數(shù)學(xué)問題2155的新解與推廣

鄭嬌鳳 祝敏君 陳清華

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2013年第12期中的2155號(hào)數(shù)學(xué)問題是一道經(jīng)典的問題，本文在給出問題2155新解的基礎(chǔ)上,得到以下三個(gè)結(jié)論. 1)發(fā)現(xiàn)該問題所得到的結(jié)論∠EAF=135°是EF=BE+DF的充要條件;2)問題2155對(duì)一般三角形仍然成立;3)問題2155可以推廣到三維空間的三棱錐情形. 先回顧2155問題.

圖1

如圖1所示,在正方形ABCD中,E,F分別是CB,CD的延長線上的點(diǎn),已知EF=BE+DF,求∠EAF的度數(shù).

王遠(yuǎn)征老師給出了三角公式解法,呂愛生老師提供了幾何解法,本文從向量視角給出新的解法,并對(duì)其結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的推廣.

1 問題2155的新解

圖2

①

ab-1=a+b.

②

2 ∠EAF=135°是EF=BE+DF的充要條件

根據(jù)本題的題設(shè)條件,我們發(fā)現(xiàn):所求結(jié)果∠EAF=135°不僅是EF=BE+DF的必要條件,而且還是充分條件,即有

定理1如圖1所示,在正方形ABCD中,E,F分別是CB,CD的延長線上的點(diǎn),則EF=BE+DF的充要條件是∠EAF=135°.

證明必要性證明同上,下證充分性.

以C為原點(diǎn),CE為x軸,CF為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖2),記AD=1,DF=a,BE=b,則

因?yàn)椤螮AF=135°,所以

整理得

(a+b)2=(ab-1)2.

圖3

a+b=ab-1.

①

②

3 問題2155在平面上的推廣

定理1說明了直角三角形中邊與角的一種關(guān)系,在一般三角形中是否也有這種邊與角的關(guān)系呢?易知在滿足條件EF=BE+DF或∠EAF=135°時(shí),點(diǎn)A是△CEF的內(nèi)切圓圓心,因此可以將定理1推廣到一般三角形中.

圖4

①

故

②

③

由式①②③有

圖5

因此P是△ABC內(nèi)切圓的圓心,過點(diǎn)P向△ABC三邊作垂線,垂足分別為E,F,H(如圖5所示),則HA=EA,HC=FC,故

AC=HA+HC=EA+FC.

4 問題2155在空間上的推廣

進(jìn)一步考慮將定理從二維平面推廣到三維空間.先回顧二面角平分面的一個(gè)性質(zhì).

引理四面體二面角平分面上任意一點(diǎn)到形成這個(gè)二面角的兩個(gè)面的距離相等.

定理3如圖6,在三棱錐A-BCD中,P是側(cè)二面角平分面交線上一點(diǎn),過P點(diǎn)分別作三棱錐的面ABC、面ACD、面ABD、面BCD的垂線,垂足分別為E,F,G,H,則S△EBC+S△FCD+S△GDB=S△BCD的充要條件是P為內(nèi)切球的球心.

圖6 圖7

證明過點(diǎn)P,E,H的平面與BC交于Q(如圖7).因?yàn)镻E⊥平面ABC,所以PE⊥EQ,PE⊥BC;同理可證,PH⊥HQ,PH⊥BC;所以BC⊥平面PEH,于是EQ⊥BC,HQ⊥BC,即EQ,HQ分別是△EBC和△HBC邊BC上的高.

充分性證明:因?yàn)镻是內(nèi)切球的球心,所以PE=PH,故△PEQ≌△PHQ(HL),從而有EQ=HQ,因此S△EBC=S△HBC.同理可證

S△FCD=S△HCD,S△GDB=S△HDB.

故S△EBC+S△FCD+S△GDB=S△HBC+S△HCD+S△HDB=S△BCD.

必要性證明:過點(diǎn)P,F,H的平面與CD交于S,過點(diǎn)P,G,H的平面與DB交于T.

因?yàn)镻E2+EQ2=PH2+HQ2,所以PH2=PE2+EQ2-HQ2.同理有

PH2=PF2+FS2-HS2,
PH2=PG2+GT2-HT2.

因?yàn)镻是側(cè)二面角平分面交線上一點(diǎn),所以PE=PF=PG,所以

EQ2-HQ2=FS2-HS2=GT2-HT2.

因此，(EQ-HQ),(FS-HS),(GT-HT)符號(hào)相同.

又因?yàn)镾△EBC+S△FCD+S△GDB=S△BCD,所以

EQ·BC+FS·CD+GT·DB=
HQ·BC+HS·CD+HT·DB,

因此(EQ-HQ)=0,(FS-HS)=0,(GT-HT)=0，則PH2=PE2=PF2=PG2,所以P為內(nèi)切球的球心.

圖8

證明如圖9，過P作PE⊥QM,PH⊥QN,因?yàn)锽C⊥平面MQN,所以∠MQN=α,BC⊥PE.因?yàn)镼M和BC相交,故PE⊥平面ABC,同理可證PH⊥平面BCD.

圖9

因?yàn)镻是三棱錐A-BCD內(nèi)切球的球心,所以PE,PH都是內(nèi)切球半徑.以P為圓心PE為半徑畫圓,即球P與圓P半徑相等,則MN與圓P必然相離,下面說明MN與圓P不可能相交或相切.

因?yàn)镸N在平面ABD上,而平面ABD與球P至多只有一個(gè)交點(diǎn),故MN與圓P也至多只有一個(gè)交點(diǎn),即MN與圓P不可能相交.

若MN與圓P相切,切點(diǎn)記為G,則PG⊥平面ABD,故有PG⊥AB.又因?yàn)镻E⊥AB,所以AB⊥平面MQN.已知BC⊥平面MQN,因此AB∥BC,矛盾,因此MN與圓P不可能相切.

順便指出,三棱錐是正四面體時(shí),MN與AD重合,上述結(jié)論仍然成立.對(duì)于其他二面角也有對(duì)應(yīng)的結(jié)論,這里就不再贅述.