帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心確定方法

(甘肅省華亭市第二中學(xué)，甘肅 華亭 744100)

1 引言

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的問題是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是歷年高考的熱點(diǎn)。解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)問題的基本思路是：先分析粒子的運(yùn)動(dòng)過程，確定運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，畫出軌跡圓；再綜合運(yùn)用洛倫茲力、向心力及圓的幾何知識(shí)進(jìn)行求解。這類問題對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，多數(shù)學(xué)生感到困難，無從下手。其主要原因是學(xué)生不能在圓周運(yùn)動(dòng)與圓之間建立聯(lián)系，也就不能根據(jù)圓的幾何關(guān)系找到圓心，不能畫出圓弧，也就不能順利解決問題，可見確定圓心是解決這類問題的突破口。

2 典型例題分類解析

2.1 已知粒子射入、射出磁場的速度方向

例1：如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q(q<0)的帶電粒子從x軸上的P(a，0)點(diǎn)以速度v，沿與x軸正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限，不計(jì)粒子重力。求：(1) 勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

圖1

圖2

解析：已知電荷射入和射出磁場的方向，根據(jù)速度方向與圓半徑的垂直關(guān)系，可知y軸是圓的一條直徑，再過P點(diǎn)做速度的垂線，這條垂線就是另一條直徑，兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心。

2.2 已知粒子射入磁場的速度方向和射入磁場、射出磁場的位置

例2(2016年四川卷)：如圖3所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場。一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，從b點(diǎn)離開磁場，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tb，當(dāng)速度大小為vc時(shí)，從c點(diǎn)離開磁場，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tc，不計(jì)粒子重力,則( )。

圖3

A.vb∶vc=1∶2，tb∶tc=2∶1

B.vb∶vc=2∶1，tb∶tc=1∶2

C.vb∶vc=2∶1，tb∶tc=2∶1

D.vb∶vc=1∶2，tb∶tc=1∶2

解析：已知粒子射入磁場的速度方向和射入、射出磁場的位置，兩位置的連線是圓的弦，弦的中垂線過圓的一條直徑，速度的垂線過圓的另一條直徑，兩直徑的交點(diǎn)就是圓心。

圖4

圖5

圖4和圖5中圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為120°和60°，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與圓心角成正比，則有：tb∶tc=2∶1，故選項(xiàng)A正確。

2.3 已知粒子射入磁場的速度方向和任一速度的方向

例3(2016年新課標(biāo)Ⅲ卷)：平面OM和平面ON之間的夾角為30°，其橫截面(紙面)如圖6所示，平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場，速度與OM成30°角。已知粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場，不計(jì)重力。粒子離開磁場的射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為( )。

圖6

解析：已知粒子射入磁場時(shí)的速度方向和圓軌跡的一條切線，根據(jù)速度方向沿著切線方向，可畫出兩切線的夾角，該夾角的平分線經(jīng)過圓的一條直徑。再畫出入射速度的垂線可得到另一條直徑，兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心。

圖7

2.4 已知粒子射入磁場的速度方向和射出磁場時(shí)速度方向的偏向角

例4(2013年新課標(biāo)Ⅰ卷)：如圖8所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的橫截面(紙面)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區(qū)域，射入點(diǎn)與ab的距離為R/2。已知粒子射出去的磁場與射入磁場時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，不計(jì)重力，則粒子的速率為( )。

解析：已知粒子射入磁場時(shí)的速度方向和射出磁場時(shí)的偏向角，由偏向角與軌跡圓的圓心角相等，可知弦與半徑的夾角為60°、弦和兩半徑構(gòu)成等邊三角形。

圖8

圖9

3 圓心的確定方法

根據(jù)“圓與圓周運(yùn)動(dòng)”的關(guān)系及4道典型例題的分析求解，總結(jié)確定圓心的方法如下：

(1) 若知道粒子射入磁場和射出磁場時(shí)的速度，分別作出兩速度的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)就是圓心；

(2) 若知道粒子射入磁場的速度和射出磁場的位置，連結(jié)粒子射入與射出磁場的兩位置得到圓弧的弦，再畫出弦的中垂線和射入磁場的速度的垂線，則兩條垂線的交點(diǎn)就是圓心；

(3) 若知道粒子射入磁場的速度和粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓弧的一條切線，畫出速度的延長線，該速度的延長線是圓弧的另一條切線，再作兩切線相交的夾角的平分線和速度的垂線，則角平分線與速度的垂線的交點(diǎn)就是圓心；

(4) 若知道粒子射入磁場的速度和射出磁場時(shí)速度的偏向角，根據(jù)速度的偏向角與圓心角相等的關(guān)系可得到弦與半徑的夾角，就可以畫出弦，再作出速度的垂線和弦的中垂線，則兩垂線的交點(diǎn)就是圓心。

4 教學(xué)建議

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)問題與幾何密切相關(guān)，是物理與數(shù)學(xué)相結(jié)合的一類綜合問題，對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力要求較高，而學(xué)生的困難之處恰是不能將圓的幾何知識(shí)遷移到圓周運(yùn)動(dòng)中來，沒能抓住它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。針對(duì)這一現(xiàn)象結(jié)合實(shí)際教學(xué)，給出以下3點(diǎn)教學(xué)建議。

(1) 復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)中圓的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生熟悉切線、直徑、圓心角、弦的幾何關(guān)系，為圓周運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

(2) 引導(dǎo)學(xué)生建立圓與圓周運(yùn)動(dòng)之間的相互聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)知識(shí)在物理問題中的應(yīng)用。

(3) 鼓勵(lì)學(xué)生多作圖，培養(yǎng)學(xué)生使用尺規(guī)作圖的習(xí)慣和作圖、識(shí)圖的能力，在作圖的過程中體會(huì)“找圓心”的基本方法。