帶時(shí)滯項(xiàng)的Boussinesq-Beam方程的拉回吸引子

徐瑰瑰, 王利波, 林國(guó)廣

(1. 凱里學(xué)院理學(xué)院， 凱里 556011； 2. 云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 昆明 650091)

帶有時(shí)滯項(xiàng)的Boussinesq-Beam方程如下：

(1)

其中,Ω是N(N≥3)中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,h是作用在某種帶有遺傳特征的解上的算子,f(x,t);L2(Ω))為依賴于時(shí)間的外力項(xiàng),φ是區(qū)間[-r,]上的初值,,α≥0，r(>0)是時(shí)滯影響的長(zhǎng)度. 對(duì)任意的t≥,用ut表示定義在區(qū)間[-r,0]上滿足ut(θ)=u(t+θ)(θ(-r,0))的函數(shù).

當(dāng)α>0時(shí),方程(1)是改進(jìn)的Boussinesq方程. 文獻(xiàn)[1]研究了帶阻尼的廣義Boussinesq方程utt-Δu-Δutt+Δ2u-kΔut=Δf(u)解的整體與局部存在性以及解的爆破. 文獻(xiàn)[2]利用壓縮映射原理證明了帶有流體力學(xué)的阻尼項(xiàng)的Rosenau方程在n維時(shí)間權(quán)重的Sobolev空間中解的整體存在性與漸近性. 文獻(xiàn)[3]在一定假設(shè)條件下證明了帶非線性項(xiàng)方程utt-Δu-Δutt+Δ2u+kΔut=Δf(u)的弱解的整體存在性. 當(dāng)α=0時(shí),方程(1)是Beam方程,又稱為梁方程,是出現(xiàn)在不同物理背景中的四階偏微分方程. 文獻(xiàn)[4-7]得到了Beam方程的解的爆破、弱解的整體存在性、爆破速率以及一致吸引子等相關(guān)結(jié)論.

目前，對(duì)帶有時(shí)滯項(xiàng)的Boussinesq-Beam方程的研究比較少,本文在文獻(xiàn)[14]、[17]的基礎(chǔ)上,研究帶有時(shí)滯項(xiàng)的Boussinesq-Beam方程的拉回吸引子的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

為方便起見，引入以下記號(hào).

用CX表示Banach空間C([-r,0];X),并賦予上確界模,對(duì)任意的uCX,其范數(shù)記為

記(X,‖·‖X)、(Y,‖·‖Y)是滿足連續(xù)嵌入X?Y的Banach空間. 用CX,Y表示Banach空間CX∩C1([-r,0];Y),并定義其上范數(shù)‖·‖CX,Y為

類似于文獻(xiàn)[11],將算子h定義為h:×CH→H且滿足

(H1)對(duì)任意的ξCH,t→h(t,ξ)H是連續(xù)的;

(H2)對(duì)任意的t,h(t,0)=0;

(H3)存在Lh>0,使得對(duì)任意的t和ξ,ηCH,有

‖h(t,ξ)-h(t,η)‖≤Lh‖ξ-η‖CH;

(H4)存在m0>0,Ch>0,使得對(duì)任意的m[0,m0],≤t,u,vC([-r,];H),有

(2)

下面闡述動(dòng)力系統(tǒng)的拉回吸引子的基本概念及相關(guān)結(jié)果.

令X是完備的度量空間,距離為d(·,·). 如果有一族定義于X上的雙參數(shù)映射U(t,)∶X→X(t≥,)滿足：

(1)U(t,)=U(t,r)U(r,) (≤r≤t),

(2)U(,)=Id是一恒同算子，,

則稱U(t,)是一過程.

令P(X)是X上所有非空子集族,令是非空集合族0(t)={D0(t)∶t}?P(X)組成的非空集類.

定義1[8]設(shè){U(t,)}t≥是Banach空間X上的過程,若對(duì)任意的t,任意序列n→-和xn在X中有收斂子列,則稱{U(t,)}t≥為拉回-漸近緊.

定義2[8]設(shè){U(t,)}t≥是Banach空間X上的過程,若對(duì)任意的t和任意的,存在=(t,)≤t,使得

U(t,)D()?B(t) (≤(t,)),

定義3[8]設(shè){U(t,)}t≥是Banach空間X上的過程,若一族集合={A(t)∶t}?P(X)滿足

(1)對(duì)任意的t,A(t)是緊的;

定義4[8]設(shè){U(t,)}t≥是Banach空間X上的過程,集合是X的任意子集,則稱

定義6若對(duì)任意的m>0,用1表示由非空子集族={D(t)∶t}?(CD(A),V)所組成的集類,且滿足

引理1[10]設(shè){U(t,)}t≥是Banach空間X上的過程,若{U(t,)}t≥滿足

(1){U(t,)}t≥在X中存在拉回-吸收集={B(t)∶t}?,

(2){U(t,)}t≥在中拉回-漸近緊，

則稱過程{U(t,)}t≥存在唯一的拉回-吸引子={A(t)∶t},其中

為了考查過程{U(t,)}t≥的漸近緊性,需要以下引理.

引理2[10]設(shè){U(t,)}t≥是Banach空間X上的過程,且{U(t,)}t≥存在-吸收集={B(t)∶t}. 若對(duì)任意的ε>0,存在T=T(t,,ε)=t-和Ψt,T(·,·),使得

‖U(t,t-T)x-U(t,t-T)y‖≤ε+Ψt,T(x,y) (x,yB()),

則稱{U(t,)}t≥是X上的拉回漸近緊過程,其中Ψt,T(·,·)依賴于t和T.

2 主要結(jié)論

利用Fadeo-Galerkin方法和不動(dòng)點(diǎn)理論,給出初邊值問題(1)的解的存在性和唯一性：

uC([-r,T];D(A))∩C1([-r,T];V),

由定理1,可以定義初邊值問題(1)的解過程{U(t,)}t≥:

U(t,

并且過程{U(t,)}t≥在CD(A),V中連續(xù).

為了得到初邊值問題(1)的解所生成的過程{U(t,)}t≥在CD(A),V拉回吸引子的存在性,首先需要證明下面的定理.

其中,C1=min{α1,1/2},ρ0>0是依賴于初值的常數(shù).

(1-ε)‖v‖2-αε‖v‖2+ε(1-βε)‖Δu‖2+

ε(ε-1)(u,v)+αε3‖u‖2+β‖Δv‖2=

(h(t,ut),v)+(f(x,t),v).

(3)

由H?lder不等式和Young不等式,式(3)可變形為

αε3‖

(4)

由ε的限制條件可知

(5)

其中,y(t)=‖v‖2+α‖v‖2+(1-βε)‖Δu‖2+αε2‖u‖2.

在式(5)兩端同時(shí)乘以eδt,有

(6)

對(duì)式(6)關(guān)于時(shí)間t在[,t]上積分,并利用假設(shè)條件(H2)、(H4)可得

eδty(t)≤eδy(

eδty(t)≤eδy(eδs‖u‖2ds+

eδy(

(7)

eδty(t)≤eδy(

這表明：對(duì)任意的t≥,有

y(t)≤y()e-(δ-C3)(t-)+C2e-(δ-C3)(t-)+

(8)

(9)

記m=δ-C3,用t+θ代替式(9)中的t,則對(duì)任意的t-h≥,有

(10)

接下來(lái)證明{U(t,)}t≥具有拉回1-吸收集.

(11)

下面證明{U(t,)}t≥在CD(A),V中是拉回1-漸近緊的.

(12)

定義能量泛函

(13)

在式(13)兩端同時(shí)乘以emt并關(guān)于時(shí)間t在[s,t]上積分,有

(14)

對(duì)式(14)關(guān)于s在[,t]上積分,有

(t-

(15)

用-w與式(12)作內(nèi)積,并利用H?lder不等式、Young不等式及式(2)有

(16)

在式(16)兩端同時(shí)乘以emt并關(guān)于時(shí)間t在[s,t]上積分,有

(17)

在式(17)兩端關(guān)于s在[,t]上積分,有

(18)

在式(18)兩端同時(shí)乘以m/2,并整理有

(19)

把式(19)代入式(15)右端,有

(t-

(20)

在式(16)兩端同時(shí)乘以emt并關(guān)于時(shí)間t在[,t]上積分,有

(21)

把式(21)與式(20)相加并整理有

(t-

由假設(shè)條件(H3)可知

(22)

由H?lder不等式、式(2)及式(8),可得

(23)

(t-

(t-

(t-

(24)

(25)

結(jié)合式(23)～(25),設(shè)T=t-且

(26)

則式(22)可以變形為

其中，Ct,依賴于t和.

由定理2的證明可知:um在L2(,t;D(A))中強(qiáng)收斂到在L2(,t;V)中強(qiáng)收斂到在L(,t;D(A))中弱*-收斂到在L(,t;V)中弱*-收斂到于是

因而,由定理1～定理4和引理2可得: