“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

林花

“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。如果用一個直角坐標(biāo)系衡量學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，數(shù)學(xué)知識、技能就是橫軸上的因素，而數(shù)學(xué)思想方法就是縱軸上的內(nèi)容，淡化或忽略思想方法的教學(xué)，都不利于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識和能力的發(fā)展?！弊鳛楸姸嗨枷胫械囊环N，“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)涵是什么？該如何把它應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？下面來談?wù)劰P者的粗淺認識。

一、對“數(shù)形結(jié)合”思想的理解

（一）何謂“數(shù)形結(jié)合”

“數(shù)形結(jié)合”一詞最早出現(xiàn)在華羅庚先生《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問題》的科普小冊子中。這個名詞推出不久，立即獲得了數(shù)學(xué)界的普遍認同。早期的“數(shù)”是指古代的計數(shù)，現(xiàn)在表示數(shù)量的概念；“形”早期是古代的形狀，現(xiàn)在表示空間的概念。數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化。

劉加霞教授曾經(jīng)于2012年在《“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)涵、發(fā)展及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透》中提出：“‘?dāng)?shù)主要是指數(shù)、數(shù)量關(guān)系式、運算式、函數(shù)、關(guān)系式、方程等，其核心是抽象的代數(shù)式、函數(shù)解析式、方程；‘形則主要指幾何圖形與直角坐標(biāo)系下的函數(shù)圖像?！?/p>

但是也有人認為，“數(shù)”指數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式及用語言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學(xué)資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息的方式。

以上可知，研究者們對“數(shù)形結(jié)合”思想中“數(shù)”和“形”所指為何物，理解并不相同。但從小學(xué)數(shù)學(xué)一線教師教學(xué)實際的角度來說：如何理解“數(shù)”與“形”的內(nèi)涵固然重要，而能從“數(shù)”與“形”緊密聯(lián)系、互相解釋和相互轉(zhuǎn)化的角度認識和思考問題，且在當(dāng)下的課堂教學(xué)中滲透這一思想方法，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)可能更加重要。

（二）“數(shù)形結(jié)合”與“幾何直觀”之辨析

《課程標(biāo)準（2011年版）》提出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！倍邢喈?dāng)一部分的數(shù)學(xué)老師將其與“數(shù)形結(jié)合”混為一談。顯然，這兩個概念都是以圖形作為對象，凸顯了幾何圖形在數(shù)學(xué)課程以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。但“幾何直觀”是以圖形為研究問題的載體，看圖想事，看圖說理，更多指向“直觀”；而數(shù)形結(jié)合，“形”只是研究問題的一個方面，可能是“以形助數(shù)”，也可能是“以數(shù)解形”，更突出的應(yīng)是二者的“結(jié)合”，但“結(jié)合”的最終目的是為了幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀能力。通俗地說，數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，幾何直觀是一種教、學(xué)的手段。在課堂教學(xué)中，常常會在“數(shù)形結(jié)合”的思維模式下，采用“幾何直觀”的手段解決復(fù)雜的問題。

二、“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《課程標(biāo)準（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如分數(shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等?！泵鞔_了“數(shù)形結(jié)合”思想之于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要價值以及逐步理解和掌握的過程特征。

數(shù)形結(jié)合思想的核心就是，數(shù)學(xué)的兩大研究對象“形”與“數(shù)”之間的相互轉(zhuǎn)化、相互表達和相互解決。而這種“相互轉(zhuǎn)化、相互表達和相互解決”則是數(shù)學(xué)教學(xué)培育學(xué)生建立數(shù)學(xué)直觀能力的重要方式。

（一）形數(shù)轉(zhuǎn)化，形象直觀

就“數(shù)”與“形”的“相互轉(zhuǎn)化”而言，我們可以利用“形”來加深對“數(shù)”的理解，也可以通過“數(shù)”加深對“形”的理解。比如：在“用數(shù)對確定位置”一課的教學(xué)中：

指名學(xué)生說出張亮的位置。

學(xué)生可能會說：周明的左邊，孫芳的后面，也可能會說：第二組第3個，還可能會說：第2組第3行等。

師引導(dǎo)學(xué)生用“列、行”來表達，并強調(diào)：一般先說列，再說行。

第二個環(huán)節(jié)在學(xué)生能用語言正確描述物體位置后，將情境圖抽象為網(wǎng)格圖（如上圖2），再描述同學(xué)的位置或根據(jù)描述的位置找出是哪位同學(xué)。

第三個環(huán)節(jié)要求學(xué)生將表示位置的方法變得更簡練一些，最后引出用“數(shù)對”來表示位置。

這節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生用行與列、組與行、橫排與豎排的“序數(shù)”等“數(shù)”（數(shù)對）來幫助小學(xué)生明確人或物在“二維平面”上的位置。并通過各種練習(xí)以加深學(xué)生看到“形”就想到“數(shù)（數(shù)對）”，熟練地用“數(shù)（數(shù)對）”來表達“形”，形象、直觀地實現(xiàn)“由形到數(shù)，由數(shù)至形”的良好轉(zhuǎn)化與表達。

再譬如，在學(xué)習(xí)“認識負數(shù)”一課中，教師可以通過溫度計“零上溫度與零下溫度”、往東和往西（或南北）相反方向走幾步的“距離”、收入或支出等“形”（數(shù)軸）來幫助小學(xué)生理解正、負數(shù)要表達的“兩種相反意義的量”。逐漸把一個實際問題抽象成一個數(shù)學(xué)直觀模型。反之，也可以培養(yǎng)學(xué)生把直觀模型“還原”為實際問題的能力，即能根據(jù)數(shù)軸上的點以及對應(yīng)的正、負數(shù)說出其代表的實際含義。這一舉例也體現(xiàn)了———“形”是直觀的，“數(shù)”離不開抽象。抽象的“數(shù)”更不能脫離“形”的直觀、形象。

（二）以形解數(shù)，加強聯(lián)系

就“數(shù)”與“形”的“相互表達”而言，我們可用“形”來表示“數(shù)”以把握“數(shù)量之間”的關(guān)系，也可用“數(shù)”來表示“形”以把握“形之屬性”，從而加深二者之間的聯(lián)系、溝通與理解。比如，在解決問題的教學(xué)中，為了更好地分析信息與信息之間、信息與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析各個數(shù)量的意義，教師可以充分利用學(xué)生形象思維的特點，利用“形”來解釋、演示、幫助理解抽象的“數(shù)”。在課堂教學(xué)中，教師可以利用線段圖這個“形”，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖例結(jié)合起來，幫助學(xué)生建立已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系。讓抽象的數(shù)學(xué)問題直觀呈現(xiàn)，變抽象思維為形象思維，化難為易，從而使問題迎刃而解。

如：三年級《求一個數(shù)的幾倍是多少》中：“一盒軍棋8元，一盒象棋的價錢是軍棋的4倍。一盒象棋多少元錢？”為了更好地引導(dǎo)學(xué)生理解一倍量與多倍量之間的關(guān)系，教師可以有意識的把“數(shù)形結(jié)合”思想滲透在學(xué)生獲得知識和解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生利用線段圖進行分析。（如下圖）

讓學(xué)生明確這里是把軍棋的單價8元作為一份，象棋的單價是軍棋的4倍，也就是有4個8，列出算式：8×4=32（元）。在此基礎(chǔ)上還可以進行拓展提高：一盒軍棋8元，一盒象棋的價錢比一盒軍棋價錢的4倍少2元，一盒象棋多少元錢？當(dāng)學(xué)生理解了第一道題數(shù)量間的關(guān)系后就能輕車熟路地再次利用線段圖理解題意解決問題了。

利用線段圖（當(dāng)然還可以根據(jù)年級特點，用其他的直觀形象來表達），用“形”的直觀表達數(shù)量間的關(guān)系，將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，使一些學(xué)生難于理解的問題，迎刃而解。事實證明，“以形解數(shù)”是讓形象思維與抽象思維協(xié)同應(yīng)用的過程，其教學(xué)效果顯而易見，學(xué)生思維變清晰了，思路也開闊了。

（三）數(shù)形“結(jié)合”，理解應(yīng)用

就“數(shù)”與“形”的“相互解決”而言，它是在“以形助數(shù)”和“以形解數(shù)”基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生形成“數(shù)形結(jié)合”之?dāng)?shù)學(xué)直觀能力，以便其更好地理解、學(xué)習(xí)并應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

比如《正比例的意義》一課中，在理解了“正比例的意義”之后，讓學(xué)生認識正比例關(guān)系圖像。學(xué)生之前已經(jīng)具備了數(shù)對與平面上的點一一對應(yīng)的知識基礎(chǔ)，教師在這節(jié)課就可以進一步擴展，即把成正比例關(guān)系的兩個量中相對應(yīng)的兩個數(shù)都看作是一個“數(shù)對”。

1.借“數(shù)”明“形”，解決問題。即借助“數(shù)”精確性和嚴密性來闡明“形”的屬性，即以“數(shù)”作為手段，“形”作為目的。教學(xué)時，先出示方格圖（如下）：

（1）如果將表格中每兩個相對應(yīng)的數(shù)看作一個數(shù)對，（1，3.5）對應(yīng)的位置在哪里？你能將例題表格中的其他數(shù)對一一表示出來嗎？

（2）思考：請你把這些點連起來。這是一條什么線？（0，0）表示什么？每個點相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值是否相等？為什么？通過這些問題，讓學(xué)生看到正比例圖象是一條從原點出發(fā)無限延伸的射線，這條線上所有點對應(yīng)的兩個量的比值都相等。當(dāng)然反過來也可以說這條射線上的每一個點對應(yīng)的就是成正比例關(guān)系的兩個量的某一組具體值。這個環(huán)節(jié)借“數(shù)”明“形”，讓學(xué)生經(jīng)歷成正比例圖象的過程，通過“數(shù)對”精確地闡明正比例圖像的特征。

2.借“形”明“數(shù)”，探索圖像特征。即借助“形”的生動性和直觀性闡明“數(shù)”之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的。比如本節(jié)課在學(xué)生初步理解圖像特征的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考、討論：（10，35）和（12，42）這兩個點是否也在這條射線上？然后再連一連，進行驗證。接著讓學(xué)生學(xué)會直接利用圖像思考完成第（3）題。再延升到：如果買了am彩帶，付了b元錢，a和b是什么關(guān)系？使學(xué)生理解線上的點與相關(guān)聯(lián)的量的數(shù)存在著一一對應(yīng)關(guān)系。最后引導(dǎo)學(xué)生完成第（4）題，體會利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的直觀性與便捷性。

這就是“成正比例”的量之“形”與“數(shù)”的相互分離、相互轉(zhuǎn)化、相互表達和相互解決，最終促使我們把握其本質(zhì)特征的一種思維方式──數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵。

“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！比A羅庚先生的這首小詞明確告訴我們：數(shù)形結(jié)合是一種重要的學(xué)習(xí)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)有意識地強調(diào)與滲透，牢牢地抓住數(shù)與形之間的聯(lián)系，能夠全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進而提高課堂教學(xué)的效果。

【參考文獻】

[1]高崇輝.數(shù)形結(jié)合思想的歷史發(fā)展及其思維意蘊與教學(xué)價值[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011版）[M].北京師范大學(xué)出版社