關(guān)于圓錐曲線中的中點(diǎn)弦的一點(diǎn)遐想

潘貴強(qiáng)

在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中的中點(diǎn)弦所在直線的方程與過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程有緊密的關(guān)系;現(xiàn)將探究與發(fā)現(xiàn)的結(jié)果展示如下，請各位專家及同仁批評指正。

設(shè)點(diǎn)? ? ? ?，? ? ? ?是曲線C：

的任意兩點(diǎn)，? ? ? ?是P1P2的中點(diǎn)。求過曲線C上一點(diǎn)的切線方程。

1. 若曲線C為圓其方程：? ? ? ? ?（或? ? ? ? ? ? ? ? ?）

由? ? ? ? ? ? ? ?兩式相減可得

，當(dāng)? ? ? ?時

變形為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因為? ? ? ? ? ，

所以? ? ? ? ，由點(diǎn)斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……①;方程①為過P1P2的中點(diǎn)P的弦所在直線方程（即中點(diǎn)弦直線方程）。

當(dāng)中點(diǎn)P在圓上時，此時P1，P2，P三點(diǎn)重合說明，而此時直線P1P2也成為了圓的切線且過點(diǎn)P，于是? ? ? ? ? ? ?，故由方程①可得過點(diǎn)P的切線方程為：

2. 若曲線C為橢圓其方程：

由? ? ? ? ? ? ? 兩式相減可得

，當(dāng)? ? ? 時

變形為

因為? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ?，所以

由點(diǎn)斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……②;方程②為過P1P2的中點(diǎn)P的弦所在直線方程（即中點(diǎn)弦直線方程）。

當(dāng)中點(diǎn)P在橢圓上時，此時P1，P2，P三點(diǎn)重合說明，而此時直線P1P2也成為了橢圓的切線且過點(diǎn)P，于是? ? ? ? ? ?，故由方程②

可得過點(diǎn)P的切線方程為：

若曲線C為橢圓其方程：? ? ? ? ? ? ? ? ?時，同理可得過點(diǎn)P的切線方程為：

3.若曲線C為雙曲線其方程：

由? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩式相減可得

，當(dāng)? ? ? 時

變形為：

因為? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ?，所以

由點(diǎn)斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……③;方程③為過P1P2的中點(diǎn)P的弦所在直線方程（即中點(diǎn)弦直線方程）。

當(dāng)中點(diǎn)P在雙曲線上時，此時P1，P2，P三點(diǎn)重合說明，而此時直線P1P2也成為了雙曲線的切線且過點(diǎn)P，于是? ? ? ? ? 故由方程③可得過點(diǎn)P的切線方程為：

若曲線C為雙曲線其方程：? ? ? ? ? 時，同理可得過點(diǎn)P的切線方程為：

綜上所述可知過曲線：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上一點(diǎn)? ? ? ? 的? ? ? ?切線方程為：

對于拋物線也滿足

4.若曲線C為拋物線其方程：

由? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩式相減可得

，當(dāng)? ? ? 時，變形為：

因為? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ?，所以

由點(diǎn)斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……④;方程④為過P1P2的中點(diǎn)P的弦所在直線方程（即中點(diǎn)弦直線方程）。

當(dāng)中點(diǎn)P在拋線上時，此時P1，P2，P三點(diǎn)重合說明，而此時直線P1P2也成為了拋線的切線且過點(diǎn)P，于是? ? ? ? ? ?故由方程④可得過點(diǎn)P的切線方程為：

若曲線C為雙曲線其方程：? ? ? ? ? ? 時，同理可得過點(diǎn)P的切線方程為：

以下給予證明

求證：過曲線：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上一點(diǎn)? ? ? ? 的切線方程為：

【分析】要證明直線? ? ? ? ? ? 是曲線

的切線，即要證明直線與曲線只有一個公共點(diǎn)? ? ? ?，即將直線方程與曲線方程聯(lián)立，方程組只有一組解;即消去? ? 得到一個關(guān)于

的一元二次方程，即證明一元二次方程只有一解，只需證明? ? ? ?要滿足即可。

證明：由? ? ? ? ? ? ? ?消去? 可得，，又由

可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，易知? ? ?且方程的解為：

易知當(dāng)切點(diǎn)? ? ? ? 為曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時仍然成立。

故由此可知命題是成立的。