截?cái)喾?/h3>

隨著主模態(tài)截?cái)鄶?shù)K的增加，由廣義坐標(biāo)推出子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的位移也會(huì)不同，該位移會(huì)逐漸逼近于精確解，當(dāng)K分別取1,2,…,n時(shí)(n為子結(jié)構(gòu)模態(tài)的總階數(shù))，得到一組位移向量：x1,x2,…,xn，定義集合X={x1,x2,…,xn，0}，可知該集合為一線性空間?，F(xiàn)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)|xK|：

(4)

|xn|-|xK0|<ε

(5)

其中ε為給定的無窮小量。當(dāng)滿足上式時(shí)，可判斷出xK0和xn之間差異很小，可以用xK0來近似替代xn，此時(shí)模態(tài)綜合得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性接近于實(shí)際情況，所以模態(tài)截?cái)嘀恍枰业椒稊?shù)滿足上式的最小K0即可，|xK|代表子結(jié)構(gòu)勢(shì)能的開方，故這一方法又稱勢(shì)能判據(jù)截?cái)喾ā?/p>

圖4為在一定激勵(lì)下，子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2隨截取主模態(tài)階數(shù)K變化的勢(shì)能范數(shù)曲線。

圖4 子結(jié)構(gòu)勢(shì)能范數(shù)曲線圖Fig.4 Diagram of the potential energy norm

由圖4可知，隨著截取主模態(tài)階數(shù)K的增大，結(jié)構(gòu)的勢(shì)能增大，當(dāng)K取到某一值K0時(shí)，勢(shì)能趨于收斂，此時(shí)的K0即為最佳模態(tài)截?cái)鄶?shù)。在圖4中，子結(jié)構(gòu)1的最佳截?cái)嗄B(tài)數(shù)61，子結(jié)構(gòu)2的最佳截?cái)嗄B(tài)數(shù)為233。根據(jù)勢(shì)能判據(jù)截?cái)喾ǎ瑢?duì)衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)綜合后動(dòng)力學(xué)計(jì)算，得到最高精確結(jié)構(gòu)頻率為Hz，圖5為A點(diǎn)的加速度響應(yīng)曲線。

圖5 勢(shì)能判據(jù)截?cái)嗟募铀俣软憫?yīng)Fig.5 Acceleration response for truncation at potential energy criterion

由圖5可知，采用勢(shì)能判據(jù)截?cái)嗟墓潭ń缑婺B(tài)綜合法有很高的精度，與直接計(jì)算所得的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線高度吻合，同時(shí)也能在一定程度上縮減模態(tài)綜合的保留主模態(tài)數(shù)，提高計(jì)算速度。

2 主模態(tài)截?cái)喾椒▽?duì)比

頻率截?cái)喾ā⒂行B(tài)質(zhì)量截?cái)喾ê蛣?shì)能判據(jù)截?cái)喾ǘ寄苡行У販p少模態(tài)綜合計(jì)算時(shí)動(dòng)力學(xué)方程中矩陣的自由度數(shù)，大大地縮短了計(jì)算時(shí)間，且在低頻區(qū)間都有較高的計(jì)算精度，但三種方法仍各有優(yōu)劣。

由表1可知，當(dāng)Sf時(shí)，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留4階主模態(tài)，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為95Hz；當(dāng) 時(shí)，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留17階主模態(tài)，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為328Hz，子結(jié)構(gòu)1在兩種情況下都只保留了1階主模態(tài)，這是因?yàn)樽咏Y(jié)構(gòu)1的低階固有頻率比較大。但隨著子結(jié)構(gòu)2保留主模態(tài)數(shù)由4階增加到17階，計(jì)算所得系統(tǒng)的精確結(jié)構(gòu)頻率很快提高，說明子結(jié)構(gòu)1 的低階主模態(tài)對(duì)于衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻動(dòng)態(tài)特性影響較小，而子結(jié)構(gòu)2的低階主模態(tài)對(duì)于衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻動(dòng)態(tài)特性影響較大，原因是子結(jié)構(gòu)1的剛度相對(duì)較大，在低頻振動(dòng)情況下的變形較小且多為靜力變形，而固定界面模態(tài)綜合法利用約束模態(tài)考慮了靜變形的影響，因此即使子結(jié)構(gòu)1保留的主模態(tài)數(shù)較少，衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻動(dòng)態(tài)特性計(jì)算結(jié)果仍有較好的精度。由表2中Sm=0.1和Sm=0.01的兩組數(shù)據(jù)對(duì)比也可得到這一結(jié)論，總保留主模態(tài)數(shù)由16階增加到76階，其中子結(jié)構(gòu)1保留主模態(tài)數(shù)增加了57階，但最高精確結(jié)構(gòu)頻率只上升了20Hz，進(jìn)一步說明了子結(jié)構(gòu)2低階模態(tài)對(duì)于系統(tǒng)低頻動(dòng)態(tài)特性的影響要大于子結(jié)構(gòu)1。

對(duì)比表1和表2可知，當(dāng)Sf=2時(shí)，總保留主模態(tài)數(shù)為18，子結(jié)構(gòu)1最高精確結(jié)構(gòu)頻率為328Hz；而當(dāng)Sm=0.01時(shí)，總保留主模態(tài)數(shù)為76，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為338Hz，僅提高了10Hz，說明頻率截?cái)喾ㄏ鄬?duì)于有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)喾ㄓ懈叩慕財(cái)嘈省Ｒ驗(yàn)橛行B(tài)質(zhì)量截?cái)喾ㄖ荒軐?duì)比單一子結(jié)構(gòu)內(nèi)各階模態(tài)的重要性，而無法判斷各個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)分別對(duì)于整體系統(tǒng)的影響，這就導(dǎo)致了當(dāng)Sm=0.01時(shí)，子結(jié)構(gòu)1保留了多余的主模態(tài)，進(jìn)而導(dǎo)模態(tài)綜合體計(jì)算效率的下降。對(duì)比表1Sf=3和表2Sm=0.01兩組數(shù)據(jù)也能得到這一結(jié)論，Sf=3時(shí)，總保留主模態(tài)數(shù)為69，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為491Hz；Sm=0.01時(shí)，總保留主模態(tài)數(shù)為76，最高精確結(jié)構(gòu)頻率卻只有338Hz。

頻率截?cái)喾ê陀行B(tài)質(zhì)量截?cái)喾m然都有不錯(cuò)的截?cái)嘈Ч?，但截?cái)啾稊?shù)和閾值的選取具有很大隨機(jī)性，根據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際模型結(jié)構(gòu)的不同，截取的模態(tài)數(shù)量也會(huì)大有不同，從而必然會(huì)影響到結(jié)果的好壞。而勢(shì)能判據(jù)截?cái)喾ㄓ袊?yán)格的理論證明支撐，對(duì)于任意的系統(tǒng)都有很好的適用性，且截?cái)嘟Y(jié)果不因人為因素改變，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，穩(wěn)定性較好，精度高，但勢(shì)能判據(jù)截?cái)喾ㄏ鄬?duì)于前兩種方法，截?cái)鄿?zhǔn)則保守，保留的主模態(tài)數(shù)往往較多，且需要計(jì)算勢(shì)能范數(shù)曲線圖來找出最佳截?cái)嗄B(tài)數(shù)，計(jì)算速度略有不足。

3 結(jié)論

針對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)模型，分析了三種模態(tài)截?cái)喾ㄔ诠潭ń缑婺B(tài)綜合法中對(duì)動(dòng)態(tài)特性和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果精度的影響，結(jié)果表明：

(1)頻率截?cái)喾ㄐ韪鶕?jù)實(shí)際模型，選取合適的截?cái)啾稊?shù)，一般建議選取2～3倍，可對(duì)比不同子結(jié)構(gòu)間主模態(tài)的重要性，截?cái)嗪蟊Ａ舻闹髂B(tài)數(shù)較少，計(jì)算效率較高。

(2)有效模態(tài)質(zhì)量截?cái)喾ㄐ韪鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)，選取合適的截?cái)嚅撝担行B(tài)質(zhì)量比在模態(tài)綜合計(jì)算過程中即可算得，不需要額外的計(jì)算，但該方法只能對(duì)比各子結(jié)構(gòu)自身各階主模態(tài)的重要性，容易造成保留主模態(tài)的冗余。

(3)勢(shì)能判據(jù)截?cái)喾o需憑借經(jīng)驗(yàn)和估計(jì)，截?cái)鄿?zhǔn)則的理論合理性充分，計(jì)算精度最高，但該方法較為保守，保留主模態(tài)數(shù)較多，計(jì)算速度較慢。

(4)對(duì)于精細(xì)化分析，應(yīng)該考慮采用頻率截?cái)喾?，但需要選取多個(gè)截?cái)啾稊?shù)進(jìn)行計(jì)算，找到在關(guān)心頻率范圍內(nèi)使得動(dòng)力學(xué)響應(yīng)精度最高且收斂的最小截?cái)啾稊?shù)，以實(shí)現(xiàn)高效率截?cái)唷?/p>

在航天器動(dòng)力學(xué)仿真中應(yīng)用固定界面模態(tài)綜合法，可結(jié)合實(shí)際的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工程需求來選取合適的主模態(tài)截?cái)喾椒?，在保證精度的同時(shí)有效地提高分析效率。