整體思想解題策略研究

周超富

[摘要]整體思想是數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法.從整體上認(rèn)識(shí)問題，利用知識(shí)聯(lián)系來對(duì)問題簡化變形，可實(shí)現(xiàn)問題的高效求解.整體思想解題的策略有整體代入、整體換元、整體變形、整體轉(zhuǎn)化等.研究應(yīng)用整體思想解題的策略，能提高學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞]整體思想;解題;策略

[中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058（2020）02-0016-02

整體思想是特殊的思想方法.整體思想，即探究問題時(shí)不著眼于問題的局部，而是關(guān)注問題的整體形式、結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)，從而充分認(rèn)識(shí)問題，把握問題的本質(zhì)內(nèi)涵.整體思想的常用解題策略有如下幾種.

一、整體代入

整體代入常用于數(shù)與式的運(yùn)算中，解題時(shí)常將題干的條件視為一個(gè)整體，代入到所求問題中，從而減少計(jì)算量，提高解題效率.整體代入最為關(guān)鍵的一步是根據(jù)實(shí)際情況對(duì)問題或條件進(jìn)行變形，構(gòu)建出符合代入的形式結(jié)構(gòu).

[例1]已知，試求的值.

解析：直接利用已知條件無法求出a和b的值，只能考慮通過觀察已知式和待求式的特點(diǎn)，采用整體代入的方式求解.首先對(duì)已知式進(jìn)行簡單變形，可得a-b=-4ab，則只需要在待求式中變形出a-b的形式，就可以建立條件與問題之間的關(guān)系.而，將代入上式可得，即的值為6.

評(píng)析：本題屬于代數(shù)式的求值題.常用的求解方法有兩種.一是求解未知參數(shù)間接求值;二是整體代入間接求值.而上述解題過程采用的就是整體代入的方法.先變形，后整體代入.雖增加了結(jié)構(gòu)分析的過程，但可以簡化運(yùn)算.

二、整體換元

換元法是數(shù)學(xué)解題常用的簡化方法，而與整體思想相結(jié)合的整體換元更能凸顯方法的優(yōu)勢(shì)，尤其是對(duì)于多元、高次方程問題，巧妙利用整體換元法可以達(dá)到降低思維難度的目的.而在整體換元過程中需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是關(guān)注其中的相同項(xiàng);二是關(guān)注參數(shù)的取值范圍.

[例2]已知x和y均為實(shí)數(shù)，且滿足方程x²+3x+y-3=0，試求x+y的最大值.

解析：已知條件為二元二次方程，x和y之間存在著大小關(guān)系，因此無法直接求出x和y的值.此時(shí)可以將x+y視為一個(gè)整體，通過整體換元將已知方程變形為關(guān)于x的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.將已知方程等號(hào)的左側(cè)變形為x+y，則有x+y=x²-2x+3，令x+y=z，則z=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，已知x為實(shí)數(shù)，則當(dāng)x=-1時(shí)，z可取得最大值4，即x+y的最大值為4.

評(píng)析：本題的難點(diǎn)在于所給方程既是關(guān)于x的方程，也是關(guān)于y的方程，無法直接獲得x和y的取值范圍.實(shí)際上該方程就是x和y的關(guān)系式，最為有效的方式就是通過整體換元的方式構(gòu)造出求解函數(shù)，利用函數(shù)求最值的方法達(dá)到目的.

三、整體變形

在遇到一些不規(guī)則的圖形問題時(shí)，可以考慮應(yīng)用整體變形的方式，通過適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)全或分割來求解.

[例3]已知半圓O的直徑AB為2，在其圓弧上取一點(diǎn)C，過點(diǎn)C作AB的平行線，交圓弧AB于點(diǎn)D，再連接OC和OD，如圖1所示.若∠COD=90°，連接AD和CO，試求圖中陰影部分的面積.

解析：本題屬于常見的幾何陰影面積求值題.圖中的陰影部分為扇形和三角形的組合，常規(guī)的求法是通過割補(bǔ)的方式來求解.但相對(duì)而言，計(jì)算步驟較多，需要考慮多個(gè)圖形的幾何面積.此時(shí)可以從整體上來考慮.由于CD//AB，對(duì)于△ADC，可以視為是以CD為底，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形，則CD邊上的高就為點(diǎn)O到CD的距離，分析可知其面積與△COD的面

積相等，通過重新組合可知陰影部分就與扇形OCD的面積相等，可直接利用扇形面積公式完成求解，即，則圖中陰影部分的面積為.

評(píng)析：本題是從整體上對(duì)圖形進(jìn)行重組變形，是圖形割補(bǔ)的一種方式，相較于常規(guī)的面積割補(bǔ)，其特殊之處在于采用了局部等面積轉(zhuǎn)化的方式，并從整體上將陰影部分變形為一個(gè)規(guī)則圖形.該整體變形的關(guān)注點(diǎn)有兩個(gè)：一是圖形的規(guī)則化;二是圖形整體的簡潔化.

四、整體轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化是一種重要的解題策略.從整體上對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形則是基于數(shù)學(xué)整體思想的一種重要形式.即解題時(shí)基于知識(shí)之間的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的新問題，然后通過對(duì)新問題的簡單求解來達(dá)到解題的目的.采用整體轉(zhuǎn)化策略解題時(shí)需要特別關(guān)注轉(zhuǎn)化前后是否“等價(jià)”，確保答案準(zhǔn)確.

[例4]已知一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為，如果兩函數(shù)的交點(diǎn)為點(diǎn)A（-2，-1）和點(diǎn)B（n，2），回答下列兩個(gè)問題：

（1）試求兩函數(shù)的解析式;

（2）已知不等式y(tǒng)₁>y₂，試求x的取值范圍.

解析：本題為常規(guī)的函數(shù)題，對(duì)于第（1）問可以采用常規(guī)的“點(diǎn)與函數(shù)解析式的互求”策略來求解，可解得一次函數(shù)解析式為y=x+1，反比例函數(shù)的解析式為.對(duì)于第（2）問，粗略看屬于解不等式題，但考慮到是以函數(shù)為背景的問題，則可以采用整體化歸的策略.將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像分析題，分別繪制y₁和y₂的圖像，如圖2所示.y₁>y₂則表示一次函數(shù)圖像位于反比例函數(shù)圖像上端的部分.根據(jù)圖像可知在原點(diǎn)的左側(cè)為-21，因此x的取值范圍就為-21.

評(píng)析：本題是中考常見的函數(shù)綜合題，其特殊之處在于第（2）問依托函數(shù)構(gòu)建了不等式問題，在解題時(shí)可以充分利用不等式與圖像之間的聯(lián)系，從整體上將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像分析題.該解法的優(yōu)勢(shì)在于幾何法解代數(shù)問題更具直觀性，可簡化運(yùn)算直接獲解.

總之，無論是整體代入、還原，還是整體變形、化歸，都是整體思想解題的表現(xiàn)形式，其在代數(shù)與幾何問題中均有著廣泛的應(yīng)用.整體思想的應(yīng)用是基于對(duì)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生的能力有著較高的要求.因此在實(shí)際教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重知識(shí)本質(zhì)的挖掘，養(yǎng)成整體分析的習(xí)慣，逐步拓展學(xué)生的解題思路.

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