代數(shù)體函數(shù)的幾個定理

譚 洋

(北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 珠海 519085)

代數(shù)體函數(shù)的唯一性是值分布論中的一個重要研究課題,已有一些研究成果[1-11]. 如，VALIRON[10]給出了著名的4v+1值定理;HE[11]得到了改進(jìn)的4v+1值定理;何育贊[1]研究了涉及重值的代數(shù)體函數(shù)的唯一性;孫道椿和高宗升[7]定義了 代數(shù)體函數(shù)的運(yùn)算并進(jìn)一步研究了涉及重值的代數(shù)體函數(shù)的唯一性;姜云波和高宗升[3]研究了2個代數(shù)體函數(shù)記重?cái)?shù)分擔(dān)公共值的唯一性問題. 我們知道,Nevanlinna開創(chuàng)了亞純函數(shù)值分布理論并得到亞純函數(shù)五值定理[12]、四值定理[13]. 之后，很多學(xué)者對亞純函數(shù)值分布進(jìn)行了深入研究. 如強(qiáng)化了亞純函數(shù)五值定理,得到亞純函數(shù)五值強(qiáng)化定理[14].

在文獻(xiàn)[13-14]的基礎(chǔ)上,本文研究了代數(shù)體函數(shù)的唯一性問題和分擔(dān)值較少時2個代數(shù)體函數(shù)的特征函數(shù)之間的關(guān)系,分別將亞純函數(shù)五值強(qiáng)化定理和四值定理推廣到代數(shù)體函數(shù).

1 基本概念和相關(guān)性質(zhì)

關(guān)于代數(shù)體函數(shù)的一些基本性質(zhì)和結(jié)果可參閱文獻(xiàn)[15-16]. 本文的符號除特別說明外均采用 Nevanlinna 理論的常用符號[14-16]. 本文中用表示復(fù)平面,用表示擴(kuò)充復(fù)平面.

設(shè)Ak(z),Ak-1(z),…,A0(z)是定義在復(fù)平面上的一組沒有公共零點(diǎn)的全純函數(shù),則方程

Φ(z,W)=Ak(z)Wk+Ak-1(z)Wk-1+…+A1(z)W+A0(z)=0

(1)

ψ(z,M)=Bs(z)Ms+Bs-1(z)Ms-1+…+B1(z)M+B0(z)=0.

設(shè)W(z)是由式(1)定義在復(fù)平面上的k值代數(shù)體函數(shù). 稱z0是W(z)的臨界點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)Ak(z0)=0或者Φ(z0,W)與偏導(dǎo)數(shù)ΦW(z0,W)有公共根(即Φ(z0,W)有重根,z0為分支點(diǎn)). 所有臨界點(diǎn)之集稱為臨界集,記為Sw,稱其補(bǔ)集Tw=-Sw為正則集. 每一個臨界點(diǎn)z0Sw是孤立點(diǎn),在z0附近|(z-z0)kW(z)|有界,且是可去奇點(diǎn)或極點(diǎn),因此,代數(shù)體函數(shù)W(z)在球面上是按球距連續(xù)的. 本文研究的函數(shù)一般只在正則集Tw中討論,剩下的孤立臨界點(diǎn)由連續(xù)性即可唯一確定.

設(shè)W(z)是k值代數(shù)體函數(shù),a(a,W)表示所有W(z)-a的零點(diǎn)集合(不計(jì)重?cái)?shù))，表示在|z|≤r內(nèi)W(z)-a的所有零點(diǎn)數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù)，但包含有分支點(diǎn)的零點(diǎn)),表示在|z|≤r內(nèi)W(z)-a和M(z)-a的所有公共零點(diǎn)數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù)). 相應(yīng)的計(jì)數(shù)函數(shù)分別記為(r,1/(W-a))及0(r,a),稱a是2個代數(shù)體函數(shù)W(z)和M(z)的IM公共值,若(a,M).

下面給出亞純函數(shù)的五值強(qiáng)化定理和四值定理:

則f(z)≡g(z).

(ii)

(iii)對任意的a≠aj(j=1,2,3,4),有

引理1[15]設(shè)W(z)為方程(1)所定義的v值代數(shù)體函數(shù),aj是q個不同復(fù)數(shù)(有窮或否),則

當(dāng)W(z)為有窮級時,有

S(r,W)=O(logr) (r→);

當(dāng)W(z)為無窮級時,有

S(r,W)=O(logrT(r,W)) (r→,rE),

可能除去一個線性測度有窮的r值集E.

引理2[15]設(shè)W(z)和M(z)為2個v值代數(shù)體函數(shù),若W(z)?M(z),則

2 主要定理及證明

本文將定理A推廣到代數(shù)體函數(shù),得到:

則W(z)≡M(z).

(2)

由式(2),有

再由引理2,有

(3)

再結(jié)合引理1可得

(4)

整理式(4),有

所以

這與題設(shè)條件矛盾,所以W(z)≡M(z). 證畢.

為研究分擔(dān)值較少時,2個代數(shù)體函數(shù)的特征函數(shù)之間的關(guān)系,將定理B推廣到代數(shù)體函數(shù)：

(ii)

(iii)對任意的a≠aj(j=1,2,…,4v),有

證明(i)由引理1,有

此外,由于

所以

T(r,W)≤(1+o(1))T(r,M),

T(r,M)≤(1+o(1))T(r,W).

從而得到(i)的結(jié)論.

(ii)由(i)可知

(1+o(1))v[T(r,W)+T(r,M)]=

(2v+o(1))T(r,W),

則

同理有

從而得到(ii)的結(jié)論.

(2v+1)(1+o(1))T(r,W)≤

再由代數(shù)體函數(shù)第一基本定理有

從而有

同樣可以得到

證畢.