精準(zhǔn)畫圖方能準(zhǔn)確答題

■高業(yè)杰

在幾何題的解答過(guò)程中，一般都需要畫“草圖”來(lái)幫助審題、理解題意和分析數(shù)量關(guān)系，使繁雜的題設(shè)變得清晰，抽象的問(wèn)題變得直觀，從而輕松地解決實(shí)際問(wèn)題。然而很多時(shí)候，學(xué)生因?yàn)椤安輬D”畫得太隨意，導(dǎo)致解答不準(zhǔn)確。下面通過(guò)一個(gè)實(shí)例，來(lái)談一談畫好“草圖”的重要性。

一、試題呈現(xiàn)

二、學(xué)生答題情況

圖1

學(xué)生1：如圖1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以∠B= ∠D，AB=CD，AD=BC。又因?yàn)锳E⊥CD，AF⊥BC，所以∠AED=∠AFB=90°，△ADE∽△ABF，。因?yàn)锳D+CD+BC+AB=28，即AD+AB=14，所以AD=6，AB=8，在Rt△ADE和Rt△ABF中，DE=所以CE=CD-DE=8-，CF=BC-BF=。

學(xué)生2：這道題需要分類討論，應(yīng)該還有一種情況，就是高AE和AF在平行四邊形的外部。因?yàn)檫@種情況的圖還沒(méi)畫出來(lái)，暫時(shí)得不出答案。

經(jīng)過(guò)學(xué)生2 的提醒，我們知道本題應(yīng)該分為兩種情況，高在平行四邊形外部的情況我們待會(huì)再研究，我們先來(lái)看看學(xué)生1 給出的思路是否準(zhǔn)確，有沒(méi)有不同的觀點(diǎn)?

甚至可以得出結(jié)論：平行四邊形兩邊之比與兩邊邊上的高之比正好相反。到此，再來(lái)看一看學(xué)生3的結(jié)果和學(xué)生1的結(jié)果是不是一樣。學(xué)生3 的思路很好，遇到與高相關(guān)的問(wèn)題能想到用“等積法”，這一方法值得借鑒，但是還有其他學(xué)生給出了其他解法。

圖2

學(xué)生4：學(xué)生1和學(xué)生3的思路很好，求平行四邊形兩邊長(zhǎng)的方法不同，但各有千秋，只是最終的答案并不準(zhǔn)確。因?yàn)辄c(diǎn)F不在邊BC上，而在BC的延長(zhǎng)線上，如圖2。所以CF=BF-BE=，因此CE-CF=。

那么為什么點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上?

學(xué)生4：BC=6，BF=，由于6，即BF＞BC，因此點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上?；蛘咴赗t△ABF中，直角邊AF=4，斜邊AB=8，容易想到∠ABC=30°，之后準(zhǔn)確畫出圖形(按條件：AD=6，AB=8，∠ABC=30°)，點(diǎn)F自然在BC的延長(zhǎng)線上。

由此我們看出學(xué)生4 的分析很有道理，考慮問(wèn)題非常細(xì)致，看來(lái)學(xué)生1和學(xué)生3 的解答是錯(cuò)誤的，主要是因?yàn)楫媹D時(shí)過(guò)于隨意，所以我們?cè)诋媹D輔助解題時(shí)一定要盡可能地考慮到題目已知條件對(duì)圖形的限制。

在之前獲取的知識(shí)的基礎(chǔ)上，我們來(lái)畫圖解決學(xué)生2提出的“高在平行四邊形外部”這種情況。

圖3

學(xué)生5：如圖3所示，因?yàn)镃E=CD+DE=，CF=BC+BF=，所以CECF=。綜上可得，CE-CF=。

畫這種情況的圖形時(shí)，可先思考出在平行四邊形外部的高AF是它所在直角三角形的斜邊AB的一半，因此∠ABC的外角應(yīng)該是30°，所以畫圖時(shí)應(yīng)使ABCD中的∠ABC=150°。